who is Наблюдатель (2а) "отрытие" обобщённых функций
Это одна из записей-пояснений к списку результатов-"открытий" Наблюдателя.
Все списки результатов: who is Наблюдатель -- введение и оглавление.
Список №2 даётся с трудом: главные результаты этого списка послужили объектом дикого Грабежа в исполнении своры моральных уродов.
Для профилактики хумбаб и проч.:
[пересборка_ран] автопрезентация -- основа системы оценивания
яканье (9) от Научного долга -- к служебной обязанности
яканье (3) Гиму
Грабёж
Два примера контралажи в записи лажа (11) лажевая компонента были предметами двух "отрытий", сделанных Наблюдателем в разное время.
Оба суть итоги разбирательства с основами наук [>> завет Вейерштрасса + правило Декарта].
Эта запись про одно из них -- про "отрытие" обобщённых функций.
***
Концепт обобщённых функций (в дальнейшем просто Концепт), -- это прежде всего способ думать о функциях (включая, разумеется, их сходимость) primum в терминах их локально усреднённых значений, а не значений в точках.
Именно в таком ключе обсуждает их открытие Арнольд [>> Заслуга подтаскивания ссылки].
Пример. Если строится численный метод для диффура, то вместо требования равенства невязки нулю в конечном наборе точек Концепт предлагает приравнять нулю интегралы от невязки с конечным числом "пробных" функций. И получится метод Галёркина (1915), до Галёркина применявшийся кораблестроителем Бубновым (1913), а впервые предложенный и вовсе Ритцем (1908).
Насколько удачным оказался метод Ритца-Бубнова-Галеркина, видно из того, что австралиец Флетчер начинает свою книжку иконической биографией Галеркина.
Второй пример. Если в мат. статистике похерить [>> правило Декарта] приматические нагромождения сигма-алгебр и уродца максимального правдоподобия, сделать Ракоход к основаниям [>> завет Вейерштрасса], и подумать об оснóвной задаче параметрического оценивания на языке Концепта, то как по мановению волшебной палочки открывается метод квази-оптимальных весов -- и не только он.
***
Думать же о функциях в терминах значений в точках -- это экстраполяция на Континуум бытовых привычек, пронизывающая парадигму Теории множеств. Например, в больнице или в домашнем задании по природоведению меряют температуру утром и вечером и наносят точки на график (хотя измерение температуры -- процесс не мгновенный). Апофеоз простодушия -- это Аксиома выбора с бесплатным приложением из неконструктивных патологий вроде неизмеримых функций. Что намекает на лажу.
И в самом деле, в польской школе математической логики додумались заменить Аксиому выбора Аксиомой детерминированности -- и патологии исчезли (см. у Кановея).
Однако технически AD сложна. Проще интернализовать Концепт обобщённых функций, и тогда неразумные вопросы становится трудно даже задавать.
Выражение сути через форму -- это именно то, к чему стремится Научная формализация.
[>> подробней]
Это напоминает, кстати, неприменимость языка классической физики к описанию квантовых явлений. [>> подробней]
Шавки мейнстрима тут сразу лают, мол, всё равно говорят о множествах пробных и обобщённых функций. Это нормальный лай, основанный на профанации сути теории множеств, которая сосредоточена не столько в торчащем наружу слове "множество", сколько в скромной приставке "под-", которую Концепт заменяет на понятие пробной функции.
Таким образом, Концепт несёт в себе некий контралажевый заряд, подрывающий лажевую компоненту классической теории множеств, ни много ни мало.
И в силу такой глубокой укоренённости в толще математического знания он должен иметь широкую проекцию на прикладуху, представляя собой серьёзный ресурс (ср. хотя бы второй пример).
А это влечёт и пропорциональные риски (ведь нормальные tend to воспринимать такой подрыв как подрыв "рая, созданного Кантором" (с) Гильберт; ср. свежий аналогичный пример -- вой вокруг тирады Гусейнова):
В каждой новой прикладной области будет tend to воспроизводиться, как опция по умолчанию, классическая парадигматическая история Гиппаса из Метапонта, пусть и с поправкой на "глобальное смягчение нравов" (Гиппаса уничтожили самого, Наблюдателю уничтожили всего лишь карьеру).
О рисках потом, сначала о том, откуда в Концепте ресурсный потенциал.
***
Обобщённые функции (начиная с самой знаменитой -- дельта-функции) -- это некоторый класс "идеальных объектов", которые подобны вещественным и комплексным числам в двух отношениях:
1) Они вызывают неиллюзорный когнитивный клинч -- но это пункт для темы рисков.
2) Они открывают радикально новые (т.е. с существенной дозой Несравнимости) конструктивные возможности:
--- подобно вещественным числам -- за счёт замкнутости в отношении некоторого естественного класса предельных переходов;
--- подобно числам комплексным -- за счёт снятия ограничений на важные операции; в случае комплексных чисел это было извлечение корней, в случае обобщённых функций -- интегральные преобразования и дифференцирование.
Наблюдатель до оскомины отчётливо представляет себе нормальных долбо*бов братьев по разуму вышеупомянутым шавкам, для которых эти утверждения будут пустой "философией", и которые будут -- одни с вежливым скептицизмом, другие надуваясь от возмущения (память Наблюдателя хранит примеры и того, и другого) -- настаивать на конкретной демонстрации того, как именно с их помощью сшибаются бананы -- иначе ведь нахрен оно всё нужно.
Наиболее естественно обобщённые функции возникают в ситуациях, где есть предельные переходы -- либо порождающие сингулярности (как в задачах с разложениями по параметру сингулярных интегралов квантовой теории поля), либо наоборот -- восстанавливающие несингулярные функции из сингулярных (как в математической статистике; ср. второй из примеров в начале записи).
Опережая подробное изложение, заметим, что два именно таких класса приложений для Концепта обобщённых функций открыл Наблюдатель, оба с в-точном-смысле-слова-серьёзным прикладным вычислительным выхлопом -- неплохая Заслуга, если учесть, что классов задач, решаемых через обобщённые функции и важных для приложений на уровне именно что вычислительных методов и алгоритмов, не так уж и много. [Upd 2020-07-12 Причём использование в таких задачах обобщённых функций имеет, скорее, дескриптивный, а не в полном смысле комбинаторно-конструктивный характер. Совсем новый и редкий пример именно такого, комбинаторно-конструктивного рассуждения, приведшего к прорывному мега-результату, см. тут.]
***
Об истории Концепта
Концепт начал конденсироваться у математиков под давлением задач ("many obstacles" в Википедной истории дельта-функции) за сто лет до появления в 1928 у Дирака дельта-функции и пояснения её смысла Фоком в 1929. Сама дельта в неявном виде обнаруживается ещё у Фурье (1822), а у Коши (1827) впервые в явном виде появляется бесконечно узкий единичный импульс.
Гастрит называл работу Ф.Рисса, 1911 (не путать с вышеупомянутым В.Ритцем, 1908; Гельфанд-Шилов-1 ошибочно называют другого брата, М.Рисса). Ф.Рисс ввёл понятие слабой сходимости (стоящее, например, за методом квази-оптимальных весов); он при этом ссылался на Адамара, доказавшего теорему из числа оснóвных для Концепта (теорема представляет обобщённые функции пределами последовательностей обычных -- как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных; и точно так же дальнейшие пределы уже не порождают новых объектов).
Заслугу создания первой теории, оформляющей эту идею, В.И.Арнольд, вслед за своим учителем А.Н.Колмогоровым, отдает Н.М.Гюнтеру (1916). Тот изучал сингулярные решения уравнений гидродинамики, для чего и ввёл усреднение (правда, не по функциям, а по областям) -- и доказал некие теоремы существования и теоремы единственности.
Ученик Гюнтера С.Л.Соболев, тоже изучая диффуры в частных производных, дал в 1935 г. другое оформление идеи -- и доказал свои теоремы вложения. Ему отдают приоритет Гельфанд-Шилов-1 ("Впервые обобщённые функции в явной и теперь общепринятой форме ..."). При этом они несколько противоречат себе насчёт "общепринятой формы".
В самом деле, самую удобную и универсальную форму дал теории зять Поля Леви, ученика вышеупомянутого Адамара, Лоран Шварц (см. книгу) -- и доказал некие важные (по словам Арнольда в приведённом видео и по свидетельству Гельфанда-Шилова-1) теоремы о преобразованиях Фурье (Бохнер бурчал о предшествующих результатах, в частности, своих; его же вспоминают, делая краткий обзор истории обобщённых функций, и Гельфанд-Шилов-1).
Есть ещё гиперфункции, которые в 1958 г. придумал японец М.Сато, но любопытствование Наблюдателя на их счёт (в том числе по Шапира) не увенчалось полноценным Накоплением понимания, -- разве что удалось понять, что именно в русле традиции Сато работали японцы, у которых мразь Смирнов-ст. спижил результаты для своей кандидатской (мы это уже обсуждали; не теперь).
Есть, слыхать, ещё какие-то микрофункции.
Наконец, есть гораздо более интригующие обобщённые кривые и проч., обнаруженные Л.Янгом, см. его вкусную книжку. Но это пища для размышлений какому-нибудь ещё юному будущему контрарию.
***
Эволюция Гюнтер >> Соболев >> Шварц соответствует смещению фокуса с теории множеств (у Гюнтера используется усреднение по областям) на функциональный анализ (усреднение по гладким пробным функциям у Шварца). В глобальном масштабе это соответствует переходу от теоретико-множественной аксиоматизации математики к функционально-категориальной, которая упоминалась где-то в комментах; см. вторую главу в Гольдблатт. Топосы.
Колмогоров -- забубённый фанат теории множеств, на этой почве сыгравший со школьной математикой в кинг-конга-вредителя, расшатав проверенную методическую схему, символом которой остаётся бестселлер Киселёва (см. о нём в контексте российской традиции математического образования).
Неудивительно, что Андрей Николаевич считал Гюнтера с его функциями областей (ср. колмогоровские сигма-алгебры -- "алгебры" областей) создателем теории обобщённых функций.
На диспут о приоритете давит и то сугубо приматическое соображение, что Соболев -- "наш", а Шварц -- "чужой".
Плюс нужно сделать скидочку на штатный, ещё сталинский механизм сверхъестественного раздувания заслуг действительных членов (Р)АН, вовсю работающий до сих пор как часть национальной традиции мегалжи (ср. как раздут даже пустышка и теоремный шарлатан Пугалко, офанерованный всеми возможными премиями >> демидовские шарлатаны).
Но всё-таки теория была по-настоящему "вылизана" Л.Шварцем. Законченность его формализма видна, например, в том, что в конструктивном универсуме (это когда Аксиома выбора заменена Аксиомой детерминированности, см. выше) любой линейный функционал, определённый на всех пробных функциях из D автоматически оказывается в правильном смысле непрерывным, т.е. оказывается корректной обобщённой функцией (см. у Кановея; вышеупомянутая теорема Адамара является некой предшественницей этого результата).
Популяризация Концепта
И написать доходчивые книжки о пространствах Соболева никому не пришло в голову, а про Шварцевы обобщённые функции написали и сам Шварц, и подключившиеся в середине 1950-х после (sic) шороха, наведённого его флагманской Théorie des distribution (1950/51) Гельфанд-Шилов, которые во втором томике дают абстрактный формализм по Шварцу, а не по Соболеву (это и есть упомянутое выше маленькое противоречие).
И лучший способ рассказать начинающим о пространствах и теоремах вложения Соболева (как и о пространствах L^2 etc.) -- в рамках универсального контекста шварцевских обобщённых функций, как это сделал Рихтмайер (конкретно о пространствах Соболева см. у него раздел 5.11.)
Целое формализма Шварца определённо больше, чем простая сумма отдельных результатов, его составляющих. Шварц это понимал, как он видел общность своего формализма (к которой сознательно стремился). Он и популяризировал Концепт как универсальный, приложив к этому серьёзные усилия.
С.Вяч. может быть спокоен в том отношении, что движителем этих усилий было "повышение собственной доминантности" -- точнее, Шварц m-активировался на свою грядущую славу в веках. Но это всего лишь приматический субстрат, не отменяющий эпифеномен: внедрение в распределённый мозг мейнстрима Концепта с контралажевым зарядом и дозой Несравнимости (одно с другим, понятно, связано как две стороны одной медали).
Сначала Шварц вслед своей совершенно абстрактной Théorie des distribution (1950/51), написал популярное дополнение, "Méthodes mathématiques ..." (1961; русский перевод 1964: Математические методы для физических наук). Там обобщённые функции объяснялись на примерах как реальная техника.
Затем, читая матанализ в École polytechnique (т.е. для будущих инженеров) он собрал свой "Analyse mathématique" (1967; русский перевод: 1972), где теория интегрирования (до теоремы Лебега) излагается гибридным образом, но отталкиваясь всё-таки от частного случая обобщённых функций -- от мер Радона (допускающих интеграцию с необязательно гладкими, но непрерывными пробными функциями), а понятия вроде меры множества вводятся как вторичные. Получилась удачная пропедевтика для изучения обобщённых функций.
С середины 1950-х гг. популяризацией обобщённых функций занялись И.М.Гельфанд и ко., выпустив шесть симпатичных томиков.
Самый популярный (в обоих смыслах) -- первый, Гельфанд-Шилов-1. Там обсуждается простейший класс обобщённых функций с сингулярностями в изолированной точке, в основном одномерных -- delta(x), VP(1/x), x_+^alpha. Именно этот томик служит основным источником по обобщённым функциям в российской традиции.
Второй томик -- внятное изложение абстрактной теории.
Остальные четыре -- приложения в разных областях математики от диффуров до автоморфных функций.
С тех пор появилось ещё несколько учебников по обобщённым функциям -- но они практически не выходят за круг тем, очерченных у Шварца и Гельфанда-Шилова-1.
Стоит упомянуть интересный текст от братишки из Лэнгли с приложениями к аэронаукам: NASA Tech. Note 3428.
Прямо здесь удобно заметить, не вдаваясь пока в подробности, что Наблюдатель создал себе Заслугу, научившись (первым по крайней мере среди прикладников) конкретно работать со сложносоставленными обобщёнными функциями с сингулярностями на сложносоставленных многообразиях, получив с помощью этого умения ряд мощных (и в смысле "оснóвных", и в смысле "имеющих вычислительный выхлоп") прикладных результатов в квантовой теории поля -- и огрёб за это по полной программе для особо одарённых.
Upd 2020-09-29 ср. лажевый блок против дельта-функции
***
Юный Наблюдатель оснастил свой мозг этим серьёзным ресурсом ещё в процессе первичного штудирования матана, т.е. на уровне квази-врождённого. Освоившись в ФДСе (в комнатах, правда, селили тогда не по 2-3, а по пять человек) и в читальном зале физфака, стал -- следуя своему опыту автодидактики -- искать альтернативный источник по предмету для просвечивания его под другим углом. Выбор пал на свежепереведённый "Анализ" Шварца -- зажигательные предисловия С.Г.Крейна и самого автора не оставили сомнений.
От этого "Анализа" Наблюдателя штырило начиная с поздней осени: ярко помнится какое-то обязательное дежурство в порядке "народной дружины", сучий холод без подштанников, тёплое фойе Гумна и страница 37 в первом томе, где объясняется, как строить отрицание утверждения с цепочкой кванторов.
Страшно подумать, что было бы, появись перевод на пару лет позже -- мозг был бы изуродован сигма-алгебрами по какому-нибудь Колмогорову-Фомину.
К счастью, "Анализ" отталкивался от мер Радона, и в качестве примеров упоминались точечные масса и электрический заряд. А при обсуждении разбиений единицы упоминалась возможность сделать это функциями из C^n с интригующим примечанием мелким шрифтом на с.452, что "оно нам понадобится в теории распределений." Однако в самом "Анализе" никакой "теории распределений" найти не удалось.
Но Наблюдатель добурился в каталожной комнате на 4-м этаже физфака (где он провёл много приятных минут) до "Математических методов для физических наук" -- комбинация автора и названия была complètement irrésistible. Там в одном флаконе с обобщёнными функциями объяснялись и другие полезные вещи: сведения об Эйлеровских Г- и B-функциях сильно пригодились в квантовополевых вычислениях через три года, а понимание функций Бесселя, подкрепившееся в курсе квантовой механики, выстрелило при обдумывании пресловутой "борелизации".
К началу посещения курса квантовой теории поля энцефалон, оснащённый концептом обобщённых функций в конструктивном варианте "Математических методов ...", был готов принять в объятия ультрафиолетовую R-операцию как родную -- и придумать для неё рекурсивную конструкцию [>> свежее обсуждение], сыгравшую в дальнейшем революционную роль (характеризация "революционная" имеет чёткие измерения: Акты III-VII Грабежа, а также гевалты на семинарах в Отделе квантовой теории поля МИ АН в 1982 и в 2003 г.). Об этой конструкции отдельно, сейчас только заметим, что формализованных доказательств тогда не было (студент-физик был к этому ещё не готов), но была совершенно здравая, внятная и конструктивная аналитическая идея, что и является решающим фактором; ср. разъяснение Литлвуда в "Рецензии на собрание сочинений Раманужана", с.92 4-го издания "Математической смеси".
Просматривание Гельфанда-Шилова-1 имело место позже на год или два.
После "Математических методов ..." и опыта придумывания схемы построения обобщённых функций со сложносоставленными нелокальными сингулярностями, его содержание показалось слишком элементарным, хотя понимание аналитической регуляризации мозг зацепил и накопил [>> Накопление понимания] на автомате, что сыграло некую роль в истории Грабежа, тыц.
***
Тремя основными "законными", т.е. принятыми мейнстримом в лице "признанных учёных", приложениями Концепта считаются (по крайней мере с середины 1970-х, когда Наблюдатель этот концепт интернализовал) следующие:
1) решение дифференциальных уравнений, в частности теоремы существования (традиция имени Гюнтера-Соболева; см. также выше ссылку на опус братишки из Лэнгли, который разбирает там другие интересные вещи);
2) изучение интегральных преобразований (традиция имени Бохнера-Шварца);
3) "строгое обоснование дельта-функции Дирака" -- в кавычках, потому что это популярный лажевый мем (ср. второе предложение, суммирующее главное достижение Шварца на его Википедной странице; нормальные, в соответствии с основным механизмом профанации, винсоризуют смутное "objects such as").
Наблюдатель добавил к этому списку два нетривиальных пункта (характеризацию "нетривиальные" оправдывают конкретные большие числа, и не только числа):
x) приложение к исследованию сложносоставленных сингулярных интегралов квантовой теории поля (см. ниже Upd);
y) приложения к задачам математической статистики.
Здесь гипераверзия становится невыносимой, так что придётся прерваться, чтобы поднакопить сил на продолжение.
Upd 2020-12-18
В пояснение пункта x) копируем сюда абзац из записи про открытие формализма MS4, целиком опирающегося на метод асимптотической операции, построенный на теории обобщённых функций:
Вывод явных выражений для ренормгрупповых функций через B-оператор -- это первый пример того, как формализм обобщённых функций может применяться в сложных конструкциях (композитная R-операция и т.п.) и в соответствующих манипуляциях квази-алгебраического типа для вывода принципиально новых результатов.
Можно сказать, что здесь обобщённо-функциональный инструментарий, развитый в теории асимптотической операции, используется как вычислительный аппарат (примерно как комплексные числа используются для решения алгебраических уравнений высоких степеней) -- в отличие от традиционных приложений теории обобщённых функций, где их использование является, скорее, дескриптивным.
Все списки результатов: who is Наблюдатель -- введение и оглавление.
Список №2 даётся с трудом: главные результаты этого списка послужили объектом дикого Грабежа в исполнении своры моральных уродов.
Для профилактики хумбаб и проч.:
[пересборка_ран] автопрезентация -- основа системы оценивания
яканье (9) от Научного долга -- к служебной обязанности
яканье (3) Гиму
Грабёж
Два примера контралажи в записи лажа (11) лажевая компонента были предметами двух "отрытий", сделанных Наблюдателем в разное время.
Оба суть итоги разбирательства с основами наук [>> завет Вейерштрасса + правило Декарта].
Эта запись про одно из них -- про "отрытие" обобщённых функций.
***
Концепт обобщённых функций (в дальнейшем просто Концепт), -- это прежде всего способ думать о функциях (включая, разумеется, их сходимость) primum в терминах их локально усреднённых значений, а не значений в точках.
Именно в таком ключе обсуждает их открытие Арнольд [>> Заслуга подтаскивания ссылки].
Пример. Если строится численный метод для диффура, то вместо требования равенства невязки нулю в конечном наборе точек Концепт предлагает приравнять нулю интегралы от невязки с конечным числом "пробных" функций. И получится метод Галёркина (1915), до Галёркина применявшийся кораблестроителем Бубновым (1913), а впервые предложенный и вовсе Ритцем (1908).
Насколько удачным оказался метод Ритца-Бубнова-Галеркина, видно из того, что австралиец Флетчер начинает свою книжку иконической биографией Галеркина.
Второй пример. Если в мат. статистике похерить [>> правило Декарта] приматические нагромождения сигма-алгебр и уродца максимального правдоподобия, сделать Ракоход к основаниям [>> завет Вейерштрасса], и подумать об оснóвной задаче параметрического оценивания на языке Концепта, то как по мановению волшебной палочки открывается метод квази-оптимальных весов -- и не только он.
***
Думать же о функциях в терминах значений в точках -- это экстраполяция на Континуум бытовых привычек, пронизывающая парадигму Теории множеств. Например, в больнице или в домашнем задании по природоведению меряют температуру утром и вечером и наносят точки на график (хотя измерение температуры -- процесс не мгновенный). Апофеоз простодушия -- это Аксиома выбора с бесплатным приложением из неконструктивных патологий вроде неизмеримых функций. Что намекает на лажу.
И в самом деле, в польской школе математической логики додумались заменить Аксиому выбора Аксиомой детерминированности -- и патологии исчезли (см. у Кановея).
Однако технически AD сложна. Проще интернализовать Концепт обобщённых функций, и тогда неразумные вопросы становится трудно даже задавать.
Выражение сути через форму -- это именно то, к чему стремится Научная формализация.
[>> подробней]
Это напоминает, кстати, неприменимость языка классической физики к описанию квантовых явлений. [>> подробней]
Шавки мейнстрима тут сразу лают, мол, всё равно говорят о множествах пробных и обобщённых функций. Это нормальный лай, основанный на профанации сути теории множеств, которая сосредоточена не столько в торчащем наружу слове "множество", сколько в скромной приставке "под-", которую Концепт заменяет на понятие пробной функции.
Таким образом, Концепт несёт в себе некий контралажевый заряд, подрывающий лажевую компоненту классической теории множеств, ни много ни мало.
И в силу такой глубокой укоренённости в толще математического знания он должен иметь широкую проекцию на прикладуху, представляя собой серьёзный ресурс (ср. хотя бы второй пример).
А это влечёт и пропорциональные риски (ведь нормальные tend to воспринимать такой подрыв как подрыв "рая, созданного Кантором" (с) Гильберт; ср. свежий аналогичный пример -- вой вокруг тирады Гусейнова):
В каждой новой прикладной области будет tend to воспроизводиться, как опция по умолчанию, классическая парадигматическая история Гиппаса из Метапонта, пусть и с поправкой на "глобальное смягчение нравов" (Гиппаса уничтожили самого, Наблюдателю уничтожили всего лишь карьеру).
О рисках потом, сначала о том, откуда в Концепте ресурсный потенциал.
***
Обобщённые функции (начиная с самой знаменитой -- дельта-функции) -- это некоторый класс "идеальных объектов", которые подобны вещественным и комплексным числам в двух отношениях:
1) Они вызывают неиллюзорный когнитивный клинч -- но это пункт для темы рисков.
2) Они открывают радикально новые (т.е. с существенной дозой Несравнимости) конструктивные возможности:
--- подобно вещественным числам -- за счёт замкнутости в отношении некоторого естественного класса предельных переходов;
--- подобно числам комплексным -- за счёт снятия ограничений на важные операции; в случае комплексных чисел это было извлечение корней, в случае обобщённых функций -- интегральные преобразования и дифференцирование.
Наблюдатель до оскомины отчётливо представляет себе нормальных долбо*бов братьев по разуму вышеупомянутым шавкам, для которых эти утверждения будут пустой "философией", и которые будут -- одни с вежливым скептицизмом, другие надуваясь от возмущения (память Наблюдателя хранит примеры и того, и другого) -- настаивать на конкретной демонстрации того, как именно с их помощью сшибаются бананы -- иначе ведь нахрен оно всё нужно.
Наиболее естественно обобщённые функции возникают в ситуациях, где есть предельные переходы -- либо порождающие сингулярности (как в задачах с разложениями по параметру сингулярных интегралов квантовой теории поля), либо наоборот -- восстанавливающие несингулярные функции из сингулярных (как в математической статистике; ср. второй из примеров в начале записи).
Опережая подробное изложение, заметим, что два именно таких класса приложений для Концепта обобщённых функций открыл Наблюдатель, оба с в-точном-смысле-слова-серьёзным прикладным вычислительным выхлопом -- неплохая Заслуга, если учесть, что классов задач, решаемых через обобщённые функции и важных для приложений на уровне именно что вычислительных методов и алгоритмов, не так уж и много. [Upd 2020-07-12 Причём использование в таких задачах обобщённых функций имеет, скорее, дескриптивный, а не в полном смысле комбинаторно-конструктивный характер. Совсем новый и редкий пример именно такого, комбинаторно-конструктивного рассуждения, приведшего к прорывному мега-результату, см. тут.]
***
Об истории Концепта
Концепт начал конденсироваться у математиков под давлением задач ("many obstacles" в Википедной истории дельта-функции) за сто лет до появления в 1928 у Дирака дельта-функции и пояснения её смысла Фоком в 1929. Сама дельта в неявном виде обнаруживается ещё у Фурье (1822), а у Коши (1827) впервые в явном виде появляется бесконечно узкий единичный импульс.
Гастрит называл работу Ф.Рисса, 1911 (не путать с вышеупомянутым В.Ритцем, 1908; Гельфанд-Шилов-1 ошибочно называют другого брата, М.Рисса). Ф.Рисс ввёл понятие слабой сходимости (стоящее, например, за методом квази-оптимальных весов); он при этом ссылался на Адамара, доказавшего теорему из числа оснóвных для Концепта (теорема представляет обобщённые функции пределами последовательностей обычных -- как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных; и точно так же дальнейшие пределы уже не порождают новых объектов).
Заслугу создания первой теории, оформляющей эту идею, В.И.Арнольд, вслед за своим учителем А.Н.Колмогоровым, отдает Н.М.Гюнтеру (1916). Тот изучал сингулярные решения уравнений гидродинамики, для чего и ввёл усреднение (правда, не по функциям, а по областям) -- и доказал некие теоремы существования и теоремы единственности.
Ученик Гюнтера С.Л.Соболев, тоже изучая диффуры в частных производных, дал в 1935 г. другое оформление идеи -- и доказал свои теоремы вложения. Ему отдают приоритет Гельфанд-Шилов-1 ("Впервые обобщённые функции в явной и теперь общепринятой форме ..."). При этом они несколько противоречат себе насчёт "общепринятой формы".
В самом деле, самую удобную и универсальную форму дал теории зять Поля Леви, ученика вышеупомянутого Адамара, Лоран Шварц (см. книгу) -- и доказал некие важные (по словам Арнольда в приведённом видео и по свидетельству Гельфанда-Шилова-1) теоремы о преобразованиях Фурье (Бохнер бурчал о предшествующих результатах, в частности, своих; его же вспоминают, делая краткий обзор истории обобщённых функций, и Гельфанд-Шилов-1).
Есть ещё гиперфункции, которые в 1958 г. придумал японец М.Сато, но любопытствование Наблюдателя на их счёт (в том числе по Шапира) не увенчалось полноценным Накоплением понимания, -- разве что удалось понять, что именно в русле традиции Сато работали японцы, у которых мразь Смирнов-ст. спижил результаты для своей кандидатской (мы это уже обсуждали; не теперь).
Есть, слыхать, ещё какие-то микрофункции.
Наконец, есть гораздо более интригующие обобщённые кривые и проч., обнаруженные Л.Янгом, см. его вкусную книжку. Но это пища для размышлений какому-нибудь ещё юному будущему контрарию.
***
Эволюция Гюнтер >> Соболев >> Шварц соответствует смещению фокуса с теории множеств (у Гюнтера используется усреднение по областям) на функциональный анализ (усреднение по гладким пробным функциям у Шварца). В глобальном масштабе это соответствует переходу от теоретико-множественной аксиоматизации математики к функционально-категориальной, которая упоминалась где-то в комментах; см. вторую главу в Гольдблатт. Топосы.
Колмогоров -- забубённый фанат теории множеств, на этой почве сыгравший со школьной математикой в кинг-конга-вредителя, расшатав проверенную методическую схему, символом которой остаётся бестселлер Киселёва (см. о нём в контексте российской традиции математического образования).
Неудивительно, что Андрей Николаевич считал Гюнтера с его функциями областей (ср. колмогоровские сигма-алгебры -- "алгебры" областей) создателем теории обобщённых функций.
На диспут о приоритете давит и то сугубо приматическое соображение, что Соболев -- "наш", а Шварц -- "чужой".
Плюс нужно сделать скидочку на штатный, ещё сталинский механизм сверхъестественного раздувания заслуг действительных членов (Р)АН, вовсю работающий до сих пор как часть национальной традиции мегалжи (ср. как раздут даже пустышка и теоремный шарлатан Пугалко, офанерованный всеми возможными премиями >> демидовские шарлатаны).
Но всё-таки теория была по-настоящему "вылизана" Л.Шварцем. Законченность его формализма видна, например, в том, что в конструктивном универсуме (это когда Аксиома выбора заменена Аксиомой детерминированности, см. выше) любой линейный функционал, определённый на всех пробных функциях из D автоматически оказывается в правильном смысле непрерывным, т.е. оказывается корректной обобщённой функцией (см. у Кановея; вышеупомянутая теорема Адамара является некой предшественницей этого результата).
Популяризация Концепта
И написать доходчивые книжки о пространствах Соболева никому не пришло в голову, а про Шварцевы обобщённые функции написали и сам Шварц, и подключившиеся в середине 1950-х после (sic) шороха, наведённого его флагманской Théorie des distribution (1950/51) Гельфанд-Шилов, которые во втором томике дают абстрактный формализм по Шварцу, а не по Соболеву (это и есть упомянутое выше маленькое противоречие).
И лучший способ рассказать начинающим о пространствах и теоремах вложения Соболева (как и о пространствах L^2 etc.) -- в рамках универсального контекста шварцевских обобщённых функций, как это сделал Рихтмайер (конкретно о пространствах Соболева см. у него раздел 5.11.)
Целое формализма Шварца определённо больше, чем простая сумма отдельных результатов, его составляющих. Шварц это понимал, как он видел общность своего формализма (к которой сознательно стремился). Он и популяризировал Концепт как универсальный, приложив к этому серьёзные усилия.
С.Вяч. может быть спокоен в том отношении, что движителем этих усилий было "повышение собственной доминантности" -- точнее, Шварц m-активировался на свою грядущую славу в веках. Но это всего лишь приматический субстрат, не отменяющий эпифеномен: внедрение в распределённый мозг мейнстрима Концепта с контралажевым зарядом и дозой Несравнимости (одно с другим, понятно, связано как две стороны одной медали).
Сначала Шварц вслед своей совершенно абстрактной Théorie des distribution (1950/51), написал популярное дополнение, "Méthodes mathématiques ..." (1961; русский перевод 1964: Математические методы для физических наук). Там обобщённые функции объяснялись на примерах как реальная техника.
Затем, читая матанализ в École polytechnique (т.е. для будущих инженеров) он собрал свой "Analyse mathématique" (1967; русский перевод: 1972), где теория интегрирования (до теоремы Лебега) излагается гибридным образом, но отталкиваясь всё-таки от частного случая обобщённых функций -- от мер Радона (допускающих интеграцию с необязательно гладкими, но непрерывными пробными функциями), а понятия вроде меры множества вводятся как вторичные. Получилась удачная пропедевтика для изучения обобщённых функций.
С середины 1950-х гг. популяризацией обобщённых функций занялись И.М.Гельфанд и ко., выпустив шесть симпатичных томиков.
Самый популярный (в обоих смыслах) -- первый, Гельфанд-Шилов-1. Там обсуждается простейший класс обобщённых функций с сингулярностями в изолированной точке, в основном одномерных -- delta(x), VP(1/x), x_+^alpha. Именно этот томик служит основным источником по обобщённым функциям в российской традиции.
Второй томик -- внятное изложение абстрактной теории.
Остальные четыре -- приложения в разных областях математики от диффуров до автоморфных функций.
С тех пор появилось ещё несколько учебников по обобщённым функциям -- но они практически не выходят за круг тем, очерченных у Шварца и Гельфанда-Шилова-1.
Стоит упомянуть интересный текст от братишки из Лэнгли с приложениями к аэронаукам: NASA Tech. Note 3428.
Прямо здесь удобно заметить, не вдаваясь пока в подробности, что Наблюдатель создал себе Заслугу, научившись (первым по крайней мере среди прикладников) конкретно работать со сложносоставленными обобщёнными функциями с сингулярностями на сложносоставленных многообразиях, получив с помощью этого умения ряд мощных (и в смысле "оснóвных", и в смысле "имеющих вычислительный выхлоп") прикладных результатов в квантовой теории поля -- и огрёб за это по полной программе для особо одарённых.
Upd 2020-09-29 ср. лажевый блок против дельта-функции
***
Юный Наблюдатель оснастил свой мозг этим серьёзным ресурсом ещё в процессе первичного штудирования матана, т.е. на уровне квази-врождённого. Освоившись в ФДСе (в комнатах, правда, селили тогда не по 2-3, а по пять человек) и в читальном зале физфака, стал -- следуя своему опыту автодидактики -- искать альтернативный источник по предмету для просвечивания его под другим углом. Выбор пал на свежепереведённый "Анализ" Шварца -- зажигательные предисловия С.Г.Крейна и самого автора не оставили сомнений.
От этого "Анализа" Наблюдателя штырило начиная с поздней осени: ярко помнится какое-то обязательное дежурство в порядке "народной дружины", сучий холод без подштанников, тёплое фойе Гумна и страница 37 в первом томе, где объясняется, как строить отрицание утверждения с цепочкой кванторов.
Страшно подумать, что было бы, появись перевод на пару лет позже -- мозг был бы изуродован сигма-алгебрами по какому-нибудь Колмогорову-Фомину.
К счастью, "Анализ" отталкивался от мер Радона, и в качестве примеров упоминались точечные масса и электрический заряд. А при обсуждении разбиений единицы упоминалась возможность сделать это функциями из C^n с интригующим примечанием мелким шрифтом на с.452, что "оно нам понадобится в теории распределений." Однако в самом "Анализе" никакой "теории распределений" найти не удалось.
Но Наблюдатель добурился в каталожной комнате на 4-м этаже физфака (где он провёл много приятных минут) до "Математических методов для физических наук" -- комбинация автора и названия была complètement irrésistible. Там в одном флаконе с обобщёнными функциями объяснялись и другие полезные вещи: сведения об Эйлеровских Г- и B-функциях сильно пригодились в квантовополевых вычислениях через три года, а понимание функций Бесселя, подкрепившееся в курсе квантовой механики, выстрелило при обдумывании пресловутой "борелизации".
К началу посещения курса квантовой теории поля энцефалон, оснащённый концептом обобщённых функций в конструктивном варианте "Математических методов ...", был готов принять в объятия ультрафиолетовую R-операцию как родную -- и придумать для неё рекурсивную конструкцию [>> свежее обсуждение], сыгравшую в дальнейшем революционную роль (характеризация "революционная" имеет чёткие измерения: Акты III-VII Грабежа, а также гевалты на семинарах в Отделе квантовой теории поля МИ АН в 1982 и в 2003 г.). Об этой конструкции отдельно, сейчас только заметим, что формализованных доказательств тогда не было (студент-физик был к этому ещё не готов), но была совершенно здравая, внятная и конструктивная аналитическая идея, что и является решающим фактором; ср. разъяснение Литлвуда в "Рецензии на собрание сочинений Раманужана", с.92 4-го издания "Математической смеси".
Просматривание Гельфанда-Шилова-1 имело место позже на год или два.
После "Математических методов ..." и опыта придумывания схемы построения обобщённых функций со сложносоставленными нелокальными сингулярностями, его содержание показалось слишком элементарным, хотя понимание аналитической регуляризации мозг зацепил и накопил [>> Накопление понимания] на автомате, что сыграло некую роль в истории Грабежа, тыц.
***
Тремя основными "законными", т.е. принятыми мейнстримом в лице "признанных учёных", приложениями Концепта считаются (по крайней мере с середины 1970-х, когда Наблюдатель этот концепт интернализовал) следующие:
1) решение дифференциальных уравнений, в частности теоремы существования (традиция имени Гюнтера-Соболева; см. также выше ссылку на опус братишки из Лэнгли, который разбирает там другие интересные вещи);
2) изучение интегральных преобразований (традиция имени Бохнера-Шварца);
3) "строгое обоснование дельта-функции Дирака" -- в кавычках, потому что это популярный лажевый мем (ср. второе предложение, суммирующее главное достижение Шварца на его Википедной странице; нормальные, в соответствии с основным механизмом профанации, винсоризуют смутное "objects such as").
Наблюдатель добавил к этому списку два нетривиальных пункта (характеризацию "нетривиальные" оправдывают конкретные большие числа, и не только числа):
x) приложение к исследованию сложносоставленных сингулярных интегралов квантовой теории поля (см. ниже Upd);
y) приложения к задачам математической статистики.
Здесь гипераверзия становится невыносимой, так что придётся прерваться, чтобы поднакопить сил на продолжение.
Upd 2020-12-18
В пояснение пункта x) копируем сюда абзац из записи про открытие формализма MS4, целиком опирающегося на метод асимптотической операции, построенный на теории обобщённых функций:
Вывод явных выражений для ренормгрупповых функций через B-оператор -- это первый пример того, как формализм обобщённых функций может применяться в сложных конструкциях (композитная R-операция и т.п.) и в соответствующих манипуляциях квази-алгебраического типа для вывода принципиально новых результатов.
Можно сказать, что здесь обобщённо-функциональный инструментарий, развитый в теории асимптотической операции, используется как вычислительный аппарат (примерно как комплексные числа используются для решения алгебраических уравнений высоких степеней) -- в отличие от традиционных приложений теории обобщённых функций, где их использование является, скорее, дескриптивным.