-
Гроб номер 5
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача номер 5. Решите уравнение (sin(x))7+(1/sin(x))3=(cos(x))7+(1/cos(x))3Решаем так. Во-первых, есть очевидные решения, когда sin(x)=cos(x). Тогда оба равны либо √2/2, либо -√2/2, и x=π/4+πk, где k -- целое число. Хотелось бы доказать, что других нет (иначе уж точно формулу не напишешь). ( Read more... ) -
Гроб номер 4
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача номер 4. Решите в действительных числах уравнение 2(2y-1)1/3=y3+1.
Здесь тоже можно попробовать избавиться от иррациональностей, возведя в куб, но получим уравнение девятой степени... Это слишком. Ок, попробуем посмотреть на графики z=2(2y-1)1/3 и z=y3+1, чтобы найти точки пересечения ( Read more... ) -
Гроб номер 2
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача 2. Нужно найти все функции f(t) из R в R так, что f(x)-f(y)≤(x-y)2 для любых x,y.
Набросок решения. Прикинем вначале, что это значит, если функция хорошая (дифференцируемая или лучше -- чтобы получить первое впечатление, можно и под фонарем пошарить). Тогда при маленьком x-x0 мы ( Read more... ) -
Гроб номер 1
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача 1. Набросок решения. Я специально пишу неформально, глазами олимпиадника, примерно как я это решал. В неравенстве
х*[8*(1-х)^1/2 + (1+x)^1/2] <= 11*(1+x)^1/2 - 16*(1-x)^1/2
в неотрицательных х мы должны найти решение при 0<=x<=1 (дальше корень из 1-х не извлекается). Достаточно найти ( Read more... ) -
Любовь к отеческим гробам
После шестидневной войны советское начальство обиделось на евреев (мы просто хотели оружием и консультантами помочь прикрыть Израиль, а они вероломно воспротивились), и, в частности, решили почистить от пятой колонны ящики и вузы посерьезнее. На мехмате под патронажем нынешнего ректора огородничего подошли ответственно и валили на устном экзамене ( Read more... )