Гроб номер 5
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача номер 5. Решите уравнение (sin(x))7+(1/sin(x))3=(cos(x))7+(1/cos(x))3.
Решаем так. Во-первых, есть очевидные решения, когда sin(x)=cos(x). Тогда оба равны либо √2/2, либо -√2/2, и x=π/4+πk, где k -- целое число. Хотелось бы доказать, что других нет (иначе уж точно формулу не напишешь). Так как u=sin(x) и v=cos(x) могут быть любые числа с u2+v2=1, то мы на самом деле решаем систему уравнений f(u)=f(v), u2+v2=1, где f(t)=t7+t-3. Функция f нечетная и f(t)>0 для t>0, поэтому достаточно доказать, что нет положительных решений с неравными u,v. Посмотрев на производную, легко видеть, что f(t) убывает из бесконечности в t=0 до минимума в t=(3/7)1/10 и потом растет до t=1, где принимает значение f(1)=2. Значит, любое решение f(u)=f(v) нa [0,1] с u≠v выполняет условие f(u)≤2. Крайнее значение 2 принимается в какой-то точке х, которую точно не посчитаешь, но можно оценить -- x7+x-3=2, поэтому x-3≤2 и x≥21/3>√2/2. Таким образом, при любом положительном решении с u≠v мы автоматом имеем что u,v>√2/2, а отсюда u2+v2>1. Противоречие.
Замечания.
1. Имея это решение, его можно немножко причесать и сократить (но будет менее понятно, откуда оно взялось), ввиду жанра, я не буду этого делать. Геометрический смысл такой, что у графика f(t) есть пары точек с f(u)=f(v), но весь кусок ['0,√2/2] не имеет пары на отрезке [0,1], т..к лежит выше 2=f(1). Тривиальное решение как раз лежит в этом куске (на границе), а любое нетривиальное должно иметь обе точки не в нем, и тогда сумма их квадртатов больше 1, т.е. они не sin(x),cos(x).
2. Это же решение сработает и для многих других случаев, типа (sin(x))57+(1/sin(x))43=(cos(x))57+(1/cos(x))43.
3. У Ховановой решение, которое я бы вообще не ждал, что возможно -- разложить тригонометрию по формулам, пользуясь тем, что степени не очень велики, и дальше оценить какие-то неравенства (полином 6-й степени оказывается без корней). Для больших степеней оно, конечно, не сработает.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 6. В плоскости дана точка Q и угол А. Проведите прямую через Q так, чтобы от угла А ей отсекался треугольник периметра p, где
(а) p -- данная длина,
(б) p -- минимально возможное.
Задача номер 5. Решите уравнение (sin(x))7+(1/sin(x))3=(cos(x))7+(1/cos(x))3.
Решаем так. Во-первых, есть очевидные решения, когда sin(x)=cos(x). Тогда оба равны либо √2/2, либо -√2/2, и x=π/4+πk, где k -- целое число. Хотелось бы доказать, что других нет (иначе уж точно формулу не напишешь). Так как u=sin(x) и v=cos(x) могут быть любые числа с u2+v2=1, то мы на самом деле решаем систему уравнений f(u)=f(v), u2+v2=1, где f(t)=t7+t-3. Функция f нечетная и f(t)>0 для t>0, поэтому достаточно доказать, что нет положительных решений с неравными u,v. Посмотрев на производную, легко видеть, что f(t) убывает из бесконечности в t=0 до минимума в t=(3/7)1/10 и потом растет до t=1, где принимает значение f(1)=2. Значит, любое решение f(u)=f(v) нa [0,1] с u≠v выполняет условие f(u)≤2. Крайнее значение 2 принимается в какой-то точке х, которую точно не посчитаешь, но можно оценить -- x7+x-3=2, поэтому x-3≤2 и x≥21/3>√2/2. Таким образом, при любом положительном решении с u≠v мы автоматом имеем что u,v>√2/2, а отсюда u2+v2>1. Противоречие.
Замечания.
1. Имея это решение, его можно немножко причесать и сократить (но будет менее понятно, откуда оно взялось), ввиду жанра, я не буду этого делать. Геометрический смысл такой, что у графика f(t) есть пары точек с f(u)=f(v), но весь кусок ['0,√2/2] не имеет пары на отрезке [0,1], т..к лежит выше 2=f(1). Тривиальное решение как раз лежит в этом куске (на границе), а любое нетривиальное должно иметь обе точки не в нем, и тогда сумма их квадртатов больше 1, т.е. они не sin(x),cos(x).
2. Это же решение сработает и для многих других случаев, типа (sin(x))57+(1/sin(x))43=(cos(x))57+(1/cos(x))43.
3. У Ховановой решение, которое я бы вообще не ждал, что возможно -- разложить тригонометрию по формулам, пользуясь тем, что степени не очень велики, и дальше оценить какие-то неравенства (полином 6-й степени оказывается без корней). Для больших степеней оно, конечно, не сработает.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 6. В плоскости дана точка Q и угол А. Проведите прямую через Q так, чтобы от угла А ей отсекался треугольник периметра p, где
(а) p -- данная длина,
(б) p -- минимально возможное.