Гроб номер 4
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача номер 4. Решите в действительных числах уравнение 2(2y-1)1/3=y3+1.
Здесь тоже можно попробовать избавиться от иррациональностей, возведя в куб, но получим уравнение девятой степени... Это слишком. Ок, попробуем посмотреть на графики z=2(2y-1)1/3 и z=y3+1, чтобы найти точки пересечения. Второй -- обычная кубическая парабола z=y3,сдвинутая на один вверх, а первый -- она же на боку, т.е. с заменой осей y и z -- z=y1/3, сдвинутая на один и растянутая по осям (в два раза по одной и сжатая в два раза по другой). Во-первых уже видно, что пересечений, скорее всего, три, во-вторых, можно заметить, что параболы почти симметричны, и можно сделать их совсем симметричными, если переписать уравнение как (2y-1)1/3=(y3+1)/2 -- функции z=f(y)=(2y-1)1/3 и z=g(y)=(y3+1)/2 обратны, т.е. f(y)=z равносильно g(z)=y, их графы симметричны относительно диагонали y=z, а наше уравнение может быть записано как система z=g(y) и y=g(z) из двух кубических уравнений. Отсюда сразу понятно, что любое решение уравнения y=g(y) также решит и систему, а значит, решит и наше уравнение. Вопрос, есть ли еще решения, пока не до конца ясен (судя по графикам -- нет).
Начнем с первого шага. Уравнение y=g(y) дает кубическое уравнение y3-2y+1=0. Рациональный корень должен быть плюс или минус один (см. гроб номер раз), и таки 1 -- корень. Делим на y-1, получаем y2+y-1=0 и находим еще два корня. Почему кроме этих трех других нет? Могло бы быть, что g(g(y))=y, но g(y)≠y ? Короткий трюк у Ховановой показывает, что нет -- функция g(y) монотонна, т.е. y≤g(y)≤g(g(y)) и равенство возможно только при y=g(y). Если мы это не заметили, то не беда, на этом этапе задача уже несложная и имеет не одно решение. Можно, например, проанализировать, где эти функции убывают, выпуклые, и т.д., т.е. решить способами матанализа и производных. Подробности я опущу.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 5. Решите уравнение (sin(x))7+(1/sin(x))3=(cos(x))7+(1/cos(x))3.
Задача номер 4. Решите в действительных числах уравнение 2(2y-1)1/3=y3+1.
Здесь тоже можно попробовать избавиться от иррациональностей, возведя в куб, но получим уравнение девятой степени... Это слишком. Ок, попробуем посмотреть на графики z=2(2y-1)1/3 и z=y3+1, чтобы найти точки пересечения. Второй -- обычная кубическая парабола z=y3,сдвинутая на один вверх, а первый -- она же на боку, т.е. с заменой осей y и z -- z=y1/3, сдвинутая на один и растянутая по осям (в два раза по одной и сжатая в два раза по другой). Во-первых уже видно, что пересечений, скорее всего, три, во-вторых, можно заметить, что параболы почти симметричны, и можно сделать их совсем симметричными, если переписать уравнение как (2y-1)1/3=(y3+1)/2 -- функции z=f(y)=(2y-1)1/3 и z=g(y)=(y3+1)/2 обратны, т.е. f(y)=z равносильно g(z)=y, их графы симметричны относительно диагонали y=z, а наше уравнение может быть записано как система z=g(y) и y=g(z) из двух кубических уравнений. Отсюда сразу понятно, что любое решение уравнения y=g(y) также решит и систему, а значит, решит и наше уравнение. Вопрос, есть ли еще решения, пока не до конца ясен (судя по графикам -- нет).
Начнем с первого шага. Уравнение y=g(y) дает кубическое уравнение y3-2y+1=0. Рациональный корень должен быть плюс или минус один (см. гроб номер раз), и таки 1 -- корень. Делим на y-1, получаем y2+y-1=0 и находим еще два корня. Почему кроме этих трех других нет? Могло бы быть, что g(g(y))=y, но g(y)≠y ? Короткий трюк у Ховановой показывает, что нет -- функция g(y) монотонна, т.е. y≤g(y)≤g(g(y)) и равенство возможно только при y=g(y). Если мы это не заметили, то не беда, на этом этапе задача уже несложная и имеет не одно решение. Можно, например, проанализировать, где эти функции убывают, выпуклые, и т.д., т.е. решить способами матанализа и производных. Подробности я опущу.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 5. Решите уравнение (sin(x))7+(1/sin(x))3=(cos(x))7+(1/cos(x))3.