Гроб номер 1
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача 1. Набросок решения. Я специально пишу неформально, глазами олимпиадника, примерно как я это решал. В неравенстве
х*[8*(1-х)^1/2 + (1+x)^1/2] <= 11*(1+x)^1/2 - 16*(1-x)^1/2
в неотрицательных х мы должны найти решение при 0<=x<=1 (дальше корень из 1-х не извлекается). Достаточно найти точные решения уравнения, и понять как меняется знак. Одно решение есть наверняка, т.к. в 0 больше левая часть, а в 1 -- правая. Рабочая гипотеза -- есть одно рациональное решение, других нет, а то замаемся их искать, и так дроби будут в лучшем случае, но пока не решим точно, иди знай.
Попытка избавиться от корней в лоб, обычным умножением на 11*(1+x)^1/2 + 16*(1-x)^1/2 и т.д. дает большие степени и коэффициенты. Не подходит. Зато можно просто сгруппировать один и тот же корень как
8*(х+2)*(1-x)^1/2 <= (11-x)*(1+x)^1/2.
Обе стороны положительны на [0,1], значит, берем квадрат и получаем эквивалентное неравенство
65*х^3+171*x^2+99*x-135 >= 0
(тут важно два раза проверить себя, открыв скобки -- если практики недостаточно, наляпаешь наверняка). Если у кубического полинома нет рационального корня, то кранты -- решение дрянь с кубическими корнями, оно будет в ответе, т.к. на отрезке [0,1] корень имеется, такое спросить не могут (или оно саппелируется, как задача с ошибкой). Рациональное решение всегда вида a/b, гда а делит 135 (свободный член) и b делит 65 (старший коэффициент). Имеем довольно большой перебор, но можно заметить, что 135 делится на 27=3^3 -- зацепка. А 99 -- на 9, а 171 -- на 3, и записать уравнение на x=3y, сократив 27 и получив 65*y^3+57*y^2+11*y-5 >= 0, где надо решить при 0<=y<=1/3. Тут уже перебор из 1/5,1/13,1/65, начинаем с 1/5 -- тадам, подходит. Выносим (y-1/5) -- а лучше (5y-1) -- за скобку, остается квадратная дрянь (можно исследовать как угодно). Она оказывается положительна -- нет корней на отрезке. Таким образом, ответ 1/3>=y>=1/5, т.е. 1>=x>=3/5.
P.S. В решении в брошюре делается подстановка y=[(1-x)/(1+x)]^{1/2}. Она тоже ведет к кубическому неравенству, но с меньшими коэффициентами и лучшим решением 1/2. Почему? Наверное, повезло. Но может, и те, кто задачу придумал, плясали от этой подстановки и не заметили, что есть решение совсем в лоб.
P.P.S. Домашнее задание. Задача номер 2. Тоже совсем не ужас-ужас. Найти все функции f(t) из R в R так, что f(x)-f(y)<=(x-y)^2 для любых x,y.
Задача 1. Набросок решения. Я специально пишу неформально, глазами олимпиадника, примерно как я это решал. В неравенстве
х*[8*(1-х)^1/2 + (1+x)^1/2] <= 11*(1+x)^1/2 - 16*(1-x)^1/2
в неотрицательных х мы должны найти решение при 0<=x<=1 (дальше корень из 1-х не извлекается). Достаточно найти точные решения уравнения, и понять как меняется знак. Одно решение есть наверняка, т.к. в 0 больше левая часть, а в 1 -- правая. Рабочая гипотеза -- есть одно рациональное решение, других нет, а то замаемся их искать, и так дроби будут в лучшем случае, но пока не решим точно, иди знай.
Попытка избавиться от корней в лоб, обычным умножением на 11*(1+x)^1/2 + 16*(1-x)^1/2 и т.д. дает большие степени и коэффициенты. Не подходит. Зато можно просто сгруппировать один и тот же корень как
8*(х+2)*(1-x)^1/2 <= (11-x)*(1+x)^1/2.
Обе стороны положительны на [0,1], значит, берем квадрат и получаем эквивалентное неравенство
65*х^3+171*x^2+99*x-135 >= 0
(тут важно два раза проверить себя, открыв скобки -- если практики недостаточно, наляпаешь наверняка). Если у кубического полинома нет рационального корня, то кранты -- решение дрянь с кубическими корнями, оно будет в ответе, т.к. на отрезке [0,1] корень имеется, такое спросить не могут (или оно саппелируется, как задача с ошибкой). Рациональное решение всегда вида a/b, гда а делит 135 (свободный член) и b делит 65 (старший коэффициент). Имеем довольно большой перебор, но можно заметить, что 135 делится на 27=3^3 -- зацепка. А 99 -- на 9, а 171 -- на 3, и записать уравнение на x=3y, сократив 27 и получив 65*y^3+57*y^2+11*y-5 >= 0, где надо решить при 0<=y<=1/3. Тут уже перебор из 1/5,1/13,1/65, начинаем с 1/5 -- тадам, подходит. Выносим (y-1/5) -- а лучше (5y-1) -- за скобку, остается квадратная дрянь (можно исследовать как угодно). Она оказывается положительна -- нет корней на отрезке. Таким образом, ответ 1/3>=y>=1/5, т.е. 1>=x>=3/5.
P.S. В решении в брошюре делается подстановка y=[(1-x)/(1+x)]^{1/2}. Она тоже ведет к кубическому неравенству, но с меньшими коэффициентами и лучшим решением 1/2. Почему? Наверное, повезло. Но может, и те, кто задачу придумал, плясали от этой подстановки и не заметили, что есть решение совсем в лоб.
P.P.S. Домашнее задание. Задача номер 2. Тоже совсем не ужас-ужас. Найти все функции f(t) из R в R так, что f(x)-f(y)<=(x-y)^2 для любых x,y.