Обозначим x=(2y-1)^1/3 и получаем эквивалентную систему 2x=y^3+1, 2y=x^3+1. Поскольку эти кубики переводятся друг в друга отражением относительно x=y, достаточно найти пересечение одной из них с прямой x=y. Решаем 2y=y^3+1. Очевидно, что y=1 корень. Остается проверить корни y^2+y-1=0. Имеем еще 2 корня. Всего три решения. Решение заняло 3 минуты устно. Опять же, для школьника это гроб, для средней руки олимпиадника, по-моему совсем нет.
Держим в голове решение tropicalizator, но не оглашаем.
Вместо этого косим под дурачка - сводим к уравнению 9-й степени, "чудесно угадываем" и "честно проверяем" три действительных корня, после чего методом Штурма считаем действительные корни уравнения 9-й степени - их ровно три.
1. Никогда не выписывал руками ряд Штурма такой длины, но ради экзамена почему бы и нет. Правда потом можно нарваться на кучу вопросов про метод "не из школьной программы".
2. Возможно отсутствие действительных корней у оставшегося многочлена 6-й степени можно доказать наколенными школьными методами. UPD. Да, возможно, остаток довольно велик и его легко оценить снизу.
Comments 11
2x=y^3+1, 2y=x^3+1.
Поскольку эти кубики переводятся друг в друга отражением относительно x=y, достаточно найти пересечение одной из них с прямой x=y. Решаем 2y=y^3+1. Очевидно, что y=1 корень. Остается проверить корни y^2+y-1=0. Имеем еще 2 корня. Всего три решения.
Решение заняло 3 минуты устно. Опять же, для школьника это гроб, для средней руки олимпиадника, по-моему совсем нет.
Reply
Почти решил, но получил бы минус. Почему нет циклов длины два?
Reply
Reply
Держим в голове решение tropicalizator, но не оглашаем.
Вместо этого косим под дурачка - сводим к уравнению 9-й степени, "чудесно угадываем" и "честно проверяем" три действительных корня, после чего методом Штурма считаем действительные корни уравнения 9-й степени - их ровно три.
1. Никогда не выписывал руками ряд Штурма такой длины, но ради экзамена почему бы и нет. Правда потом можно нарваться на кучу вопросов про метод "не из школьной программы".
2. Возможно отсутствие действительных корней у оставшегося многочлена 6-й степени можно доказать наколенными школьными методами. UPD. Да, возможно, остаток довольно велик и его легко оценить снизу.
Reply
Leave a comment