Гроб номер 3
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача 3. Дан треугольник ABC. Используя циркуль и линейку, постройте точки X на AB и Y на BC, так что AX=XY=YC.
Олимпиады (и проломиться еврею на мехмат) -- дело практическое. Надо действовать максимально надежно, а не бегать за красотой и вдохновением, которое может и не посетить. Любую геометрию надо первым делом проверить на возможность разумного (по размерам) счетного решения. Как минимум, тригонометрия, затем в координатах, и, если уметь, еще комплексными числами (особенно удобно с поворотами и окружностями) и проективными методами (если много прямых и мало окружностей). И если ничего такого не видно, то уже тогда во все тяжкие. Для которых, кстати, надо обязательно иметь хороший циркуль и линейку, чтобы рисовалось адекватно, углы были похожи, окружности были окружностями, а не мазней, и можно было вначале заметить в дополнительных построениях (примерное) равенство каких-то углов, сторон и прочего, а потом уже думать, как это доказать.
В данном случае просто напрашивается базисная треугольная тригонометрия -- взять длину AХ за x и посчитать треугольник BXY по теореме косинусов, так как BX=AB-AX=c-x, BY=BC-CY=a-x и, стало быть, (c-x)2+(a-x)2-2(c-x)(a-x)cos(β)=x2, где cos(β)=(a2+c2-b2)/2ac по той же теореме косинусов. Открываем скобки, решаем квадратное уравнение и вуаля (если есть положительное решение). Остается показать, как строить арифметические операции циркулем и линейкой. Это стандарт, который надо знать заранее (иначе счетом такие задачи нельзя решать вообще). Если есть длинны x,y, то x+y и x-y строятся очевидно. А для остального надо выбрать масштаб -- зафиксировать любой отрезой, он будет длины 1. И дальше построить xy=xy/1 и x/y=1*x/y через подобие, а корень из x через пифагора (прямоугольный треугольник с гипотенузой x+1 и катетом x-1).
Короче, если знать, как строить циркулем и линейкой арифметические операции и корень, то решение занимает 5 минут. Конечно, надо потом рассказать в деталях, как строить корень, как -- произведение, и т.д. Это займет время -- отлично. Меньше будут спрашивать про другие задачи. Если сдуру попросят все построение выписать от начала до конца, еще лучше -- рассказ займет час, спешить некуда. Берем формулу из квадратного уравнения, и начинаем операцию за операцией...
Это счетное решение и обсуждалось в комментах. Заодно дали ссылку на короткое чисто геометрическое решение, как говорится, good luck. Искать такое (или просто кратчайшее) на олимиаде или экзамене, когда есть альтернатива, -- идиотизм. У Ховановой приводится разумное геометрическое решение, основанное на идее, что четырехугаольник AXYC с точностью до подобия задан углами A,C и условием AX=XY=YC=х. Выберем любой х, зафиксируем YC и начнем двигать точку А, пока длина AC не подойдет. Детали по ссылке. Ну, если сразу заметить, то можно потратить 5 минут, прежде чем проверять счет, но уж больно счет сразу в глаза бросается.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 4. Решите в действительных числах уравнение 2(2y-1)1/3=y3+1.
Задача 3. Дан треугольник ABC. Используя циркуль и линейку, постройте точки X на AB и Y на BC, так что AX=XY=YC.
Олимпиады (и проломиться еврею на мехмат) -- дело практическое. Надо действовать максимально надежно, а не бегать за красотой и вдохновением, которое может и не посетить. Любую геометрию надо первым делом проверить на возможность разумного (по размерам) счетного решения. Как минимум, тригонометрия, затем в координатах, и, если уметь, еще комплексными числами (особенно удобно с поворотами и окружностями) и проективными методами (если много прямых и мало окружностей). И если ничего такого не видно, то уже тогда во все тяжкие. Для которых, кстати, надо обязательно иметь хороший циркуль и линейку, чтобы рисовалось адекватно, углы были похожи, окружности были окружностями, а не мазней, и можно было вначале заметить в дополнительных построениях (примерное) равенство каких-то углов, сторон и прочего, а потом уже думать, как это доказать.
В данном случае просто напрашивается базисная треугольная тригонометрия -- взять длину AХ за x и посчитать треугольник BXY по теореме косинусов, так как BX=AB-AX=c-x, BY=BC-CY=a-x и, стало быть, (c-x)2+(a-x)2-2(c-x)(a-x)cos(β)=x2, где cos(β)=(a2+c2-b2)/2ac по той же теореме косинусов. Открываем скобки, решаем квадратное уравнение и вуаля (если есть положительное решение). Остается показать, как строить арифметические операции циркулем и линейкой. Это стандарт, который надо знать заранее (иначе счетом такие задачи нельзя решать вообще). Если есть длинны x,y, то x+y и x-y строятся очевидно. А для остального надо выбрать масштаб -- зафиксировать любой отрезой, он будет длины 1. И дальше построить xy=xy/1 и x/y=1*x/y через подобие, а корень из x через пифагора (прямоугольный треугольник с гипотенузой x+1 и катетом x-1).
Короче, если знать, как строить циркулем и линейкой арифметические операции и корень, то решение занимает 5 минут. Конечно, надо потом рассказать в деталях, как строить корень, как -- произведение, и т.д. Это займет время -- отлично. Меньше будут спрашивать про другие задачи. Если сдуру попросят все построение выписать от начала до конца, еще лучше -- рассказ займет час, спешить некуда. Берем формулу из квадратного уравнения, и начинаем операцию за операцией...
Это счетное решение и обсуждалось в комментах. Заодно дали ссылку на короткое чисто геометрическое решение, как говорится, good luck. Искать такое (или просто кратчайшее) на олимиаде или экзамене, когда есть альтернатива, -- идиотизм. У Ховановой приводится разумное геометрическое решение, основанное на идее, что четырехугаольник AXYC с точностью до подобия задан углами A,C и условием AX=XY=YC=х. Выберем любой х, зафиксируем YC и начнем двигать точку А, пока длина AC не подойдет. Детали по ссылке. Ну, если сразу заметить, то можно потратить 5 минут, прежде чем проверять счет, но уж больно счет сразу в глаза бросается.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 4. Решите в действительных числах уравнение 2(2y-1)1/3=y3+1.