Гроб номер 2

[svyatogorodski]

В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.

Задача 2. Нужно найти все функции f(t) из R в R так, что f(x)-f(y)≤(x-y)2 для любых x,y.

Набросок решения. Прикинем вначале, что это значит, если функция хорошая (дифференцируемая или лучше -- чтобы получить первое впечатление, можно и под фонарем пошарить). Тогда при маленьком x-x0 мы

Comments

[ext_6006039]

Новый гроб тупо считается разными способами. Например через теорему косинусов для XBY и ABC получаем квадратное уравнение на искомую длину в терминах сторон данного треугольника и арифметических действий. Осталось рассказать экзаменатору как строят эти действия и как извлекают корень. Можно и по-другому посчитать. Геометрически сходу не вижу, а думать лень. Кстати, не для всех треугольников такие точки существуют.

[svyatogorodski]

У них там неплохое геометрическое решение. Я тоже решил косинусами. Решить занимает 5 минут (если знаешь, как строить длины), а от добра добра не ищут. И на олимпиадах и тут главное - практическое решение с минимумом затрат (на решение плюс запись).

[ext_6006039]

Ну, честно говоря, первые три задачи не такие уж и гробы. Т.е. обычный хороший школьник ни один из них конечно не решит, но олимпиадник средней руки должен решить все три.

[svyatogorodski]

Я именно этому и удивился, что задачки (первые 6 что ли, дальше не смотрел) - средние олимпиадные или даже пониже, но не из серии решали всем конгрессом. А неподготовленному много не надо, понятно, что гроб.

П.С. Кстати, решение-то всегда есть.

[ald1976]

Хотели бы гроба - потребовали бы построить меньше, чем за 10 ходов.

Гробик, кстати, перекочевал в евклидию и имеет решение за 6 ходов.

6 - если тривиальные вещи считать за один ход, 7 - если честно посчитать взмахи циркуля и линейки.

[svyatogorodski]

Я полагаю, что этого хватало с крышкой. А уж поначалу, когда еще не начали готовиться, так наверняка.

[ald1976]

Для выпускника обычной школы, где построения проходят для галочки - да.

Для матшкольника - нет, счетное решение он предъявить обязан, тем более что счет одноходовой. Решение "оптимальное" - гроб и для мат.школьника.

Другое дело, что странно как-то дополнительно грузить мат.школьника на вступительных, если потом его все равно засунут в обычную слабую группу, а не в продвинутую, как сейчас практикуют в Питере.