Гроб номер 2

[svyatogorodski]

В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.

Задача 2. Нужно найти все функции f(t) из R в R так, что f(x)-f(y)≤(x-y)2 для любых x,y.

Набросок решения. Прикинем вначале, что это значит, если функция хорошая (дифференцируемая или лучше -- чтобы получить первое впечатление, можно и под фонарем пошарить). Тогда при маленьком x-x0 мы

Comments

[ext_6006039]

Новый гроб тупо считается разными способами. Например через теорему косинусов для XBY и ABC получаем квадратное уравнение на искомую длину в терминах сторон данного треугольника и арифметических действий. Осталось рассказать экзаменатору как строят эти действия и как извлекают корень. Можно и по-другому посчитать. Геометрически сходу не вижу, а думать лень. Кстати, не для всех треугольников такие точки существуют.

[svyatogorodski]

У них там неплохое геометрическое решение. Я тоже решил косинусами. Решить занимает 5 минут (если знаешь, как строить длины), а от добра добра не ищут. И на олимпиадах и тут главное - практическое решение с минимумом затрат (на решение плюс запись).

[ext_6006039]

Ну, честно говоря, первые три задачи не такие уж и гробы. Т.е. обычный хороший школьник ни один из них конечно не решит, но олимпиадник средней руки должен решить все три.

[svyatogorodski]

Я именно этому и удивился, что задачки (первые 6 что ли, дальше не смотрел) - средние олимпиадные или даже пониже, но не из серии решали всем конгрессом. А неподготовленному много не надо, понятно, что гроб.

П.С. Кстати, решение-то всегда есть.

[ext_6006039]

Посмотрел их геометрическое решение. Симпатично.
Решение все таки есть не всегда. Если угол С очень маленький, то в обозначениях их геометрического решения, точка К' не существует. Это произойдет, если ВС больше, чем 2АВ.