Гроб номер 4

[svyatogorodski]

В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.

Задача номер 4. Решите в действительных числах уравнение 2(2y-1)1/3=y3+1.

Здесь тоже можно попробовать избавиться от иррациональностей, возведя в куб, но получим уравнение девятой степени... Это слишком. Ок, попробуем посмотреть на графики z=2(2y-1)1/3 и z=y3+1, чтобы найти точки пересечения

Comments

[profi]

Ууупс... Одно очевидное решение х = pi/4. Толко не смейтесь сильно.

[svyatogorodski]

Ну тут нельзя не посмеяться - нам долбили в школе что на рефлексе должно отскочить +2pi*n. Иначе точно незачет. Дальше понятно, что и pi+pi/4 подойдет (оба равны -2^(1/2)/2 ). Опять же +2pi n, т.е. на одной аккуратности имеем pi/4+pi*n. Дальше надо доказывать, что других решений нет. Это собственно и есть основное занятие в этой задаче.

Кстати, очень забавно, но Хованова не написала +2pi n, может, их этим не дрючили? Но в мое время в тригонометрии строго спрашивали все действительные решения.

[profi]

Правильно дрючили. Конечно же функции периодические. Поэтому я и написал - "одно очевидное". Вы сразу дали полный спектр действительных решений. Что не удивительно - Вы выпускник МГУ, а я там на вступительных в 1976 году недобрал баллов (правда, на физфак). Правильно сделали мгу-вские антисемиты, что прокинули меня на вступительных. Я, в общем, последующим доволен. Хотя математику так и не выучил на приемлемом уровне. А то, что хоть как-то выучил, давно забыл. За полной ненадобностью.

[svyatogorodski]

>Вы выпускник МГУ
Я в мгу только год отучился. Преферанс сильно подтянул тогда, это да. Одну свою вечнозеленую сдачу там сыграл. А другую, когда в ТА универе доучивался. Разделил степень :)

[ald1976]

Гроб 5 уже противный, но все еще не классический гроб,что надо решать всей кафедрой - функция x^7+x^(-3) немонотонна на [-1;1], так что придется возиться вблизи концов отрезка и показывать по теореме Пифагора, что пара разных точек около единицы заведомо не может быть синусом и косинусом одного угла.

А до этого оценивать, где примерно ее локальные экстремумы, извлекая корень десятой степени.

Короче гадость малоэстетическая.

[svyatogorodski]

Ну, не так ужасно, но в ту степь. Хотя у Ховановой другое решение.

[ald1976]

Даже у антисемитов должно быть чувство прекрасного - хотите завалить - завалите чем-нибудь, что не уродливо.

Не знаю, что у Тани, но боюсь, что без копрофилии тут не обойтись.

0,8^7 + 0,8^(-3) > 0.2 + 125/64 > 2 и этого [плюс очевидная картинка] хватит, но грузить подобными безыдейными упражнениями - свинство.

[ext_6006039]

Я так же решил:
Рассматриваем функцию f(x)=х^7+х^-3 на (0,1] (аналогично на [-1,0)). Она монотонно убывает (из бесконечности), а потом монотонно растет. В х=1 она принимает значение 2. Второя точка со значением два на этом отрезке удовлетворяет а^10+1=2а^3. Значит 2а^2>2а^3>1. Из монотонности следует, что если в двух разных точках x, y на отрезке f совпадает, то x^2+y^2>=2a^2>1. Следовательно, такие точки не могут быть синусом и косиносом. Ну, и т.к. f нечетная функция, мы получаем, что решений отличных от sin=cos нет.

Решал опять устно, но в этот раз замаялся - минут 20-25 взяло. Вообщем, опять не совсем гроб.