Гроб номер 7
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача номер 7. Дана окружность с проведенной линией l, проходящей через центр (или только диаметр, неважно). Также дана точка P не на прямой и не на окружности. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из P на l.
Если знать некоторые обычные задачи на построение одной линейкой, то можно решить по разному, и когда точка на окружности или прямой -- тоже. Например, если использовать, построение поляры к точке относительно окружности и проведение параллели через данную точку к двум параллельным прямым. Но если просто смотреть на задачку с нуля, то начинаешь проверять, какие прямые можно естественно провести. Пусть l высекает диаметр AB, тогда первым делом напрашиваются прямые AP, BP (соединим точки, еще не соединенные прямыми). Либо одна из них перпендикулярна диаметру, и мы выиграли, либо мы получим еще по точке пересечения этих прямых с окружностью -- X на AP, Y на BP. Дальше напрашивается провести BX и АY (опять же, соединим точки, еще не соединенные прямой на чертеже). Тут бросается в глаза, что на самом деле, BX и AY -- высоты в треугольнике ABP потому что AXB и AYB прямые углы -- они вписаны в окружность напротив диаметр. Если мы все делаем технически правильно -- принесли циркуль, окружность настоящая, прямые проводим по линейке, то прямота углов будет сразу бросаться в глаза... Следущая напрашивающаяся прямая -- через P и точку Z, где пересекаются высоты BX, AY. По теореме о пересечении высот, PZ -- тоже высота, а значит она и есть искомый перпендикуляр к l. Опять же, если мы все рисуем корректно, это бросится в глаза, даже если мы поначалу пропустили сам аргумент, и тогда уже можно будет подумать, почему, и быстро найти его. Проверьте сами, что решение не зависит от того, внутри окружности точка, или вовне, и как рисунок выглядит -- есть несколько вариантов, высота напротив тупого угла лежит вне треугольника.
Короче, задачка простая. Чуть ли не единственная в списке, которую и гробом не назовешь. Вот даже тов. Мишустин, приехав в школу на первое сентября, выдал детям решить более сложную версию этой задачки, когда опустить перпендикуляр надо из точки на окружности (спасибо ald1976 за наводку, сам я, в новостях видел, но, конечно, забыл уже, да и не факт, что смотрел тогда, какую задачу мишустин дал школьникам). В элементарном решении (без поляр) надо вначале найти эту идею из решения выше, чтобы получить какой-то перпендикуляр, а потом еще добавить второй блок построения, используя симметрию окружности вокруг диаметра. Уж не знаю, какая была цель у референтов, подобравших ему эту задачку -- завалить всех, включая учителя (что и вышло), чтобы показать, какой мишутка умный, или все же что-то другое?
P.S. Домашнее задание. Задача номер 8. Дан равносторонний треугольник ABC и точка O внутри него с углами x=BOC, y=AOC. Выразите через x,y углы треугольника со сторонами равными AO, BO, CO.
Задача номер 7. Дана окружность с проведенной линией l, проходящей через центр (или только диаметр, неважно). Также дана точка P не на прямой и не на окружности. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из P на l.
Если знать некоторые обычные задачи на построение одной линейкой, то можно решить по разному, и когда точка на окружности или прямой -- тоже. Например, если использовать, построение поляры к точке относительно окружности и проведение параллели через данную точку к двум параллельным прямым. Но если просто смотреть на задачку с нуля, то начинаешь проверять, какие прямые можно естественно провести. Пусть l высекает диаметр AB, тогда первым делом напрашиваются прямые AP, BP (соединим точки, еще не соединенные прямыми). Либо одна из них перпендикулярна диаметру, и мы выиграли, либо мы получим еще по точке пересечения этих прямых с окружностью -- X на AP, Y на BP. Дальше напрашивается провести BX и АY (опять же, соединим точки, еще не соединенные прямой на чертеже). Тут бросается в глаза, что на самом деле, BX и AY -- высоты в треугольнике ABP потому что AXB и AYB прямые углы -- они вписаны в окружность напротив диаметр. Если мы все делаем технически правильно -- принесли циркуль, окружность настоящая, прямые проводим по линейке, то прямота углов будет сразу бросаться в глаза... Следущая напрашивающаяся прямая -- через P и точку Z, где пересекаются высоты BX, AY. По теореме о пересечении высот, PZ -- тоже высота, а значит она и есть искомый перпендикуляр к l. Опять же, если мы все рисуем корректно, это бросится в глаза, даже если мы поначалу пропустили сам аргумент, и тогда уже можно будет подумать, почему, и быстро найти его. Проверьте сами, что решение не зависит от того, внутри окружности точка, или вовне, и как рисунок выглядит -- есть несколько вариантов, высота напротив тупого угла лежит вне треугольника.
Короче, задачка простая. Чуть ли не единственная в списке, которую и гробом не назовешь. Вот даже тов. Мишустин, приехав в школу на первое сентября, выдал детям решить более сложную версию этой задачки, когда опустить перпендикуляр надо из точки на окружности (спасибо ald1976 за наводку, сам я, в новостях видел, но, конечно, забыл уже, да и не факт, что смотрел тогда, какую задачу мишустин дал школьникам). В элементарном решении (без поляр) надо вначале найти эту идею из решения выше, чтобы получить какой-то перпендикуляр, а потом еще добавить второй блок построения, используя симметрию окружности вокруг диаметра. Уж не знаю, какая была цель у референтов, подобравших ему эту задачку -- завалить всех, включая учителя (что и вышло), чтобы показать, какой мишутка умный, или все же что-то другое?
P.S. Домашнее задание. Задача номер 8. Дан равносторонний треугольник ABC и точка O внутри него с углами x=BOC, y=AOC. Выразите через x,y углы треугольника со сторонами равными AO, BO, CO.