Гроб номер 5

[svyatogorodski]

В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.

Задача номер 5. Решите уравнение (sin(x))7+(1/sin(x))3=(cos(x))7+(1/cos(x))3Решаем так. Во-первых, есть очевидные решения, когда sin(x)=cos(x). Тогда оба равны либо √2/2, либо -√2/2, и x=π/4+πk, где k -- целое число. Хотелось бы доказать, что других нет (иначе уж точно формулу не напишешь).

Comments

[ald1976]

Пункт a:


Информация о задаче

www.problems.ru

Пункт б следует из пункта a [ограничимся случаем, когда точка внутри угла, случай снаружи разбирается аналогично] - надо вписать в угол окружность, провести к ней касательную в [ближней от A] точке ее пересечения с лучом AQ, где A - вершина угла и провести через Q параллельную к этой касательной.

*******************

Когда-то я успешно решил эту задачу, возможно, что и в школе. Но вряд ли был бы рад получить такое на экзамене. По крайней мере сейчас я решение не смог ни придумать, ни вспомнить, только нагуглить. Вряд ли на экзамене я был бы более успешен.

[svyatogorodski]

Я решил, минут за 20-30 (точно не помню, я уже все прорешал, давно, а сейчас только время от времени вывешиваю, когда не лень еще одно решение записать в дебильном html). Когда дойдем до парочки, где я таки потратил час или больше, я скажу. Долю везения оценить сложно, но идея где рыть у меня была концептуальная. Впрочем, эта проблема еще и считается тригонометрией.

Естественно гробульник. И тут совсем комар носа не подточит - простое решение. Но опять же не задача решать всем конгрессом. И даже не 3,6 на IMO.

[ald1976]

Задача несложная, но если вы тормозили 20 минут, а я около часа, наверное для детского экзамена перебор.

Концептуальная идея, что периметр надо спрямить, разумеется возникает с самого начала. Но вот ее с ее конкретной реализацией возникла заминка.

Тригонометрией и прочими вычислениями решить, разумеется, можно, но с некоторым геморроем, сложность которого может превысить сложность найти красивое геометрическое решение.

[ext_6006039]

В это раз заебся. Посчитать удалось, но сильно через жопу (получил уравнение третьей степени, испугался, потом понял, что на самом деле есть четыре возможные прямые отрезающие треугольники данного (большого)периметра от двух пересекающихся прямых через данную точку, но требуя положительности с данной прямой, остается три, а с обеими прямыми - два. Поэтому выписываются два кубических уравнения, и у них общая квадратичная часть). А досчитывать обломался. Можно наверное через два раза теорему синусов сразу получить квадратное уравнение, но сил нет. Геометрического решения, увы не нашел.

[svyatogorodski]

Ладно, повешу решение.

[ext_6006039]

Посмотрел решение по ссылке выше. Жаль, что не допер. Я пытался спрямлять периметр с параметром: откладываем х по одной стороне Р-х по другой, соединяем отрезком, проводим к нему серединный перпендикуляр и отражаем относительно него (в предположении, что серединный перпендикуляр пересек сторону, на которой отложили Р-х). Так отсекается треугольник данного периметра и с данной стороной х на одной из сторон угла. Но как подобрать х, чтобы третья сторона прошла через заданную точку не ясно. А надо было спрямлять равномерно :(