Гроб номер 6
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача номер 6. В плоскости дана точка Q и угол А. Проведите прямую через Q так, чтобы от угла А ей отсекался треугольник периметра p, где
(а) p -- данная длина,
(б) p -- минимально возможное.
Попытка в лоб обсчитать это тригонометрией получается не очень (в знаменатели попадают синусы сумм), попробуем подумать геометрически. В идеале надо бы этот периметр загнать в длину отрезка (как он нам задается), или хотя бы более простой фигуры. Иногда это достигается отражениями/достройками новых треугольников, но здесь не очень видно, как это сделать. Есть еще одна идея -- периметры фигур хорошо контактируют с вписанными окружностями. Ипользуя то, что расстояния от точки до окружности вдоль двух касательных одинаковы, легко найти отрезки от вершин треугольника до точек касания вписанных или вневписанных окружностей в треугольнике, а также доказать, что четырехугольник описан тогда и только тогда, когда сумма противоположных сторон равны. Исходя из этой зацепки -- идеи вписать окружность, легко заметить, что если ABC треугольник и дана вневписанная окружность, касающаяся BC и продолжений сторон AB, AC в точках X,Y, то AX=AY=p/2, где p=AB+BC+AC периметр.
Поэтому решение в (а) такое -- берем X,Y на сторонах угла, так что AX=AY=p/2, вписываем в угол окружность О, касающуюся сторон в X,Y (ее центр -- пересечение перпендикуляров к X,Y), проводим через Q касательную к окружности О (одно, два или ноль решений), если она пересекает угол, то получаем на сторонах точки B,C и треугольник ABC.
В (б) легко видеть, что минимум не достигается, если Q вне угла (если в симметричном секторе, то вообще нет секущих, а если в дополнительном угле, то всегда есть касательная к сколь угодно маленькой вписанной в А окружности). Если же Q в самом угле А, то минимум будет достигаться, когда Q лежит на вписанной окружности из пункта (а) на внутренней дуге (близкой к A). Так что надо просто найти окружность О, вписанную в угол и такую что Q лежет на ней на внутренней дуге. Впишем в А любую окружность О', найдем ее пересечение Q' с AQ (на внутренней дуге), и сделаем подобие (гомотетию) с коэффициентом AQ/AQ' и центром в А. Оно переведет AQ' и O' в AQ и окружность О, которую мы и ищем.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 7. Дана окружность с проведенной линией l, проходящей через центр (или только диаметр, неважно). Также дана точка P не на прямой и не на окружности. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из P на l.
Задача номер 6. В плоскости дана точка Q и угол А. Проведите прямую через Q так, чтобы от угла А ей отсекался треугольник периметра p, где
(а) p -- данная длина,
(б) p -- минимально возможное.
Попытка в лоб обсчитать это тригонометрией получается не очень (в знаменатели попадают синусы сумм), попробуем подумать геометрически. В идеале надо бы этот периметр загнать в длину отрезка (как он нам задается), или хотя бы более простой фигуры. Иногда это достигается отражениями/достройками новых треугольников, но здесь не очень видно, как это сделать. Есть еще одна идея -- периметры фигур хорошо контактируют с вписанными окружностями. Ипользуя то, что расстояния от точки до окружности вдоль двух касательных одинаковы, легко найти отрезки от вершин треугольника до точек касания вписанных или вневписанных окружностей в треугольнике, а также доказать, что четырехугольник описан тогда и только тогда, когда сумма противоположных сторон равны. Исходя из этой зацепки -- идеи вписать окружность, легко заметить, что если ABC треугольник и дана вневписанная окружность, касающаяся BC и продолжений сторон AB, AC в точках X,Y, то AX=AY=p/2, где p=AB+BC+AC периметр.
Поэтому решение в (а) такое -- берем X,Y на сторонах угла, так что AX=AY=p/2, вписываем в угол окружность О, касающуюся сторон в X,Y (ее центр -- пересечение перпендикуляров к X,Y), проводим через Q касательную к окружности О (одно, два или ноль решений), если она пересекает угол, то получаем на сторонах точки B,C и треугольник ABC.
В (б) легко видеть, что минимум не достигается, если Q вне угла (если в симметричном секторе, то вообще нет секущих, а если в дополнительном угле, то всегда есть касательная к сколь угодно маленькой вписанной в А окружности). Если же Q в самом угле А, то минимум будет достигаться, когда Q лежит на вписанной окружности из пункта (а) на внутренней дуге (близкой к A). Так что надо просто найти окружность О, вписанную в угол и такую что Q лежет на ней на внутренней дуге. Впишем в А любую окружность О', найдем ее пересечение Q' с AQ (на внутренней дуге), и сделаем подобие (гомотетию) с коэффициентом AQ/AQ' и центром в А. Оно переведет AQ' и O' в AQ и окружность О, которую мы и ищем.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 7. Дана окружность с проведенной линией l, проходящей через центр (или только диаметр, неважно). Также дана точка P не на прямой и не на окружности. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из P на l.