Это шутка юмора или социальный эксперимент? Вы модифицируете доказательство Кантора, оно от такой модификации перестает работать, и делаете вывод, что исходное доказательство некорректно. Это примерно как пифагоровы штаны не в ту сторону нарисовать, и говорить, что теорема Пифагора все.
Тем, что используете двоичную систему. Возможность перенумеровать числа не зависит от выбора системы, это правда, но доказательство Кантора для двоичной системы буквально не проходит из-за указанной Вами сложности, а для десятичной (или даже троичной, но тут уже чуть-чуть подумать надо) проходит.
А как ты применяешь мат.индукцию предварительно не доказав равномощьность "исследуемого" множества и N ?
Вот в этом и ошибка (применён некорректный метод => всё, основанное на нём доказательство некорректно).
ПС Это ещё мы не придираемся к тому, что твоё доказательство не конструктивно. Ну да это ладно, не требуется в данном случае, дарка раньше.
ППС Для большей выпуклости опустим "пляски" с перестановками в твоём доказательстве и используем напрямую нумерацию множетсва (делается через кортежи), вот что будет: - выпишем все действительные числа [0, 1], во всех представлениях -- надовём подмножество А - создадим число b, такое, что b[i] = not A[i][i] - очевидно, что b не равно никакому числу из A (*) => подмножество R [0,1] не равномощно самому себе!
*) для чисел 0.x1 и 0.x0(1) b будет отличаться от каждого, у нас же все представления каждого числа **) вроде бы (но пока не уверен, а глаза слипаются), чтобы избежать этих плясок с двойными представлениями надо систему счисления с не менее, чем 4 цифрами, но это не точно.
> А как ты применяешь мат.индукцию предварительно не доказав равномощьность "исследуемого" множества и N ?
Диагональный аргумент используется как раз для того, чтобы доказать неравномощность двух множеств, из чего следует, что он в принципе не может иметь требования «сначала нужно доказать равно/неравномощности множеств».
В диагональном аргументе корректно применяют мат.индукцию и приходят к противоречию (применяют аксиому исключенного 3го). Остальные построения конструктивны (*)
У тебя мат.индукция применена некорректно (по мн-ву равномощность кот-го с N не доказана)
Если неким методом собираются доказать тезис Икс, то не может быть требования «тезис Икс уже доказан» или «доказана ложность тезиса Икс» - иначе это будет самозамкнутое доказательство.
Диагональным методом Кантор доказывает неравномощность двух множеств, поэтому не может быть требования «неравномощность этих множеств уже доказана» или «равномощность двух множеств уже доказана». Из этого следует, что диагональный метод совершенно точно применяется к множествам, равенство или неравенство мощностей которых нам неизвестно.
А зачем ты ограничиваешься диапазоном [0, 1)? Ведь если ты составил несовместное число вне диапазона -- то это не значит, что "диагональный метод неправильный" это значит, что "лично ты не смог привести корректное доказательство".
Нельзя сперва сделать вид, что принимаешь одни аксиомы (правила игры), а потом пытаться (осознанно или неосознанно) заменить или добавить к ним другие. Если мы признаём актуальную бесконечность, то рассуждения об её "квадратности" или "чётности" не имеют смысла. "Конь так не ходит".
> Если мы признаём актуальную бесконечность, то рассуждения об её "квадратности" или "чётности" не имеют смысла.
Постулата «проход по диагонали бесконечной таблицы перебирает в ней все колонки и все строки» в теории множеств нет. Даже у Кантора. Поэтому такое положение должно как-то выводиться из аксиом, чтобы его можно было использовать в доказательстве. Метод «мы ничего не знаем про форму таблицы, поэтому исключает» тут явно не работает: это - неявное постулирование формы таблицы. Вместо него «по умолчанию» должно быть «мы ничего не знаем про форму таблицы, а потому не знаем, исключает ли проход по диагонали все строки», ибо невыводимое из аксиом считается неизвестным, а вовсе не «раз мы не знаем, то давайте считать, что так и есть».
> Что мы делаем не так? Пользуемся диагональным аргументом и теорией множеств с актуальной бесконечностью.
Вот смотри есть три утверждения, доказываемых при помощи мат.индукции: 1. Sum1..inf(1/x) > Sum1..inf(1/2^x) 2. Sum1.. inf(1/3^x) = 3/2 3. |R| > |N|
Вот в чём различие "строгости" между 1 и 3 -- я хоршо понимаю. Нам нет необходимости говорить, что "перебор окончил". Достаточно показать, что каждый член левой части больше каждого члена правой части.
Но вот различие 2 и 3 (если предикаты для 3 по возможности формально сформулировать) -- уже в существенной степени искуственно. В 2 мы сложили все члены ряда и "отчитались" что у нас получилось В 3 мы перебрали все числа и "отчитались" что у нас получилось.
При математической индукции вывод делается для элемента, а не для какой-то функции над всеми последующими элементами, как в диагональном аргументе.
А тут не индукция, тут «мы индукцией что-то доказали для элементов некоторой последовательности, потом сделали произвольное предположение о том, как ведут себя последующие за каждым элементом элементы все вместе, и претендуем, что это - тоже индукция».
Более формально, индукция о том, что…
Если P(n) → P(n + 1), то P(n) верно для любого n
Тут же у нас…
Если верно P(n) для любого n, то верно некое произвольное Q(Range(n, ∞)).
Если бы так можно было в других разделах математики, то мы могли бы доказать почти что любой тезис.
Для бесконечной геометрической прогрессии это в общем случае только предельный переход. Исключительно для вырожденного случая: суммы нулей записанной в форме геометрической прогрессии, она - равенство.
Comments 394
Reply
Reply
Reply
Вообще, в оригинале именно она и использовалась. Поэтому если уж говорить про «меняют», то его меняют те, которые используют десятичную.
Reply
Вот в этом и ошибка (применён некорректный метод => всё, основанное на нём доказательство некорректно).
ПС
Это ещё мы не придираемся к тому, что твоё доказательство не конструктивно.
Ну да это ладно, не требуется в данном случае, дарка раньше.
ППС
Для большей выпуклости опустим "пляски" с перестановками в твоём доказательстве и используем напрямую нумерацию множетсва (делается через кортежи), вот что будет:
- выпишем все действительные числа [0, 1], во всех представлениях -- надовём подмножество А
- создадим число b, такое, что b[i] = not A[i][i]
- очевидно, что b не равно никакому числу из A (*) => подмножество R [0,1] не равномощно самому себе!
*) для чисел 0.x1 и 0.x0(1) b будет отличаться от каждого, у нас же все представления каждого числа
**) вроде бы (но пока не уверен, а глаза слипаются), чтобы избежать этих плясок с двойными представлениями надо систему счисления с не менее, чем 4 цифрами, но это не точно.
Reply
Диагональный аргумент используется как раз для того, чтобы доказать неравномощность двух множеств, из чего следует, что он в принципе не может иметь требования «сначала нужно доказать равно/неравномощности множеств».
Reply
В диагональном аргументе корректно применяют мат.индукцию и приходят к противоречию (применяют аксиому исключенного 3го). Остальные построения конструктивны (*)
У тебя мат.индукция применена некорректно (по мн-ву равномощность кот-го с N не доказана)
Reply
Диагональным методом Кантор доказывает неравномощность двух множеств, поэтому не может быть требования «неравномощность этих множеств уже доказана» или «равномощность двух множеств уже доказана». Из этого следует, что диагональный метод совершенно точно применяется к множествам, равенство или неравенство мощностей которых нам неизвестно.
Reply
А зачем ты ограничиваешься диапазоном [0, 1)?
Ведь если ты составил несовместное число вне диапазона -- то это не значит, что "диагональный метод неправильный" это значит, что "лично ты не смог привести корректное доказательство".
Reply
2. Приходим к абсурдным выводам.
3. Обвиняем основания в противоречивости.
Что мы делаем не так?
Reply
Пользуемся диагональным аргументом и теорией множеств с актуальной бесконечностью.
Reply
Reply
Постулата «проход по диагонали бесконечной таблицы перебирает в ней все колонки и все строки» в теории множеств нет. Даже у Кантора. Поэтому такое положение должно как-то выводиться из аксиом, чтобы его можно было использовать в доказательстве. Метод «мы ничего не знаем про форму таблицы, поэтому исключает» тут явно не работает: это - неявное постулирование формы таблицы. Вместо него «по умолчанию» должно быть «мы ничего не знаем про форму таблицы, а потому не знаем, исключает ли проход по диагонали все строки», ибо невыводимое из аксиом считается неизвестным, а вовсе не «раз мы не знаем, то давайте считать, что так и есть».
Конь так не ходит.
Reply
Пользуемся диагональным аргументом и теорией множеств с актуальной бесконечностью.
Вот смотри есть три утверждения, доказываемых при помощи мат.индукции:
1. Sum1..inf(1/x) > Sum1..inf(1/2^x)
2. Sum1.. inf(1/3^x) = 3/2
3. |R| > |N|
Вот в чём различие "строгости" между 1 и 3 -- я хоршо понимаю. Нам нет необходимости говорить, что "перебор окончил". Достаточно показать, что каждый член левой части больше каждого члена правой части.
Но вот различие 2 и 3 (если предикаты для 3 по возможности формально сформулировать) -- уже в существенной степени искуственно.
В 2 мы сложили все члены ряда и "отчитались" что у нас получилось
В 3 мы перебрали все числа и "отчитались" что у нас получилось.
Reply
А тут не индукция, тут «мы индукцией что-то доказали для элементов некоторой последовательности, потом сделали произвольное предположение о том, как ведут себя последующие за каждым элементом элементы все вместе, и претендуем, что это - тоже индукция».
Более формально, индукция о том, что…
Если P(n) → P(n + 1), то P(n) верно для любого n
Тут же у нас…
Если верно P(n) для любого n, то верно некое произвольное Q(Range(n, ∞)).
Если бы так можно было в других разделах математики, то мы могли бы доказать почти что любой тезис.
Reply
Reply
Reply
Leave a comment