«Диагональный аргумент» всё
Я придумал исключительно короткое и вместе с тем совершенно очевидное опровержение «диагонального аргумента Кантора».
Будем рассматривать числа в двоичной системе счисления (возможность или невозможность пронумеровать числа не может зависеть от системы счисления, поскольку она - лишь способ записи чисел).
Диагональный аргумент: предположим, что мы занумеровали все действительные числа на отрезке [0, 1). Построим число, каждая цифра которого равна изменённой цифре, стоящей на диагонали в нашей нумерации. Это число не может быть ни в одной строке данного списка, однако при любой нумерации оно всё ещё действительное и принадлежит к указанному отрезку, а потому занумеровать все числа на этом отрезке невозможно.
Опровержение.
Выберем такую нумерацию чисел, что на диагонали никогда не будет встречаться цифра 1. Следует отметить, что возможно бесконечное количество таких нумераций, что легко проверяется на примере списков рациональных чисел конечной длины: с ростом длины количество возможных комбинаций только растёт.
Канторово «неуместное число», таким образом, будет числом 0,11111… = 0,(1)
Согласно аксиомам математики, в двоичной системе счисления 0,(1) = 1. То есть существует бесконечное количество нумераций, в которых «неуместное число» лежит за пределами выбранного для рассмотрения отрезка и, таким образом, тезис «при любой нумерации является действительным, принадлежащим к рассмотренному отрезку» для него не верен.
Шах и мат, аметисты, расходимся.
P.S. Всё-таки данное опровержение не является полным опровержением диагонального аргумента, а лишь делает полным опровержение через указание на минимальный размер подмножества не исключённых элементов: именно в этом единственном бинарном варианте оное подможество не растёт с ростом номера шага. Поэтому расходимся, но всё-таки не только по поводу одного только этого поста.
P.S.S. Ай, снова нет. Оно таки работает, поскольку все альтернативные варианты вида «а мы тогда будем брать по несколько цифр/строк» с неизбежностью приводят к тому, что нам придётся считать, что в бесконечной таблице совершенно точно чётное или совершенно точно нечётное количество строк и колонок. А сие приводит как минимум к тому, что становится верной «формула Рамануджана»:
1 + 2 + 3 + … = -1/12
…или аналогичная ей по абсурдности и противоречивости версия для «нечётного» варианта.
Будем рассматривать числа в двоичной системе счисления (возможность или невозможность пронумеровать числа не может зависеть от системы счисления, поскольку она - лишь способ записи чисел).
Диагональный аргумент: предположим, что мы занумеровали все действительные числа на отрезке [0, 1). Построим число, каждая цифра которого равна изменённой цифре, стоящей на диагонали в нашей нумерации. Это число не может быть ни в одной строке данного списка, однако при любой нумерации оно всё ещё действительное и принадлежит к указанному отрезку, а потому занумеровать все числа на этом отрезке невозможно.
Опровержение.
Выберем такую нумерацию чисел, что на диагонали никогда не будет встречаться цифра 1. Следует отметить, что возможно бесконечное количество таких нумераций, что легко проверяется на примере списков рациональных чисел конечной длины: с ростом длины количество возможных комбинаций только растёт.
Канторово «неуместное число», таким образом, будет числом 0,11111… = 0,(1)
Согласно аксиомам математики, в двоичной системе счисления 0,(1) = 1. То есть существует бесконечное количество нумераций, в которых «неуместное число» лежит за пределами выбранного для рассмотрения отрезка и, таким образом, тезис «при любой нумерации является действительным, принадлежащим к рассмотренному отрезку» для него не верен.
Шах и мат, аметисты, расходимся.
P.S. Всё-таки данное опровержение не является полным опровержением диагонального аргумента, а лишь делает полным опровержение через указание на минимальный размер подмножества не исключённых элементов: именно в этом единственном бинарном варианте оное подможество не растёт с ростом номера шага. Поэтому расходимся, но всё-таки не только по поводу одного только этого поста.
P.S.S. Ай, снова нет. Оно таки работает, поскольку все альтернативные варианты вида «а мы тогда будем брать по несколько цифр/строк» с неизбежностью приводят к тому, что нам придётся считать, что в бесконечной таблице совершенно точно чётное или совершенно точно нечётное количество строк и колонок. А сие приводит как минимум к тому, что становится верной «формула Рамануджана»:
1 + 2 + 3 + … = -1/12
…или аналогичная ей по абсурдности и противоречивости версия для «нечётного» варианта.