Математические высказывания можно проверить. Например, Теорема Пифагора -- математический факт, но его можно тривиально проверить геометрически. Любые утверждения из теории чисел проверяются на компьютере. Если есть формула решения уравнения -- можно подставить решение в исходное уравнение, и проверить, что уравнение выполняется и т.д. Математика доказывает, что невозможно построить правильный семиугольник при помощи циркуля и линейки или решить уравнение 5й степени в радикалах -- и да, никому это не удалось. То есть математические факты вполне согласуются с эмпирическим опытом.
Проблема доверия -- не столько в аксиоматике, сколько в методе. Математики "верят" в то, что математический метод правилен. Было время, когда это подвергалось сомнениям, и тогда была разработана формальная математическая логика и теория доказательств.
>>Теорема Пифагора -- математический факт, но его можно тривиально проверить геометрически. << А геометрия не относится к математике? Она эмпирическая наука?
>>Любые утверждения из теории чисел проверяются на компьютере.<< А компьютерная программа проверяет не на основе математических формул?
>>То есть математические факты вполне согласуются с эмпирическим опытом.<Согласование это далеко не подтверждение/опровержение истинности
( ... )
Геометрия -- это измерение земли. Можно нарисовать прямоугольный треугольник, построить квадраты на сторонах и измерить площадь. Это принципиально не отличается от физического эксперимента.
Компьютерная программа проверяет не формулы, а выполнение некоторых фактов. Например, то что числа определенного вида простые и т.д. Для этого не нужны формулу, а последовательность действий, алгоритм, который может проделать и человек, просто компьютер это делает гораздо быстрее.
Как вы себе это представляете? Как доказанное математическое выражение может быть подтверждено или опровергнуто опытом. Вы только представьте такую картинку: математик доказал теорему, а ему говорят, ладно логически тут у вас все верно, математических ошибок нет, но все равно ваш вывод неверен, поскольку вот тут мы опыт провели, который опровергает ваше доказательство :))
Именно так. Такой опыт называется контр-примером. Примеры и контр-примеры -- это математический аналог физических экспериментов.
>>Геометрия -- это измерение земли.<< Да? А в школе учили, что для доказательства геометрической теоремы не надо мерить землю - достаточно логики.
>>Компьютерная программа проверяет не формулы<< Было написано: "проверяет на основе математических формул", а не "проверяет формулы" - программа, которая что-то проверяет, делает это по математическим алгоритмам (формулам) в нее заложенным. В этом примере нет выхода за пределы математики.
>>Именно так. Такой опыт называется контр-примером. Примеры и контр-примеры -- это математический аналог физических экспериментов.<Вот видите - сами стали говорить о том, что истинность математических суждений может быть проверена только в пределах самой же математики, математическими же методами. Про "аналог эксперимента" - я уже отмечал, что в математике "теоретическое" суждение абсолютно совпадает с "эмпирическим" - ваш контр-пример по своему статусу (математическому) тождественен самому примеру - это совсем не та ситуация, когда в физике есть теоретически истинное суждение и эмпирически истинное. Но
( ... )
Вы не понимаете. Теорему Пифагора можно, конечно, строго логически доказать. Но доказав, можно проверить самым непосредственным образом, что она верна. И это не будет математикой, так как измерения -- это не математика, это непосредственный чувственный опыт
( ... )
>>И эта проверка является почти обязательной, так как в доказательстве или выводе можно запросто ошибиться.<<
Как я уже отмечал, вы смещали две проблемы: (1) вопрос истинности математических суждений и (2) проблему соотношения математики и эмпирических наук.
Ну скажите математику, что его доказательство теоремы не будет считаться истинным, пока ее не проверят "на практике". Ну ведь это несерьезно. Соответствует или не соответствует математическое выражение (теорема) чему-то вне математике не имеет никакого отношения к доказательству истинности внутри математики.
Ну зачем вы выдумывает проблемы на пустом месте? Извините, тут и обсуждать нечего. Или приведите хоть одни пример, когда строгое математическое доказательство было отвергнуто, признано математически ошибочным на основании эмпирической проверки.
На мой взгляд, математика -- такая же эмпирическая наука, как и другие, поэтому никакого смешения проблем нет. Физика, химия, биология изучают свойства природных объектов и явлений, а математика -- отношения между ними. Это не гимнастика ума, это действительно так устроена природа. Не математики придумали теорему Пифагора. Это природный факт. Математики лишь облекли этот факт в строгую форму и вывели его как следствие из более простых. Если математику вместо яблок и апельсинов удобнее использовать X и Y -- это только вопрос удобства, обозначений. Любое математические утверждение можно переформулировать в конкретных терминах окружающего мира, и от этого оно не потеряет истинности.
Ну скажите математику, что его доказательство теоремы не будет считаться истинным, пока ее не проверят "на практике".Давайте я поясню примерами, чтобы моя мысль была понятнее. Существует несколько "доказательств", что 2*2=5. Или "пи"=2. На первый взгляд они верные. Однако, они не согласуются с нашим опытом. И вместо того, чтобы искать ошибку, можно сразу
( ... )
Расскажите все это математикам, что их доказательства еще не достаточны для доказательства, а еще надо их проверить на "опыте". Вот они посмеются. Мне как-то даже неловко все это вам объяснять. Извините. Успехов вам.
Да кто ж возражает против возможности? :) Но речь то идет именно о необходимости!!! Нет в математике никакой необходимости эмпирической проверки! Ну вот поднимется ли у вас рука (голова) ответить "да" на вопрос: для признания истинности математического доказательства необходима эмпирическая проверка? ("То есть проверка (эмпирическая) -- это точно такой же математический инструмент")
Так "да" или "нет"? Попробуйте ответить "да", то есть подтвердить ваш тезис "в этом математика не отличается от других естественных наук, где теория обязательно проверяется на соответствие эксперименту." И мы тут же забудем про всех Геделей и Перельманов, доказательства которых пока еще не "проверены на соответствие эксперименту". И вам присудят все математические премии за новое слово в математике! :))
Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен. Но наличие такой возможности делает математику точно такой же наукой, как и другие, только лучше :) Просто математический эксперимент он несколько другой.
Кстати, хочу заметить, что как правило математики сначала открывают факт (эмпирически), а уже потом пытаются его доказать, объяснить (в процессе этого нередко находятся другие факты, ранее неизвестные, точно так же и хорошая физическая теория, основанная на ряде наблюдений, всегда предсказывает в то числе и результаты экспериментов, которые до этого никто не ставил). Теореме Геделя о неполноте (Вы ведь ее имели ввиду, видимо) предшествовал кризис в математике, связанный с частными проявлениями этой теоремы. Гедель лишь доказал, что это не случайность, а закономерность.
>>Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен.<< На этом можно и закончить обсуждение. То есть вы сам опровергли свой тезис "в этом математика не отличается от других естественных наук, где теория обязательно проверяется на соответствие эксперименту". А о чем тогда шла речь? Вы же хотели опровергнуть мой тезис, что математика не нуждается в эмпирических подтверждениях. Считаю обсуждение завершенным. >>Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен.<<
Я не согласен с Вашим утверждением: "Любое математическое высказывание есть высказывание о нем же самом, а не о чем-то внешнем математике, и истинность этого высказывания проверяется там же - не выходя за пределы математики."
И я привел Вам ряд примеров, что истинность математических высказываний можно проверить, выйдя за пределы математики. Другой вопрос, что это не обязательно
( ... )
>>Я не согласен с Вашим утверждением: "..истинность этого высказывания проверяется там же - не выходя за пределы математики."<<
ushastyi: Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен.
>>Экспериментом может быть и повтор доказательства, и альтернативное доказательство, и проверка примерами, поиск контр-примеров, изучение следствий и т.п.<<
А это есть "выход за пределы математики"?
Ну вы что сами не ведите, что вы уже давно сами себе противоречие? Давайте закончим эти пустые препинания. Остановимся на вашем: "Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен." И я согласен! Полное (и редкое) взаимопонимание!
Чтобы определить "выход за пределы математики", определите, пожалуйста, эти пределы. Вы это понятие ввели первым. Иначе может оказаться, что мы с Вами разные пределы понимаем.
Если Вы так поняли мои слова про необходимость эмпирической проверки, полностью проигнорировав все остальное, то я беру их назад.
Вы сами констатировали эти пределы "На мой взгляд, математика -- такая же эмпирическая наука, как и другие".
Пределы просты - логика. В отличие от других дисциплин в математике нет эмпирической обоснованности - только логическая. То есть граница проста: ЛИБО только логика или ЛИБО еще плюс эмпирия (эксперименты)
>>мои слова про необходимость эмпирической проверки<< В науке эмпирическая проверка однозначно противопоставляется теоретической. Так вот, в математике нет никакой эмпирической проверки (ushastyi: "Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен.").
Математические высказывания можно проверить. Например, Теорема Пифагора -- математический факт, но его можно тривиально проверить геометрически. Любые утверждения из теории чисел проверяются на компьютере. Если есть формула решения уравнения -- можно подставить решение в исходное уравнение, и проверить, что уравнение выполняется и т.д. Математика доказывает, что невозможно построить правильный семиугольник при помощи циркуля и линейки или решить уравнение 5й степени в радикалах -- и да, никому это не удалось. То есть математические факты вполне согласуются с эмпирическим опытом.
Проблема доверия -- не столько в аксиоматике, сколько в методе. Математики "верят" в то, что математический метод правилен. Было время, когда это подвергалось сомнениям, и тогда была разработана формальная математическая логика и теория доказательств.
Reply
А геометрия не относится к математике? Она эмпирическая наука?
>>Любые утверждения из теории чисел проверяются на компьютере.<<
А компьютерная программа проверяет не на основе математических формул?
>>То есть математические факты вполне согласуются с эмпирическим опытом.<Согласование это далеко не подтверждение/опровержение истинности ( ... )
Reply
Компьютерная программа проверяет не формулы, а выполнение некоторых фактов. Например, то что числа определенного вида простые и т.д. Для этого не нужны формулу, а последовательность действий, алгоритм, который может проделать и человек, просто компьютер это делает гораздо быстрее.
Как вы себе это представляете? Как доказанное математическое выражение может быть подтверждено или опровергнуто опытом. Вы только представьте такую картинку: математик доказал теорему, а ему говорят, ладно логически тут у вас все верно, математических ошибок нет, но все равно ваш вывод неверен, поскольку вот тут мы опыт провели, который опровергает ваше доказательство :))
Именно так. Такой опыт называется контр-примером. Примеры и контр-примеры -- это математический аналог физических экспериментов.
Reply
Да? А в школе учили, что для доказательства геометрической теоремы не надо мерить землю - достаточно логики.
>>Компьютерная программа проверяет не формулы<<
Было написано: "проверяет на основе математических формул", а не "проверяет формулы" - программа, которая что-то проверяет, делает это по математическим алгоритмам (формулам) в нее заложенным. В этом примере нет выхода за пределы математики.
>>Именно так. Такой опыт называется контр-примером. Примеры и контр-примеры -- это математический аналог физических экспериментов.<Вот видите - сами стали говорить о том, что истинность математических суждений может быть проверена только в пределах самой же математики, математическими же методами. Про "аналог эксперимента" - я уже отмечал, что в математике "теоретическое" суждение абсолютно совпадает с "эмпирическим" - ваш контр-пример по своему статусу (математическому) тождественен самому примеру - это совсем не та ситуация, когда в физике есть теоретически истинное суждение и эмпирически истинное. Но ( ... )
Reply
Reply
Как я уже отмечал, вы смещали две проблемы: (1) вопрос истинности математических суждений и (2) проблему соотношения математики и эмпирических наук.
Ну скажите математику, что его доказательство теоремы не будет считаться истинным, пока ее не проверят "на практике". Ну ведь это несерьезно. Соответствует или не соответствует математическое выражение (теорема) чему-то вне математике не имеет никакого отношения к доказательству истинности внутри математики.
Ну зачем вы выдумывает проблемы на пустом месте? Извините, тут и обсуждать нечего. Или приведите хоть одни пример, когда строгое математическое доказательство было отвергнуто, признано математически ошибочным на основании эмпирической проверки.
Reply
Ну скажите математику, что его доказательство теоремы не будет считаться истинным, пока ее не проверят "на практике".Давайте я поясню примерами, чтобы моя мысль была понятнее. Существует несколько "доказательств", что 2*2=5. Или "пи"=2. На первый взгляд они верные. Однако, они не согласуются с нашим опытом. И вместо того, чтобы искать ошибку, можно сразу ( ... )
Reply
Reply
Reply
Нет в математике никакой необходимости эмпирической проверки!
Ну вот поднимется ли у вас рука (голова) ответить "да" на вопрос: для признания истинности математического доказательства необходима эмпирическая проверка? ("То есть проверка (эмпирическая) -- это точно такой же математический инструмент")
Так "да" или "нет"? Попробуйте ответить "да", то есть подтвердить ваш тезис "в этом математика не отличается от других естественных наук, где теория обязательно проверяется на соответствие эксперименту." И мы тут же забудем про всех Геделей и Перельманов, доказательства которых пока еще не "проверены на соответствие эксперименту". И вам присудят все математические премии за новое слово в математике! :))
Reply
Кстати, хочу заметить, что как правило математики сначала открывают факт (эмпирически), а уже потом пытаются его доказать, объяснить (в процессе этого нередко находятся другие факты, ранее неизвестные, точно так же и хорошая физическая теория, основанная на ряде наблюдений, всегда предсказывает в то числе и результаты экспериментов, которые до этого никто не ставил). Теореме Геделя о неполноте (Вы ведь ее имели ввиду, видимо) предшествовал кризис в математике, связанный с частными проявлениями этой теоремы. Гедель лишь доказал, что это не случайность, а закономерность.
Reply
На этом можно и закончить обсуждение. То есть вы сам опровергли свой тезис "в этом математика не отличается от других естественных наук, где теория обязательно проверяется на соответствие эксперименту".
А о чем тогда шла речь? Вы же хотели опровергнуть мой тезис, что математика не нуждается в эмпирических подтверждениях.
Считаю обсуждение завершенным.
>>Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен.<<
Reply
Я не согласен с Вашим утверждением: "Любое математическое высказывание есть высказывание о нем же самом, а не о чем-то внешнем математике, и истинность этого высказывания проверяется там же - не выходя за пределы математики."
И я привел Вам ряд примеров, что истинность математических высказываний можно проверить, выйдя за пределы математики. Другой вопрос, что это не обязательно ( ... )
Reply
ushastyi: Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен.
>>Экспериментом может быть и повтор доказательства, и альтернативное доказательство, и проверка примерами, поиск контр-примеров, изучение следствий и т.п.<<
А это есть "выход за пределы математики"?
Ну вы что сами не ведите, что вы уже давно сами себе противоречие?
Давайте закончим эти пустые препинания. Остановимся на вашем: "Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен." И я согласен! Полное (и редкое) взаимопонимание!
Reply
Если Вы так поняли мои слова про необходимость эмпирической проверки, полностью проигнорировав все остальное, то я беру их назад.
Reply
Пределы просты - логика. В отличие от других дисциплин в математике нет эмпирической обоснованности - только логическая. То есть граница проста: ЛИБО только логика или ЛИБО еще плюс эмпирия (эксперименты)
>>мои слова про необходимость эмпирической проверки<<
В науке эмпирическая проверка однозначно противопоставляется теоретической. Так вот, в математике нет никакой эмпирической проверки (ushastyi: "Да, в математике нет необходимости эмпирической проверки, согласен.").
Reply
Leave a comment