Лобачевский, Бельтрами, Кант и о возможности новой наглядности

[gignomai]

Все щиплю Коффу, вылущивая из него ходы развития логической мысли.
Разговор крутится вокруг «чистого наглядного представления» (reine Anschauung, pure intuition) у Канта, которым усматриваются синтетические априори, в частности в геометрии. И того разрыва с интуицией, который связан с появлением неевклидовых геометрий.
Очень сопереживаю Бельтрами,

Comments

[formerchild]

Мне кажется, математическая научная школа во многом в этом и состоит, в развитии новых наглядностей, в формировании интуиций там, где исходно их нет. А иначе непонятно как работать

[gignomai]

Похоже, не совсем так. Я не математик, но, по-моему, математиков, логиков учат не держаться за наглядность, принимать контр-интуитивное, если оно логически обоснованно.

[formerchild]

Это верно, так учат. Но и то что я сказал тоже верно. Это не означает "держаться за наглядность", а именно то что сказали вы, развивать новую наглядность. Средний ученик такое не умеет, напротив, этому надо учить

[gignomai]

Но для меня это проблема - не знаю, как ей учиться, тем более учить.

[kaktus77]

Возникает вопрос - а что такое, эта наглядность в геометрии?
Посему она так важна?

[gignomai]

Дык человечества издревле пыталось доискаться до очевидного (очам видного, наглядного), на котором основывать суждения. Так было поначалу и в геометрии. И Кант такой взгляд зафиксировал. А потом его стали разрушать. Мне вот этот "отлет" от очевидности и интересен.

[kaktus77]

Так Вы теперь говорите про очевидность, а я спрашивал про наглядность.
По-почему, это совершенно разное.

7*7=49, это очевидно, но что здесь наглядного?

[gignomai]

Словом "наглядное представление" Лосский в КЧР перевел Anschauung (букв. созерцание). При этом Кант писал о "чистом Anschauung", под которым он, как я понимаю, имел в виду не физическую наглядность, а именно очевидность для ума. В случае геометрии - это про воображение, которое позволяет мысленно строить геометрические объекты в их воаимном расположении. В отношении арифметики (Ваш пример) можно мысленный подсчет воображаемых единиц производить, причем сам Кант прибегал к иллюстрации на пальцах, т.е. к буквальной наглядности.
Так что здесь очевидность и наглядность сливаются.

[formerchild]

Ну вот кстати то, как поступил Бельтрами это обычный способ. В википедии есть список моделей геометрии Лобачевского. Взять несколько задачек, посмотреть, как их решить в одной модели, потом в другой -- после этого появится интуиция и наглядность. Математики так обычно и поступают. Я думаю, "разрыв с интуицией" существует только в воображении философов, у математиков их нет

[gignomai]

Не знаю... А что такое интуиция, наглядность? Вот Гельмгольц дает очень ясное представление: возможность мысленно увидеть, вообразить нечто происходящим. В каком смысле можно назвать наглядным что-либо сообщаемое даже о 4-мерном или 5-мерном пространстве? Подставлять вместо дополнительных координат какие-то параметры - время, цвет допустим? Но ведь это подмена.
Вы, мне кажется, под наглядностью понимаете просто привычку, но это психологизм, философа это не может удовлетворить )) А математики просто привыкают к контр-интуитивному.

[formerchild]

Да, там появляется возможность мысленно увидеть, вообразить. Мне кажется, просто философы не пытаются это сделать

[gignomai]

Можно вообразить нечто, ведущее себя сходно (модель). Но есть ли это то же самое?

[skogar]

Возможно, под наглядностью Вы понимаете чувственные образы? Но ум может от них отрываться, оставаясь в рамках своей "наглядности". Любой математик создаёт умственный образ объекта, с которым работает, он его "чувствует", только умом.
Например (примеры совсем простые, но, как мне кажется, в нематематической сути они покрывают довольно много): пятимерное пространство можно представить по аналогии с обычным трехмерным: просто направлений не три, а пять, а так - всё такое же, как и там. А чтобы представить себе теорему Пифагора в пятимерном пространстве, даже не нужно представлять себе само пространство; это что-то в духе "улыбки без кота".

[gignomai]

Разумеется, в таком смысле я могу мыслить пятимерное пространство. Но его невозможно представить сразу целиком, только мысленно добавляя измерения. Да, целиком можно в воображении увидеть только сходно с чувственным восприятием и, по-моему, только такое воображение и можно считать наглядным. А когда я мыслю многомерное пространство, я не столько его "вижу", сколько умозаключаю о его свойствах.

[skogar]

В таком смысле можно не только мыслить его (пятимерное пространство или что-то ещё), но и изучать его, работать с ним. Параллели с чувственными объектами (или даже, кстати, с уже изученными умозрительными объектами!) облегчают понимание, но, как мне кажется, если их нет или они пока не найдены, то это не является препятствием, хотя вероятно затрудняет прояснение образа. Но работать вообще без какого-либо образа невозможно; если его нет (скажем, если есть только абстрактные аксиомы), то начальная работа связана с созданием хотя бы какого-то начального образа.

[gignomai]

Мне не совсем понятно, что Вы называете "каким-нибудь образом" - не чувственным. И слово "чувственный" требует уточнения. Если я нарисовал треугольник, то когда я на него смотрю или припоминаю, это чувственный образ. А если я воображаю абстрактный треугольник? Уже не совсем чувственный.