Лобачевский, Бельтрами, Кант и о возможности новой наглядности

[gignomai]

Все щиплю Коффу, вылущивая из него ходы развития логической мысли.
Разговор крутится вокруг «чистого наглядного представления» (reine Anschauung, pure intuition) у Канта, которым усматриваются синтетические априори, в частности в геометрии. И того разрыва с интуицией, который связан с появлением неевклидовых геометрий.
Очень сопереживаю Бельтрами,

Comments

[skogar]

Возможно, под наглядностью Вы понимаете чувственные образы? Но ум может от них отрываться, оставаясь в рамках своей "наглядности". Любой математик создаёт умственный образ объекта, с которым работает, он его "чувствует", только умом.
Например (примеры совсем простые, но, как мне кажется, в нематематической сути они покрывают довольно много): пятимерное пространство можно представить по аналогии с обычным трехмерным: просто направлений не три, а пять, а так - всё такое же, как и там. А чтобы представить себе теорему Пифагора в пятимерном пространстве, даже не нужно представлять себе само пространство; это что-то в духе "улыбки без кота".

[gignomai]

Разумеется, в таком смысле я могу мыслить пятимерное пространство. Но его невозможно представить сразу целиком, только мысленно добавляя измерения. Да, целиком можно в воображении увидеть только сходно с чувственным восприятием и, по-моему, только такое воображение и можно считать наглядным. А когда я мыслю многомерное пространство, я не столько его "вижу", сколько умозаключаю о его свойствах.

[skogar]

В таком смысле можно не только мыслить его (пятимерное пространство или что-то ещё), но и изучать его, работать с ним. Параллели с чувственными объектами (или даже, кстати, с уже изученными умозрительными объектами!) облегчают понимание, но, как мне кажется, если их нет или они пока не найдены, то это не является препятствием, хотя вероятно затрудняет прояснение образа. Но работать вообще без какого-либо образа невозможно; если его нет (скажем, если есть только абстрактные аксиомы), то начальная работа связана с созданием хотя бы какого-то начального образа.

[gignomai]

Мне не совсем понятно, что Вы называете "каким-нибудь образом" - не чувственным. И слово "чувственный" требует уточнения. Если я нарисовал треугольник, то когда я на него смотрю или припоминаю, это чувственный образ. А если я воображаю абстрактный треугольник? Уже не совсем чувственный.

[skogar]

Нарисованный треугольник - чувственный образ. Треугольник в уме - умозрительный, но близкий к его чувственному образу. Но бывают объекты посложнее: чувственного образа нет, а умозрительный не сразу понятен, описывается через более понятные умозрительные образы, может быть многоступенчато. (Я бы это как-то так выразил, но это экспромт.)

[gignomai]

Вот последнее я бы не называл образом...

[skogar]

Назовите как угодно, это действительно не совсем обычный образ, так что может быть другое слово было бы более уместным. Мне кажется, я передал его смысл, а математики именно так и работают, накручивая новые "образы" (или как назовёте) на уже имеющиеся.