Лобачевский, Бельтрами, Кант и о возможности новой наглядности
Все щиплю Коффу, вылущивая из него ходы развития логической мысли.
Разговор крутится вокруг «чистого наглядного представления» (reine Anschauung, pure intuition) у Канта, которым усматриваются синтетические априори, в частности в геометрии. И того разрыва с интуицией, который связан с появлением неевклидовых геометрий.
Очень сопереживаю Бельтрами, которому страшно не хотелось рвать с наглядностью. И почти удалось залатать разрыв, когда он нашел свою псевдосферическую модель, которую рассматривал как «реальный субстрат» для геометрии Лобачевского. «Бельтрами пришел к выводу, что гиперболическая плоскость есть, фактически, замаскированная евклидова псевдосфера, поскольку евклидова метрика евклидовой псевдосферы совпадает (по меньшей мере, локально) с метрикой плоскости Лобачевского». А вот с трехмерным гиперболическим пространством такое не проходило… Бельтрами «утверждал, что его двумерная модель дает "адекватную интерпретацию, поскольку позволяет осуществлять нужные построения на реальной поверхности; тогда как понятия, требующие трех измерений могут быть представлены только аналитически, поскольку пространство, в котором такое представление может быть реализовано, отличается от того, что мы обычно называем этим именем"».
Вот что здесь важно: упорное удерживание различия между «реальным» (и, соответственно, доступным интуиции) - «обычная геометрия», «реальная поверхность» - и логическими выводами в «безвоздушном пространстве».
Кант с его reine Anschauung, несмотря на всю свою логическую изощренность, еще там, в «реальном». И Бельтрами с ним: «То, что сделал Бельтрами, не только не противоречило Канту, но работало на его теорию чистой наглядности. Кант никогда бы не сомневался в логической непротиворечивости неевклидовых геометрий. Он бы несомненно сказал о гиперболической геометрии, что она невозможна, но не логически невозможна, поскольку ее «отрицание», евклидова геометрия, необходима не логически, а только в силу интуитивной необходимости, даваемой чистым наглядным представлением».
Вы спросите, что меня тут так цепляет?
А вот что. В разрыве с наглядностью и интуицией что-то есть на мой вкус злокачественное, повреждающее. Но, в то же время, понятно, что оставаясь в круге интуитивно обозримого, мы ограничены ни весть чем сформированной данностью, «миром» в евангельской терминологии.
Может быть, разрешение в том, чтобы добывать новую наглядность за счет изменения себя и своей оптики. Феория, способность умного зрения…
Разговор крутится вокруг «чистого наглядного представления» (reine Anschauung, pure intuition) у Канта, которым усматриваются синтетические априори, в частности в геометрии. И того разрыва с интуицией, который связан с появлением неевклидовых геометрий.
Очень сопереживаю Бельтрами, которому страшно не хотелось рвать с наглядностью. И почти удалось залатать разрыв, когда он нашел свою псевдосферическую модель, которую рассматривал как «реальный субстрат» для геометрии Лобачевского. «Бельтрами пришел к выводу, что гиперболическая плоскость есть, фактически, замаскированная евклидова псевдосфера, поскольку евклидова метрика евклидовой псевдосферы совпадает (по меньшей мере, локально) с метрикой плоскости Лобачевского». А вот с трехмерным гиперболическим пространством такое не проходило… Бельтрами «утверждал, что его двумерная модель дает "адекватную интерпретацию, поскольку позволяет осуществлять нужные построения на реальной поверхности; тогда как понятия, требующие трех измерений могут быть представлены только аналитически, поскольку пространство, в котором такое представление может быть реализовано, отличается от того, что мы обычно называем этим именем"».
Вот что здесь важно: упорное удерживание различия между «реальным» (и, соответственно, доступным интуиции) - «обычная геометрия», «реальная поверхность» - и логическими выводами в «безвоздушном пространстве».
Кант с его reine Anschauung, несмотря на всю свою логическую изощренность, еще там, в «реальном». И Бельтрами с ним: «То, что сделал Бельтрами, не только не противоречило Канту, но работало на его теорию чистой наглядности. Кант никогда бы не сомневался в логической непротиворечивости неевклидовых геометрий. Он бы несомненно сказал о гиперболической геометрии, что она невозможна, но не логически невозможна, поскольку ее «отрицание», евклидова геометрия, необходима не логически, а только в силу интуитивной необходимости, даваемой чистым наглядным представлением».
Вы спросите, что меня тут так цепляет?
А вот что. В разрыве с наглядностью и интуицией что-то есть на мой вкус злокачественное, повреждающее. Но, в то же время, понятно, что оставаясь в круге интуитивно обозримого, мы ограничены ни весть чем сформированной данностью, «миром» в евангельской терминологии.
Может быть, разрешение в том, чтобы добывать новую наглядность за счет изменения себя и своей оптики. Феория, способность умного зрения…