Из того, что Вы утверждаете следует то, что должно быть две математики. Одна математика развивается как такая, которая стоит «на платонической позиции существования объективного мира идей (что мне вполне симпатично)”, другая математика развивается строя знания «Об идеальном, вообще говоря, безотносительном к реальности». Но мой опыт изучения математики не обнаруживает таких двух математик. Математика, основанная на правилах игры - это был проект формальной математики (в частности проект Гильберта). Несколько я зная, он не удался.
«А для математики - в отсутствии или до интерпретации - на месте законов правила игры: предписанное правилами поведение объектов.»Математика может конструировать объекты, в частности с помощью задания аксиом, но дальше объекты начинают жить “своей жизнью”, а не предписанными правилами. Математики, так сказать, «исследуют» эту жизнь. Но это только метафора, отличие математики от всех других «познавательных» наук в том, что ее методы “исследования” совершенно особые, например, там нет эксперимента или
( ... )
А почему в математике эксперимент невозможен? Вполне возможен. Например, возьмем ту же пресловутую теорему Ферма. Интеллигент-нематематик считает, что вот, столько лет не могли доказать, наконец-то доказали. А оно так, да не так. Ферма: [изв. цитата - то, что он написал на полях своей рукописи]. Эйлер: Да, что-то не выходит доказательство. А попробую-ка я доказать, что оно верно для n=3. Смотри-ка, получилось! Разве нельзя считать доказательство для частного случая экспериментом, подтверждающим гипотезу? Дирихле: Смотрите, у меня для n=5 получилось! - еще один эксперимент. И тд. мн. др. И еще: Вас можно понять так. что аксиомы можно брать какие попало, от балды, и соответственно строить на них много разных теорий. Нет - математические аксиомы жизнь подсказывает, практика-с, будь то строительная и землемерная практика, как в Шумере, Китае или Греции, будь то требования физики, как в наше время.
"Можно, соответственно, говорить о математическом знании, только если стоять на платонической позиции существования объективного мира идей ." Это неверно вследствие изумительного экспериментального факта - приложимости совершенно абстрактных математических рассуждений в реальной жизни. Каковой факт совершенно не зависит от того, номиналисты мы или реалисты(я реалист). "Непостижима эффективность математики в естественных науках"(Вигнер). Это подробно разбирает Манин в предисловии к (кажется) "Вычислимому и невычислимому"(или к "Доказуемому и недоказуемому"). Я не уверен, что Пуанкаре был первый кто понял что аксиомы - это определения, но сейчас это вне обсуждения :-) Видимо это стало общим местом после "оснований геометрии" Гильберта. Т . е это не мнение, а реальность: aксиома(точнее, система аксиом) в в математике - это определение.
По-моему, приложимость, эффективность чего-то не делает его знанием. Под знанием я понимаю утверждение, относительно которого можно сказать, истинно оно или нет. Истинность и эффективность - разные вещи.
Более или менее в тему - процитирую один свой старый пост: "Превосходная книга покойного В. И. Арнольда начинается словами: Вопрос о том, является ли математика «перечислением следствий из произвольных аксиом» или же ветвью естествознания и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося, вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре... А далее автор цитирует другого великого человека, Ю. И. Манина: Математика, согласно Манину,-это отрасль лингвистики или филологии, занимающаяся преобразованием конечных цепочек символов некоторого конечного алфавита в другие такие цепочки при помощи конечного числа «грамматических» правил. Это превосходное определение напоминает мне известное платоновское определение человека: "двуногое без перьев". Правда, после того, как Диоген предъявил величайшему философу всех времен ощипанного петуха, тот вынужден был свое определение уточнить и добавить "и с плоскими ногтями". Мне кажется, что определение Юрия Ивановича тоже нуждается в некотором
Если считать математику каким-то языком (в отличие от "естественных языков" почему-то единственным - возможно, из-за сложности строения), то знание в ней аналогично лингвистическому - о свойствах и границах этого языка (что в нем возможно, а что нет).
Так и естественные языки тоже их порождают. Просто из-за многообразия языков отказались судить об их "правильности", но когда признавался только один заслуживающий внимание естественный язык, то склонялись судить (древнегреческие философы или средневековые схоласты - при господстве соответствующего языка). Сейчас вопрос о правильности категорий на естественных языках ушел в отраслевые науки, лингвистика сравнивает более формальные структуры разных языков, а в математике осталось и то, и другое. Но это, конечно, если считать математику языком, но с более сложными и строгими правилами (например, как если бы гласные и согласные могли быть только определенного вида, без фонетического разнообразия разных языков, и при этом и сочетаться только определенными способами :-)).
Пока по невежеству не понимаю. Мне непонятно, что значит "судить о правильности языка", и было ли такое. И не уверен, что правильно говорить о математике как о языке. Она создает конструкты, которые используются в науках. Но как язык ли?
Comments 49
Но мой опыт изучения математики не обнаруживает таких двух математик.
Математика, основанная на правилах игры - это был проект формальной математики (в частности проект Гильберта). Несколько я зная, он не удался.
«А для математики - в отсутствии или до интерпретации - на месте законов правила игры: предписанное правилами поведение объектов.»Математика может конструировать объекты, в частности с помощью задания аксиом, но дальше объекты начинают жить “своей жизнью”, а не предписанными правилами. Математики, так сказать, «исследуют» эту жизнь. Но это только метафора, отличие математики от всех других «познавательных» наук в том, что ее методы “исследования” совершенно особые, например, там нет эксперимента или ( ... )
Reply
Reply
Ферма: [изв. цитата - то, что он написал на полях своей рукописи].
Эйлер: Да, что-то не выходит доказательство. А попробую-ка я доказать, что оно верно для n=3. Смотри-ка, получилось!
Разве нельзя считать доказательство для частного случая экспериментом, подтверждающим гипотезу?
Дирихле: Смотрите, у меня для n=5 получилось! - еще один эксперимент.
И тд. мн. др.
И еще: Вас можно понять так. что аксиомы можно брать какие попало, от балды, и соответственно строить на них много разных теорий. Нет - математические аксиомы жизнь подсказывает, практика-с, будь то строительная и землемерная практика, как в Шумере, Китае или Греции, будь то требования физики, как в наше время.
Reply
Reply
Reply
Reply
Предложение не закончено :) Непонятно.
2. Что такое интерпретация?
3. Закон - это обычно математическая конструкция, как раз.
Кстати, аксиомы для математики вовсе не обязательны. Это только одна из форм её организации (через аксиомы).
Reply
Reply
Это неверно вследствие изумительного экспериментального факта - приложимости совершенно абстрактных математических рассуждений в реальной жизни. Каковой факт совершенно не зависит от того, номиналисты мы или реалисты(я реалист). "Непостижима эффективность математики в естественных науках"(Вигнер). Это подробно разбирает Манин в предисловии к (кажется) "Вычислимому и невычислимому"(или к "Доказуемому и недоказуемому").
Я не уверен, что Пуанкаре был первый кто понял что аксиомы - это определения, но сейчас это вне обсуждения :-) Видимо это стало общим местом после "оснований геометрии" Гильберта. Т . е это не мнение, а реальность: aксиома(точнее, система аксиом) в в математике - это определение.
Reply
Reply
"Превосходная книга покойного В. И. Арнольда начинается словами:
Вопрос о том, является ли математика «перечислением следствий из произвольных аксиом» или же ветвью естествознания и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося, вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре...
А далее автор цитирует другого великого человека, Ю. И. Манина:
Математика, согласно Манину,-это отрасль лингвистики или филологии, занимающаяся преобразованием конечных цепочек символов некоторого конечного алфавита в другие такие цепочки при помощи конечного числа «грамматических» правил.
Это превосходное определение напоминает мне известное платоновское определение человека: "двуногое без перьев". Правда, после того, как Диоген предъявил величайшему философу всех времен ощипанного петуха, тот вынужден был свое определение уточнить и добавить "и с плоскими ногтями". Мне кажется, что определение Юрия Ивановича тоже нуждается в некотором
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
И не уверен, что правильно говорить о математике как о языке. Она создает конструкты, которые используются в науках. Но как язык ли?
Reply
Leave a comment