мини-плоскости

[falcao]

Купил я себе сегодня новую клавиатуру (всего за 200 рублей :)) Старая была вполне работоспособна, но на ней стёрлись многие буквы, и меня это постоянно раздражало. Так что теперь я могу печатать быстрее, чем раньше. И под это дело у меня возникла мысль, а не написать ли новый пост? Тем более, что тема "подвернулась" сама собой: сегодня я вспомнил

Comments

[knop]

Я буду адвокатом дьявола и постараюсь поругать это доказательство

[falcao]

Когда я искал ссылку, то сначала нашёл именно ту, которую Вы указали. Для чтения она более удобна. Но я умышленно сослался на сам журнал "Квант" как на "первоисточник".

Вероятностный подход сам по себе мне показался более предпочтительным для "популярного" изложения, потому что все рассматриваемые обратные величины приобретают ясный "физический" смысл. Первоначально, кстати, то же самое было изложено на языке двух таблиц. Это было на русскоязычном математическом форуме; вот ссылка.

Вашу идею модификации доказательства я либо не понял, либо она не проходит. Прежде всего, матрица должна иметь размер nxm. Но это, видимо, просто опечатка, и я имею в виду следующее. Если мы в строке, соответствующей точке x, суммируем одинаковые величины вида 1/L(x), то сумма будет равна не 1, а (m-L(x))/L(x), потому что числа вписывались в те столбцы, где прямая a не инцидента x, и таких прямых не L(x), а m-L(x).

Самое короткое рассуждение, которое я знаю, использует линейную алгебру. Но оно недостаточно "популярно".

[knop]

Упс, да, я лажанулся с расстановкой чисел. Но суть все равно понятна - двойной подсчет фактически не требует никаких вероятностей.

А насчет того, как записывать размер матрицы (т.е. что именно первый множитель, а что - второй) - так в этом месте у математиков и программистов различные дефолтные установки, а я, поскольку много пообщался и с теми, и с теми, вечно не могу остановиться на чем-то одном.

[falcao]

Мне кажется, что обычно сначала говорят о строках, а потом о столбцах. Поэтому удобнее всё-таки "по умолчанию" считать первое из упоминаемых чисел количеством строк.

Что касается вероятностей, то здесь ведь не присутствует какая-либо их теория -- есть только название. Понятно, что имеет место двойной подсчёт, но в таком виде, когда присутствует содержательная интерпретация, проще запомнить, что именно нужно суммировать.

[katyona_ks]

Взрыв мозга))) Геометрию со школы ненавижу!))

На клавиатуру можно купить наклейки с буквами и будет как новенькая.

[falcao]

А здесь как раз от геометрии только "оболочка": в целом эти рассуждения имеют общематематическую природу. По смыслу там всё ближе даже к алгебре или к логике, как это ни парадоксально.

Клавиатуру я когда-то раскрасил белой краской (которая для замазывания букв в тексте -- не помню, как она правильно именуется). Но это просуществовало недолго -- вскоре всё стёрлось. Хуже всего, когда латинских букв не видно -- расположение русских я на память помню с детства. Когда-то даже печатал на клавиатуре, где русских букв вовсе не было (тот "лэптоп" был куплен "за бугром" в далёком 1999 году, то есть "в прошлом веке" :))

Про то, что где-то бывают такие "накладные" буквы, я слышал, но у меня не было данных о степени их "долговечности". А тут мне тИгрица сказала, что можно клавиатур купить совсем по дешёвке в одном из магазинов. Обычно такие стоят дороже. А вторая пусть будет "запасная" -- на всякий случай. На этой печатать намного удобнее и быстрее. А то я над многими клавишами "зависал", пока осознавал, где они находятся :)

[katyona_ks]

Я не реагирую, обычно. И ту, и ту раскладку помню при надобности. Буквы накладные держатся долго - у меня ни одна не стерлась на работе)) Та краска называется по-людски замазкой, по-правильному - корректором))

[falcao]

Когда-то в давние времена наклейки были несовершенные -- я помню, что они быстро стирались. Но сейчас такие вещи, наверное, стали качественно лучше.

Название "корректор" я сам бы не вспомнил: именно оно подразумевалось. А я обычно "про себя" называл его словом "штрих" или "штрих-поправка".

[tolkodoroga]

да, кажется понял всё, простите тогда, удаляю комментарии
единственное остается непонятным, как, если нет информации о том, что величины постоянны, найти совместную функцию распределения..

[falcao]

Здесь делается равновероятный выбор на двух независимых этапах, поэтому совместное распределение как раз понятно какое будет. Это примерно как в следующей ситуации: есть числа от 1 до 10, и мы с вероятностью 1/10 выбираем одно из них. Далее из оставшихся девяти чисел выбираем (по независимой процедуре) одно из чисел с равной вероятностью, то есть 1/9. Тогда в итоге каждая из 90 упорядоченных пар вида (a,b), где a не равно b, может быть выбрана с вероятностью 1/90. Это даёт совместный закон распределения.

[tolkodoroga]

простите, не очень понял, какие в данном случае будут 2 независимых этапа.. Вы говорите о ф-ии распределения P(max

[illusoryshadow]

Здравствуйте! Простите за оффтоп, и что я без стука.
Вы не могли бы, если Вам не трудно, дать комментарий насчет разговора здесь:
http://m-yu-sokolov.livejournal.com/2834029.html?thread=175870317#t175875181
Говорят, Вы положительно оцениваете всеобщность замены учебника Киселева Колмогоровым.

[falcao]

Эту тему я всегда лишний раз готов обсудить. Моё отношение к "колмогоровской" реформе учебников можно назвать не просто положительным, а даже "восторженным". И, конечно, я против насаждения "архаики". Академик Понтрягин в этом деле сильно "подгадил", написав свой известный "донос" в ЦК КПСС.

Пост по ссылке постараюсь чуть позже прокомментировать.

[mnvyy]

Замечательно! Самое простое решение этой задачи, которое мне попалось. А у Конвея было такое же рассуждение?

[falcao]

Видимо, в основе своей именно такое, если брать на арифметическом уровне. Я его видел в книге "Extremal Combinatorics". Идея вероятностной интерпретации возникла у меня в процессе осмысления используемых неравенств.

При помощи линейной алгебры рассуждение тоже достаточно простое и естественное.

[mnvyy]

Extremal Combinatorics by Stasys Jukna? Я нашел эту книгу и доказательство. Вероятностная интерпретация красивее. конечно. Хотя слово вероятность тут не слишком нужно, важнее идея (взвешенного) двойного подсчета.

С линейной алгеброй рассуждение вроде бы совсем другое получается?
Я бы начал рассуждение так: возьмем для каждой точки (0,1)-вектор инциденций с прямыми. Матрица Грама этих векторов имеет на диагонали числа, не меньшие 2 (тут используется условие, что не все точки лежат на одной прямой), а вне диагонали - ровно 1. Такая матрица невырождена, значит, векторов не больше размерности пространства.

[falcao]

Книга эта имелась в виду, да.

Рассуждение при помощи линейной алгебры я другое имел в виду. На Всесоюзной 1977, проходившей в Таллине, была такая задача: на плоскости даны точки, около каждой написано число. Сумма всех чисел, расположенных на одной прямой, равна нулю, и при этом не все точки лежат на одной прямой. Доказать, что все числа равны нулю.

Решение у неё простое: если какое-то число положительно, то общая сумма всех чисел отрицательна, и наоборот. То же верно для "мини-плоскости". Тогда сопоставим числам неизвестные, а прямым -- уравнения вида x_i+x_j+...+x_k=0. Поскольку система имеет только нулевое решение, уравнений имеется не меньше, чем неизвестных.