мини-плоскости

[falcao]

Купил я себе сегодня новую клавиатуру (всего за 200 рублей :)) Старая была вполне работоспособна, но на ней стёрлись многие буквы, и меня это постоянно раздражало. Так что теперь я могу печатать быстрее, чем раньше. И под это дело у меня возникла мысль, а не написать ли новый пост? Тем более, что тема "подвернулась" сама собой: сегодня я вспомнил

Comments

[knop]

Я буду адвокатом дьявола и постараюсь поругать это доказательство

[falcao]

Когда я искал ссылку, то сначала нашёл именно ту, которую Вы указали. Для чтения она более удобна. Но я умышленно сослался на сам журнал "Квант" как на "первоисточник".

Вероятностный подход сам по себе мне показался более предпочтительным для "популярного" изложения, потому что все рассматриваемые обратные величины приобретают ясный "физический" смысл. Первоначально, кстати, то же самое было изложено на языке двух таблиц. Это было на русскоязычном математическом форуме; вот ссылка.

Вашу идею модификации доказательства я либо не понял, либо она не проходит. Прежде всего, матрица должна иметь размер nxm. Но это, видимо, просто опечатка, и я имею в виду следующее. Если мы в строке, соответствующей точке x, суммируем одинаковые величины вида 1/L(x), то сумма будет равна не 1, а (m-L(x))/L(x), потому что числа вписывались в те столбцы, где прямая a не инцидента x, и таких прямых не L(x), а m-L(x).

Самое короткое рассуждение, которое я знаю, использует линейную алгебру. Но оно недостаточно "популярно".

[knop]

Упс, да, я лажанулся с расстановкой чисел. Но суть все равно понятна - двойной подсчет фактически не требует никаких вероятностей.

А насчет того, как записывать размер матрицы (т.е. что именно первый множитель, а что - второй) - так в этом месте у математиков и программистов различные дефолтные установки, а я, поскольку много пообщался и с теми, и с теми, вечно не могу остановиться на чем-то одном.

[falcao]

Мне кажется, что обычно сначала говорят о строках, а потом о столбцах. Поэтому удобнее всё-таки "по умолчанию" считать первое из упоминаемых чисел количеством строк.

Что касается вероятностей, то здесь ведь не присутствует какая-либо их теория -- есть только название. Понятно, что имеет место двойной подсчёт, но в таком виде, когда присутствует содержательная интерпретация, проще запомнить, что именно нужно суммировать.

[knop]

Про строки. Это Вы сейчас, кажется, на программистский дефолт вышли.
А математики говорят, что число столбцов - это размерность таблицы по горизонтальной оси (x), а число строк - по вертикальной (y), а по традиции первой координатой является x.

[falcao]

Я всегда пользовался только таким соглашением. По-моему, оно более чем стандартно. Более того, мне даже не известны "контрпримеры". Сейчас я посмотрел, что написано в Википедии. Она, конечно, не "показатель", но там mxn означает число строк на число столбцов. Из бумажных книг у меня под рукой только Кострикин (у нас на мехмате учились в основном по нему, и вообще он заведовал нашей кафедрой). У него точно так же. Вообще, матричный элемент "общего вида" всегда имеет вид a_{ij}, за редкими исключениями, то есть символы идут в алфавитном порядке; в правом нижнем углу при этом наличествует a_{mn} с той же закономерностью.

Если другой стандарт тоже где-то встречается, то не связано ли это с известным эффектом "бордюра - поребрика"? (Я, кстати, сталкивался с таким явлением на примере разных обозначений для сплетения групп.) В любом случае, хотелось бы иметь ссылки на литературу, где так написано.