мини-плоскости

[falcao]

Купил я себе сегодня новую клавиатуру (всего за 200 рублей :)) Старая была вполне работоспособна, но на ней стёрлись многие буквы, и меня это постоянно раздражало. Так что теперь я могу печатать быстрее, чем раньше. И под это дело у меня возникла мысль, а не написать ли новый пост? Тем более, что тема "подвернулась" сама собой: сегодня я вспомнил

Comments

[fiviol]

Замечательная пост, эдакая утренняя субботняя "АБВГДейка" для взрослых. :)

Только непонятно, зачем от числа способов выбора случайной отметки вы перешли к обратным величинам (вероятностям), чтобы потом перейти от неравенства с вероятностями к обратному неравенству, снова с числом способов выбора: n(m-L(x)) >= m(n-P(a)). Это удлинило доказательство, не сделав его проще, к тому же по дороге вы потеряли читателей, которых пугают дроби и слово "вероятность". :)

[falcao]

А как можно сразу прийти к неравенству n(m-L(x)) >= m(n-P(a))? Возможно, что такой подход был бы проще, но я сходу не соображу, как его осуществить. Дело в том, что для обратных величин есть "инвариантность", связанная с суммой вероятностей. А здесь на что опираться?

Честно говоря, про дроби как возможную "страшилку" я не подумал (американцы их боятся, а у нас вроде пока до этого ещё не дошло). Что же касается вероятности, то как раз наоборот: я знаю, что эта тематика, как правило, вызывает всеобщий интерес. См., например, опрос об оценке вероятностей в одном из постов. Там многие охотно поучаствовали.

[fiviol]

Мне показалось, что требуемое неравенство можно напрямую получить из представления количества всех отметок в виде суммы n слагаемых вида m-L(x) и в виде суммы m слагаемых вида n-P(a). Но, действительно, почему из этих равных сумм можно выбрать по одному слагаемому с нужным неравенством, чтобы пара (x, a) была отметкой, как-то не придумывается.

[falcao]

Так, скорее всего, не получится, потому что возникает сумма единиц. Их надо потом как-то "дробить". Не исключаю, что равноценное рассуждение может получиться на основании рассмотрения средних значений каких-то величин (типа среднего числа прямых, проходящих через точку), а также среднего числа точек на прямой.

Кстати, есть ещё интересное рассуждение с применением линейной алгебры. Для начала, пометим каждую точку числом и потребуем, чтобы сумма чисел вдоль любой прямой равнялась нулю. Тогда несложно показать, что все числа равны нулю. Такая задача даже была на Всесоюзной олимпиаде 1977 года, проходившей в Таллине. Рассуждение таково: если S -- сумма всех чисел, x -- "метка" произвольной точки, k > 1 -- число проходящих через x прямых, то элементарный подсчёт показывает, что S=x(1-k). Если S=0, то все числа нулевые. Если S > 0, то все числа оказываются отрицательными, что невозможно. Аналогично для S < 0

[a_p]

cпаcибо, получилоcь понятно!

А в поcледней фразе еcть опиcка - в cловах "линий не меньше, чем прямых"

[falcao]

Спасибо; исправил опечатку!

[natali_ya]

Задачи я решать не умею, а за ссылку на анаграммы спасибо! )

[falcao]

А тут и не предлагалось решать задачи -- я изложил готовое решение!

По поводу анаграмм: у меня возникла идея "собезьянничать" и составить что-то аналогичное. Пока, правда, осуществлена лишь небольшая часть необходимой для этого работы.

[natali_ya]

Прекрасная идея!

[mathclimber]

Очень красиво! Вообще люблю вероятностные доказательства, в силу моей специализации :)

[falcao]

У меня эта идея возникла как бы сама собой: я читал доказательство теоремы де Брёйна - Эрдёша из книги "Extremal combinatorics", а там -- цепочки формул. Они достаточно короткие и легко проверяемые, но мне надо было рассказать "популярно", что я в итоге и сделал. Но это было не в ЖЖ, и там вероятности не упоминались. А потом я как раз во время похода за клавиатурой осознал, что в таком виде интерпретация самая естественная.

[bokhonov]

Хм... А в одномерном евклидовом пространстве разве не любые точки будут лежать на прямой

[falcao]

Разумеется, на прямой будет выполнено условие А1. И именно по этой причине вводится аксиома А2 -- чтобы не изучать прямую, представляющую неинтересный случай. Первая аксиома наличие "многих измерений" всего лишь допускает, но не гарантирует

[falcao]

ПРОДОЛЖЕНИЕ

[bokhonov]

Взаимодействие с "миром идей" (в рамках Вашей терминологии) - это, так сказать, живой, экзистенциальный процесс. Что отражается в таком факте, что доказательство теорем во многом процесс неформальный. То есть, сам текст доказательств должен удовлетворять критериям строгости, но вот выбор методов и , так сказать, диспозиции для атаки - это весьма интуитивное занятие