мини-плоскости
Купил я себе сегодня новую клавиатуру (всего за 200 рублей :)) Старая была вполне работоспособна, но на ней стёрлись многие буквы, и меня это постоянно раздражало. Так что теперь я могу печатать быстрее, чем раньше. И под это дело у меня возникла мысль, а не написать ли новый пост? Тем более, что тема "подвернулась" сама собой: сегодня я вспомнил
( Read more... )
То есть, наличие других измерений подразумевается и в первой и во второй аксиоме.
Или вот - неформальная аналогия.
Если люди "точки", а комиссии и "кружки" - "прямые", то пара людей-точек может входить в разные "кружки" с разным контингентом, например - кружок икебаны и кружок английского языка. Не получается, что две разные "прямые" проходят через две точки?
:)
Однако, меня интересует Ваше мнение вот по какому вопросу.
Какими структурами, которые предшествуют понятиям оперирует математик?
Точнее - оперирует-то он разумеется словами и символами согласно правилам логики, но что, так сказать, "наполняет" эти символы и слова.
Вот "точка" - это интуитивное понятие. Нигде не определяемое. А если начать определять, то придётся вводить по меньшей мере ещё один ментальный объект и одно свойство и процесс начинается снова.
То есть - на какие неформализуемые представления опирается по-Вашему математика?
Если угодно - психология математики.
В этой связи - ещё один вопрос.
Являются ли некоторые математические понятия результатом различных ментальных действий.
Объясняю.
Вот , к примеру, геометрия, теория предела ну и большинство, так сказать, классики - это результат абстрагирования от чувственного опыта.
Но вот есть , например, такая конструкция.
Определение "бескончно малого".
Бесконечно малое это такое число, сумма бесконечного числа которого строго меньше 1 (единицы).
Отсюда получается, что такое число меньше любого вещественного числа. берём любое вещественное число, делим 1 на него, берём целую часть , прибавляем 1 и получаем N. На это n умножаем бесконечно малое и взятое вещественное. в первом случае получаем меньше единицы, во втором больше. Отсюда делается вывод о том, что бесконечно малое меньше любого вещественного числа.
То есть - в данном случае - это не процесс абстрагирования, а процесс оперирования структурами языка.
Не могли бы Вы прокомментировать, насколько различаются такие математические понятия.
Reply
Далее, ситуация со школьниками и комиссиями, или со схемой метро нужна для того, чтобы ввести некое начальное понятие (я его никак не называл, но пускай это будет "предплоскость"). В этот момент у нас есть "точки" и "прямые", а как они себя ведут, мы пока не знаем. И уже потом мы вводим аксиомы (их список может быть и другим), выясняя при этом, какие из них будут выполнены. Понятно, что при произвольном выделении "комиссий" не получится "мини-плоскость", но это само собой разумеется. Примерно такой же путь применяется при введении понятия группы. Сначала есть множество с одной бинарной операцией, которое может обладать какими угодно свойствами; потом уже проверяются аксиомы группы.
По поводу Ваших вопросов: меня самого такая тематика очень интересует. Особенно в связи с первым из вопросов, касающегося "дологических" основ математики. Я думаю, что в систематическом виде этот вопрос как следует не изучен, но что-то по этому поводу сказать можно. Меня самого на эти вещи в своё время "навели" некоторые из работ А.С.Есенина-Вольпина. Я считаю полезным методологический подход, который помимо математики применим ещё много где. Мы смотрим на всё происходящее в терминах деятельностей, которые могут осуществляться кем угодно и чем угодно. Отличие от логики (классической) в том, что помимо "субъекта" и "предиката", которые в этом виде обычно являют себя как существительное и прилагательное (например: "человек смертен"), здесь появляются ещё и глаголы. Это существенно расширяет возможности. Например, начав решать задачу, мы инициируем деятельность по её решению, и с этого момента становимся подчинены каким-то правилам или ограничениям. В процессе решения мы можем ставить "подзадачи", что приводит к возникновениям новых "деятельностей" внутри предыдущих, и так далее. В языке описания всего этого дела оказывается очень полезным понятие ситуации, которое можно считать одним из "первичных". Описание ситуаций чаще всего начинается словом "пусть". Также можно выделить понятие "указания", которым мы часто пользуемся. Например, когда говорим, "дан треугольник" или "рассмотрим окружность с центром O".
Я здесь только наметил общие контуры некого подхода, но это очень далеко от мало-мальски исчерпывающего описания. Важно подчеркнуть, что основой является "филология", а не психология. От последней я всячески стараюсь отдалиться по причине, о которой скажу чуть позже. И, кстати, "филология" -- не то же самое, что "язык", о котором часто говорят. Язык -- это уже уровень скорее "лингвистики", то есть это структура более "богатая" и сложная.
Теперь по второму вопросу. Я твёрдо придерживаюсь точки зрения, что математические структуры существуют "сами по себе" в своём "идеальном" виде -- в точности в духе идей Платона. Наше сознание, наша "ментальность" их всего-навсего "улавливает", но не "рождает". Подобно тому, что если приёмник поймал запись концерта, то где-то был композитор, оркестр, дирижёр и радиостанция.
По этому поводу часто возникают споры -- в том числе и в пределах ЖЖ. Я здесь весьма твёрд в убеждении, что наше сознание просто не может "родить" эти вещи. Такое под силу лишь Богу, которого можно называть Природой или "Всеохватным Разумом".
Просьба отвечать ниже на обе части коммента!
Reply
Когда говорят об "абстракции", то есть об "отвлечении" от каких-то свойств (типа "пять" -- результат "отвлечения" от, скажем, "яблок"), допускается обычно некое "огрубление" в описании того, что происходит. Ну вот хорошо, нам было понятно, что такое "пять яблок". Потом мы от яблок "отвлеклись", но что получилось в результате? На мой взгляд, мы всего лишь осознали некую новую "идею" посредством этого "абстрагирования", но это значит, что идея где-то уже была (например, её мог воспринять кто-то живший до нас). Поэтому точнее говорить об "идеализации", чего не делалось во многом в силу известных соображений "идеологического" толка.
Ясно ведь, что не любое абстрагирование будет "успешно": я могу выкинуть из фразы слово, получив при этом явную бессмыслицу. Так что дело явно не в этом, и без "платонизма" я не знаю, как разрешить этот вопрос. Именно по этой причине и следует принять "платонизм": не в силу его "истинности" (на этом уровне мы вообще не можем что-то достоверно сравнивать), а в силу удобства. Точно так же, как мы принимаем гелиоцентрическую систему: она удобнее птолемеевой.
Что касается категории бесконечного, то об этом размышлял ещё Бернард Больцано, который издал трактат на эту тему. А он был, среди прочего, теологом. В этом смысле интересно провести параллели между математическими рассуждениями (например, в теории множеств) и рассуждениями теологическими. (Тут не лишне вспомнить пример с Гильбертом, которого кто-то из современников обвинил в "теологии".) Это тоже весьма интересный вопрос.
Кстати, о бесконечно малых величинах: это всё формализовано в рамках нестандартного анализа, но надо заметить, что в определении речь идёт о конечных суммах положительных величин. Для бесконечного числа слагаемых может получиться что угодно, причём надо ещё корректно определить соответствующие суммы, что не всегда просто сделать.
Reply
Вот действительно впечатляет этот Ваш приём - примение понятия "вероятность" для в доказательства геометрической задаче. Действительно напоминает приём, применяемый на войне полководцами. Когда устраивают атаку на противника силой полка или батальона, противник думает, что это направление главного удара, стягивает туда силы с других направлений, оголяет отдельные участки фронта и тут его ждёт домашняя загатовка в виде атаки в другом месте. Атакующий на ложном направлении батальон обычно практически полностью гибнет. Вот так и у Вас, "вероятность" выполнила своё предназначение и исчезла, осталось только неравенство - позиция завоёвана.
Интересно, что сами "вероятностники" до сих пор любят пофилософствовать на предмет, что это такое. И применение его в данной области - пример неформального подхода.
Тут есть ещё одна аналогия. Предположительно, для определённости, назовём это контактом с миром идей. У каждого человека свой мир идей, что-то вроде водоёма, из которого он выуживает идеи на, так сказать , наживку. У одного этот водоём - речка, у другого - озеро, у третьего - болого. Математика, физики и наука вообще - это океаны. Вот матемематиков и учат - выходить в океан. Одних с сетью, других с удочкой - третьих с гарпуном.
Но все орудия лова - это нечто, полученное путём переработки чувственных понятий (абстрагирование). Всё-таки математики пользуются словами, имеющими смысл. Прямая, точка, деление, сложение, умножение, непрерывность, разрывность, предел - всё это слова, имеющие смыс и в быту. особенности русской математики - использование иностранных слов - интеграл, дифференциал, сюрьекция и т.д., поэтому в некотором смысле русская математика несколько "магичнее" зарубежной, однако даже такие понятия, типа - ультрафильтр - это всё-таки то, что можно перевести.
Никто не пользуется бессмысленным сочетаним букв для обозначения понятий. Ну, что-то вроде как у Даниила Андреева, примерно - чхрггхи краптриктуюся пркамрами, мол - в такой форме мне были даны знания.
Кстати, наверное исторически слабое развитие математики в Китае судя по всему в немалой степени было связано с особенностями языка и письменности...
Иногда даже проскальзывает мысль - эти рафинированные понятия - наживка, на которую клюют идея. Вот так Вы нацепили наживку "вероятность" - и поймали две "рыбы"-идеи в виде вероятностей по точкам и по линиям. Почему-то идеи клюют на хорошую наживку. Замечали?
А уж приготовить из них блюдо - дело техники.
У меня тоже есть некоторые идеи по этому поводу. В бога-творца я не верю.
Я буддист по убеждению. Ну, ни в какую конфессию не вхожу, разрабатываю свою концепцию буддизма на основе науки и буддологии.
Знакомым буддистам - нравится. Научным сотрудникам - тоже.
Технически - это операции с буддийскими понятиями в, так сказать, математическом и физическом "стиле" .
К примеру, базовая понятие - дхарма. Весь мир, все его уровне, в буддизме это взаимодействие дхарм.
Все дхармы сами по себе характерны тем, что - не имеют формы (в самом широком смысле), иногда ещё говорят - "пусты" (или пустотны,"шуньята" - одна из любимых тем для любителей пораскинуть умом в буддийской среде, кстати - индивидуально - ум это и есть дхарма, то есть - не имеет формы).
Чтобы не перегружать ответ, отошлю на свои темы в блоге. Я думаю - мир развивается, образуя уровни самоорганизации.
"Игра в дхармы"
http://bokhonov.livejournal.com/863.html
И "Игра под названием смерть (анархо-буддийский вариант)", это немного о структуре.
http://bokhonov.livejournal.com/35750.html
Если не жалко времени, выскажите своё мнение. Только не подумайте, что я Вас агитирую. Просто мне интересно мнение сильных интеллектуалов, особенно, если они имеют другие представления, например - признают бога-творца. Это всегда полено.
Reply
Что касается сравнения взглядов по некоторым важным пунктам, то пока ограничусь двумя замечаниями. Так же, как и Вы, я не принимаю идею "Творца", то есть этот теологический аспект мне чужд. По-моему, это "миф", то есть чистой воды "придумка", и никаким реальным вещам это не соответствует. С таким же успехом можно было бы взять за основу другой "миф", считая, что всё пребывает вечно. Часто можно встретить мысль, что "Большой Взрыв" -- это некое подтверждение библейского мифа. Но это тоже "теория", которая в такой же степени "высосана из пальца". Максимум, с чем можно согласиться -- это с тем, что представлять себе вещи можно и таким способом. Но это совершенно не обязательно.
Есть второй момент: я не вижу весомых причин для принятия точки зрения "персонализма", то есть обязательного представления о Боге как о Личности. Об этом я когда-то писал. Это всего лишь удобная для человека (да и то не всякого) трактовка в духе "антропоцентризма". Но я вижу тут два варианта: можно не считать Бога "личностью", а можно считать "сверхличностью". Это примерно одно и то же. У Вас, кстати, во втором из постов есть одна близкая мысль, когда говорится о неких "существах", которые в силу своего "статуса" как бы "знают всё" (пересказываю "вольно", рассчитывая не на точность, а лишь на узнаваемость).
Если говорить более подробно, то лучше написать комментарий у Вас в журнале.
По поводу вероятности хотелось бы заметить следующее. Когда речь идёт о "бесконечном", там это понятие где-то теряет смысл, а где-то делается неоднозначным. Но когда речь идёт о вероятностном распределении на конечном множестве, то здесь никаких парадоксов не возникает. Речь всего лишь о конечном наборе неотрицательных чисел, в сумме равных единице. При этом числа с этим свойством могут быть назначены произвольно -- по примеру "блондинки" из анекдота, которая двум событиям назначила вероятность, равную 1/2. С точки зрения математики тут всё "чисто": построено вполне корректное вероятностное пространство. Ошибка ведь только на уровне применения.
Мне в данном рассуждении наиболее интересным кажется вот что. Примеров того, когда применяются вероятности, довольно много. Также очень часто подсчитывают одно и то же двумя разными способами, приходя в итоге к каким-то нетривиальным тождествам. Но здесь происходит нечто иное: оказывается возможным опереться на факт, казалось бы, совсем "слабый" и дающий очень мало информации. Я имею в виду то, что если две суммы с одинаковым числом слагаемых равны друг другу, то найдётся слагаемое одной суммы, которое не больше слагаемого другой суммы с тем же номером. Факт сам по себе очевидный, имеющий вдобавок чисто арифметическую природу, и удивительно то, что он влечёт какие-то интересные следствия.
Reply
Интересно вот что. Нарастание в ходе исторического развития математики изощрённости форм и строгости доказательств.
Сейчас кажутся смешными, что были проблемы с "признанием" отрицательных чисел, к примеру. Умнейшие люди пытались "оправдать" корректность их введения, объясняя, что это можно интерпретировать как "долг".
Очень милыми кажутся работы Ньютона...
Тут вот какое дело. Математика в волевом аспекте - это концентрация сознания. Очень напоминающая буддийскую медитацию. В общем - всё сводится к двум видам медитации - подавление возниконовеия мыслей и наблюдение пустотности ума и позволение мыслям течь беспрепятственно , отстранённо наблюдая за потоком. В моём понимании это связалось с одним из определений пустого множества - пустое множество это совокупность элементов, каждый из которых не равен самому себе (X не равно X). Вот ум он ведь именно - не равен самому себе.
Так вот - история математики, по моему субъективному мнению, это ещё и история тренировки концентрации сознания. Наверное поэтому так важна - научная школа и общение с сильными математиками. Некоторая передача опыта концентрации.
Ну, есть какая-то аналогия со спортом. Но спорт завели в тупик допингами. Вряд ли в математике существуют аналоги допингов. В этом смысле, математика и теоретическая физика это интересный исторический опыт нарастания мощи в чистом виде. Ну, может быть есть и тупиковые программы развития. Но с точки зрения увеличения концентрации сознания - это всё равно - результат.
Не исключено, что дальнейшее нарастание концентрации может породить некоторые , скажем так, нематематические эффекты.
Всё-таки математик или при помощи математических методов формализуется взаимодействие сознание с некоторым природным уровнем самоорганизации мира. Не подумайте худого, я восе не поклонник разых торсионных полей или межзвёздных эфиров, лично я в области науки крайне консервативен и не склонен вводить какие-либо сущности, представляющие практически всегда неосознаваемые чувственные ассоциации.
Только в качестве интеллектуальной игры. Вот чтобы обозначить тему разговора иногда говорят - Мировой Разум. Я бы назвал это - Мировым Подсознанием.
Ну, что-то вроде коллективного бессознательного Юнга, но менее романтично и цветасто, зато более интересно - что-то, что формализуют при помощи математики. В чувственную сферу это прорывается в виде музыки, которая тоже становится всё более... концентрированной. Но музыка - это стихия, а математика - это всё-таки - воля.
Многое связано с формализмом. Форма и есть - концентрация сознания.
Вот есть картина Дали с максимальной экспрессией - "Предчувствие гражданской войны в Испании".
У ВАс нет предчувствия появления нового формализма в математике? По революционности равного появлению дифференциального исчисления...
Reply
Leave a comment