мини-плоскости

[falcao]

Купил я себе сегодня новую клавиатуру (всего за 200 рублей :)) Старая была вполне работоспособна, но на ней стёрлись многие буквы, и меня это постоянно раздражало. Так что теперь я могу печатать быстрее, чем раньше. И под это дело у меня возникла мысль, а не написать ли новый пост? Тем более, что тема "подвернулась" сама собой: сегодня я вспомнил

Comments

[falcao]

Так, скорее всего, не получится, потому что возникает сумма единиц. Их надо потом как-то "дробить". Не исключаю, что равноценное рассуждение может получиться на основании рассмотрения средних значений каких-то величин (типа среднего числа прямых, проходящих через точку), а также среднего числа точек на прямой.

Кстати, есть ещё интересное рассуждение с применением линейной алгебры. Для начала, пометим каждую точку числом и потребуем, чтобы сумма чисел вдоль любой прямой равнялась нулю. Тогда несложно показать, что все числа равны нулю. Такая задача даже была на Всесоюзной олимпиаде 1977 года, проходившей в Таллине. Рассуждение таково: если S -- сумма всех чисел, x -- "метка" произвольной точки, k > 1 -- число проходящих через x прямых, то элементарный подсчёт показывает, что S=x(1-k). Если S=0, то все числа нулевые. Если S > 0, то все числа оказываются отрицательными, что невозможно. Аналогично для S < 0.

Далее, опираясь на это как на лемму, запишем все n чисел в виде переменных, а прямым сопоставим m уравнений (сумма чисел вдоль прямых нулевая). Эта однородная система имеет только нулевое решение, откуда m >= n.