мини-плоскости
Купил я себе сегодня новую клавиатуру (всего за 200 рублей :)) Старая была вполне работоспособна, но на ней стёрлись многие буквы, и меня это постоянно раздражало. Так что теперь я могу печатать быстрее, чем раньше. И под это дело у меня возникла мысль, а не написать ли новый пост? Тем более, что тема "подвернулась" сама собой: сегодня я вспомнил
( Read more... )
Далее, ситуация со школьниками и комиссиями, или со схемой метро нужна для того, чтобы ввести некое начальное понятие (я его никак не называл, но пускай это будет "предплоскость"). В этот момент у нас есть "точки" и "прямые", а как они себя ведут, мы пока не знаем. И уже потом мы вводим аксиомы (их список может быть и другим), выясняя при этом, какие из них будут выполнены. Понятно, что при произвольном выделении "комиссий" не получится "мини-плоскость", но это само собой разумеется. Примерно такой же путь применяется при введении понятия группы. Сначала есть множество с одной бинарной операцией, которое может обладать какими угодно свойствами; потом уже проверяются аксиомы группы.
По поводу Ваших вопросов: меня самого такая тематика очень интересует. Особенно в связи с первым из вопросов, касающегося "дологических" основ математики. Я думаю, что в систематическом виде этот вопрос как следует не изучен, но что-то по этому поводу сказать можно. Меня самого на эти вещи в своё время "навели" некоторые из работ А.С.Есенина-Вольпина. Я считаю полезным методологический подход, который помимо математики применим ещё много где. Мы смотрим на всё происходящее в терминах деятельностей, которые могут осуществляться кем угодно и чем угодно. Отличие от логики (классической) в том, что помимо "субъекта" и "предиката", которые в этом виде обычно являют себя как существительное и прилагательное (например: "человек смертен"), здесь появляются ещё и глаголы. Это существенно расширяет возможности. Например, начав решать задачу, мы инициируем деятельность по её решению, и с этого момента становимся подчинены каким-то правилам или ограничениям. В процессе решения мы можем ставить "подзадачи", что приводит к возникновениям новых "деятельностей" внутри предыдущих, и так далее. В языке описания всего этого дела оказывается очень полезным понятие ситуации, которое можно считать одним из "первичных". Описание ситуаций чаще всего начинается словом "пусть". Также можно выделить понятие "указания", которым мы часто пользуемся. Например, когда говорим, "дан треугольник" или "рассмотрим окружность с центром O".
Я здесь только наметил общие контуры некого подхода, но это очень далеко от мало-мальски исчерпывающего описания. Важно подчеркнуть, что основой является "филология", а не психология. От последней я всячески стараюсь отдалиться по причине, о которой скажу чуть позже. И, кстати, "филология" -- не то же самое, что "язык", о котором часто говорят. Язык -- это уже уровень скорее "лингвистики", то есть это структура более "богатая" и сложная.
Теперь по второму вопросу. Я твёрдо придерживаюсь точки зрения, что математические структуры существуют "сами по себе" в своём "идеальном" виде -- в точности в духе идей Платона. Наше сознание, наша "ментальность" их всего-навсего "улавливает", но не "рождает". Подобно тому, что если приёмник поймал запись концерта, то где-то был композитор, оркестр, дирижёр и радиостанция.
По этому поводу часто возникают споры -- в том числе и в пределах ЖЖ. Я здесь весьма твёрд в убеждении, что наше сознание просто не может "родить" эти вещи. Такое под силу лишь Богу, которого можно называть Природой или "Всеохватным Разумом".
Просьба отвечать ниже на обе части коммента!
Reply
Leave a comment