Граф как функтор в категорию Set

[kassalanche]

У нас есть категория С с двумя объектами A и B и двумя морфизмами из A в B, которые мы назвали cod и dom. Тогда функтор из такой категории в Set есть граф. Его вершины - образы B, а дуги - образы A.

Нарисовала как я себе это представляю:

Comments

[ulysses4ever]

Грубо говоря, по определению. То есть по нашему представлению A переходит в некоторое GA, которое мы называем „множество дуг“, и B переходит в GB - множество, которое мы называем „множество вершин“. Тождественные морфизмы функтор переводит в тождественные - по определению функтора. Следовательно GidA это тождественный морфизм множества GA („множество дуг“), GidB это тождественный морфизм множества GB („множество вершин“). Тождественные морфизмы Set (которой принадлежит GA, GB) это тождественные отображения множеств (которые, напомню, единственны для каждого множества).

[kassalanche]

Теперь ясно. Спасибо.

[ext_179323]

Картинка больше смахивает на профунктор, чем на функтор. ;)
И скорее запутывает.

- что означают дуги между категориями? (→ или ↦)
- из них - что означают диагональные? и нужны ли?

Обычно проще (и убедительнее для себя) сначала разобраться, как устроена данная категория функторов, и уже в качестве ответа обнаружить, что она совпадает с категорией графов.

[kassalanche]

> [Картинка] скорее запутывает.
Ну тут Вы меня не удивили. :)

> - что означают дуги между категориями? (→ или ↦)
> - из них - что означают диагональные? и нужны ли?
После Вашего первого вопроса задумалась, а потом пришла к выводу, что когда рисовала, воспринимала C и Set как одну категорию (объединение двух). И представляла, что в той ее части, которая досталась от Set есть какие-то объекты и они как-то связаны стрелками, а в той части, которая досталась от C есть ровно два объекта и ровно 4 морфизма. Стрелки из B в объекты из Set можно считать элементами Set, поэтому синяя диагональная нужна: она определяет объект. А каждая пара стрелок из A определяет дугу, причем, если h о dom = черной_недиагональной_стрелке, то этот объект в Set является доменом в Set красной стрелки, заданной двумя черными морфизмами из A, поэтому понадобилась и черная диагональная: она определяет один из конецов красной стрелки.

[ext_179323]

> > [Картинка] скорее запутывает.
> Ну тут Вы меня не удивили. :)
Выход - прочитать определение функтора и нарисовать правильную картинку.

> После Вашего первого вопроса задумалась, а потом пришла к выводу, что
> когда рисовала, воспринимала C и Set как одну категорию (объединение двух).
> И представляла, что в той ее части, которая досталась от Set есть какие-то
> объекты и они как-то связаны стрелками, а в той части, которая досталась
> от C есть ровно два объекта и ровно 4 морфизма.
До этого места всё корректно.
(хотя "одну категорию (объединение двух)" - это все-таки в сторону определения профунктора - аналога отношения между категориями; у нас будет, но позже).

А вот дальше... =) всё смешалось.

Предположим, что Вы освежили в памяти определение функтора и продолжим с вопросами:
- сколько функторов мы хотели изобразить на картинке? Один функтор = один граф. Предлагаю нарисовать новую для одного.
- все-таки, → или ↦? и, кстати, что мы обозначаем такими стрелочками?
- сколько ↦ одного функтора должно выходить из одной