Граф как функтор в категорию Set
У нас есть категория С с двумя объектами A и B и двумя морфизмами из A в B, которые мы назвали cod и dom. Тогда функтор из такой категории в Set есть граф. Его вершины - образы B, а дуги - образы A.
Нарисовала как я себе это представляю:
( Read more... )
Нарисовала как я себе это представляю:
( Read more... )
И скорее запутывает.
- что означают дуги между категориями? (→ или ↦)
- из них - что означают диагональные? и нужны ли?
Обычно проще (и убедительнее для себя) сначала разобраться, как устроена данная категория функторов, и уже в качестве ответа обнаружить, что она совпадает с категорией графов.
Reply
Ну тут Вы меня не удивили. :)
> - что означают дуги между категориями? (→ или ↦)
> - из них - что означают диагональные? и нужны ли?
После Вашего первого вопроса задумалась, а потом пришла к выводу, что когда рисовала, воспринимала C и Set как одну категорию (объединение двух). И представляла, что в той ее части, которая досталась от Set есть какие-то объекты и они как-то связаны стрелками, а в той части, которая досталась от C есть ровно два объекта и ровно 4 морфизма. Стрелки из B в объекты из Set можно считать элементами Set, поэтому синяя диагональная нужна: она определяет объект. А каждая пара стрелок из A определяет дугу, причем, если h о dom = черной_недиагональной_стрелке, то этот объект в Set является доменом в Set красной стрелки, заданной двумя черными морфизмами из A, поэтому понадобилась и черная диагональная: она определяет один из конецов красной стрелки.
Reply
> Ну тут Вы меня не удивили. :)
Выход - прочитать определение функтора и нарисовать правильную картинку.
> После Вашего первого вопроса задумалась, а потом пришла к выводу, что
> когда рисовала, воспринимала C и Set как одну категорию (объединение двух).
> И представляла, что в той ее части, которая досталась от Set есть какие-то
> объекты и они как-то связаны стрелками, а в той части, которая досталась
> от C есть ровно два объекта и ровно 4 морфизма.
До этого места всё корректно.
(хотя "одну категорию (объединение двух)" - это все-таки в сторону определения профунктора - аналога отношения между категориями; у нас будет, но позже).
А вот дальше... =) всё смешалось.
Предположим, что Вы освежили в памяти определение функтора и продолжим с вопросами:
- сколько функторов мы хотели изобразить на картинке? Один функтор = один граф. Предлагаю нарисовать новую для одного.
- все-таки, → или ↦? и, кстати, что мы обозначаем такими стрелочками?
- сколько ↦ одного функтора должно выходить из одной ( ... )
Reply
(The comment has been removed)
А то что-то меня эта куча стрелок настораживает.
Reply
В силу того, что ведущий семинара чуть прояснил, что обсуждалось, и что могло (и не могло) попасть на картинку. А также того, что продолжение этой темы будет только через три недели. Попробуем разобрать все здесь с самого начала, в гильбертовском стиле "столы и пивные кружки".
Картинки нет, мы ее рисуем. Есть категория С, построенная "на пальцах" (можно говорить - геометрически, можно - синтаксически, не важно): у нее два объекта A ("arrows", пути), B ("bee"... какое есть слово на be?.. пусть будут пчелы), и четыре морфизма 1A: A → A, 1B: B → B, dom, cod: A → B. Это ничего не значит в нашем формализме, но пускай будут такие: тождественные - путь-есть-путь, пчела-есть-пчела, две параллельные - начало-пути-есть-пчела и конец-пути-есть-пчела. Кроме того, есть категория Set, построенная средствами теории множеств: объекты ее - множества, морфизмы - отображения множеств.
Начинаем рисовать новую картинку - с С и Set. Это не сложно, если не пытаться изобразить Set всю ( ... )
Reply
Мы имеем категорию C. С тем как ее нарисовать проблем нет. Далее можно поробовать изобразить Set. Как уже было сказано, её вершины - образы B, а дуги - образы A. Это невольно толкает на мысль попробовать "разбить" Set отдельно на множество вершин и на множетсво дуг, связанные отображениеми dom' и cod', которые каждому морфизму (дуге) сопоставляют два объекта (вершины): его начало и конец. Таким образом, на рисунке Set будет сильно напоминать граф.
После таких построенй, как я понимаю, можно посмотреть (но пока только посмотреть) на определение функтора, затем захочется сопоставить объектам и стрелкам категории C соответсвующие объекты и стрелки категории Set.
Как это сделать? Стрелки ↦ я встречала пару раз и толком воспроизвести их назначение мне вряд ли удастся, тем не менее хочется использоват именно их, так как обычные стрелки (→) кажутся неприминимыми в данной ситуации, поскольку они должны соединять объекты категории.
Reply
Придется еще много говорить :)
Я специально не пользовался терминами "вершины" и "дуги", потому что они нас сильно сбивают с толку. Предлагаю о них на время забыть.
> Мы имеем категорию C. С тем как ее нарисовать проблем нет.
Категорию Set нарисовать, действительно, не так сложно. Единственная проблема - она большая, поэтому рисовать пришлось бы слишком долго, "мы не можем себе этого позволить". Ни о каких графах она, Set, кстати, не знает и знать не должна. Состоит из объектов 0, 1, 2..., (очень много), (еще больше), ... и морфизмов - между 1 и 1 ровно 1 морфизм в одну сторону и 1 в другую, между 2 и 3 - 9 и 8 морфизмов соответственно. Контрольный вопрос: сколько морфизмов вида f: (очень много) → (еще больше)? Вопросы такого рода - единственное, что мы сейчас изображаем на картинке.
Вот только никаких dom и cod пока нет, все множества в определенном смысле равноправны (являются объектами этой категории).
> Таким образом, на рисунке Set будет сильно напоминать граф.Если мы все-таки вспомним на ( ... )
Reply
Откуда Вы взяли числа 9 и 8?
Reply
сколько есть разных отображений из двухэлементного множества в трехэлементное?
сколько в противоположном направлении?
(комбинаторика, однако)
Reply
Reply
(The comment has been removed)
Reply
Функтор каждому объекту из С сопоставит единственный объект из Set, таким образом, при фиксированном F мы получим два фиксированных объекта в Set. Нужно не забыть, что функтор F ставит в соответсвие каждому тождественному морфизму idX из C тождественный морфизм объекта FX из Set. А двум морфизмам cod и dom из C сопоставим один морфизм a из Set, a: FA → FB.
Reply
(The comment has been removed)
Я сомневалась, но решила, что если F будет сопоставлять объектам A и B, например, объекты 2 и 1 из Set, то одного из морфизмов между FA и FB существовать не будет.
Ох, а по идее это же ничего страшного: поскольку даже если морфизм будет один, все равно из 1 в 0 и его не будет.
Reply
Leave a comment