Триангуляция. Задача с видом на остров Крит (задача Матье Дюма) и картография

[rinah_2]

Ну вот мы и добрались до настоящей триангуляции. Предыдущие три задачи - измерение высоты, измерение длины недоступного объекта, снятие плана объекта без использования угломерных инструментов - были относительно несложными, в том смысле, что для их решения достаточно знать, как это делается, владеть четырьмя действиями арифметики и аккуратно провести измерения на местности. Конечно, желательно заранее приобрести практические навыки этих самых измерений на местности, работы с простейшими инструментами, а также выполнения построений на бумаге с помощью линейки, измерителя, циркуля и транспортира, но в целом это, конечно, не ядерная физика и даже не бином Ньютона.

Задача, которая стояла перед Матье Дюма, была гораздо сложнее и в теоретическом, и в практическом отношении, даже если вынести за скобки пересеченную местность и шпионские страсти (см. перевод фрагментов воспоминаний Матье Дюма о миссии на Крите - начало здесь). Здесь о ней будет рассказано в самом общем виде, без подробностей, которые понятны только специалистам.



Франция готовилась к возможным военным действиям в Средиземноморье, имея в виду разные варианты развития событий - как совместные действия с Турцией против России, так и нейтралитет во время ожидаемой русско-турецкой войны. И в том, и в другом случае возможной ставкой в игре оказывался остров Крит, и Франция всерьез готовилась к отправке туда военного флота и даже высадке десанта. Матье Дюма уже был замечен начальством как способный и толковый офицер, хорошо показавший себя как в штабной работе, так и во время военных действий в Америке; теперь его отправили с разведывательной миссией на территорию Османской империи. Среди прочего предстояло начертить карту острова Крит, на которой расстояния между точками на карте соответствовали бы (в масштабе) расстояниям на местности.

Старые карты, которые были в распоряжении французов, более или менее точно передавали взаимное расположение объектов (мысов, заливов, гор, населенных пунктов), но не расстояния между ними.



Турецкая карта Kitab-i Bahriye (Piri Reis, 1521) перевернута вверх ногами, чтобы юг оказался внизу. https://www.sfakia-crete.com/sfakia-crete/historical-maps-crete.html



Карта Ортелиуса (1584 г.) https://www.sfakia-crete.com/sfakia-crete/historical-maps-crete.html



Карта Сандрара (1686 г.) повернута боком, чтобы юг был внизу. https://www.sfakia-crete.com/sfakia-crete/historical-maps-crete.html



Карта Покока (1745). https://www.sfakia-crete.com/sfakia-crete/historical-maps-crete.html



Крит на карте д’Анвиля https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53009015z/f1.item.zoom#. В отношении береговой линии карту д’Анвиля Матье Дюма считал самой точной из тех, что были в его распоряжении.

Измерить все необходимые расстояния на местности было нереально: во-первых, эти расстояния довольно велики - протяженность острова с запада на восток 260 км, с севера на юг (в широком месте) до 60 км, длина береговой линии более 1000 км, а во-вторых, дойти по прямой от одной точки до другой не получилось бы.



Так выглядит остров Крит, если посмотреть на него сверху (Матье Дюма побывал на Крите на полтора столетия раньше, чем появилась такая возможность). http://ostrov.info/main/33-crete.html

Вот для таких измерений и придумали триангуляцию. Идея, если описать ее простыми словами, состоит в том, чтобы построить сеть треугольников, в вершинах которых будут располагаться важные (или в том или ином отношении приметные) пункты, и на местности измерить ВСЕ углы ВСЕХ этих треугольников, плюс ОДНУ сторону ОДНОГО из треугольников - ее надо специально подобрать так, чтобы удобно было измерять на местности с большой точностью. После этого, используя тригонометрические формулы и таблицу значений синусов углов, можно вычислить длины ВСЕХ остальных сторон ВСЕХ треугольников, начертить эту сеть в масштабе и уже на чертеже измерить (и/или вычислить) нужные расстояния. Да, нужен достаточно точный угломерный инструмент. Да, объем вычислений огромный (и не забываем, что выполнять их придется «в столбик» или как еще в те времена было принято считать на бумажке). Но зато в итоге можно:

- получить настоящую карту, более или менее точно воспроизводящую расстояния между объектами,

- подняться над чисто практическими задачами и вычислить, например, длину земного меридиана (на самом деле это задача тоже вполне практическая, и она многих интересовала, начиная с древних греков, но Матье Дюма ею не занимался, и мы тоже не будем).

Впервые триангуляцию описал (и выполнил) в XVI веке уже знакомый нам Гемма Фризиус; методы измерения высот и расстояний, описанные в его книге De locorum describendorum ratione, deque distantijs eorum inueniendis (1533), упоминались в задаче лорда Месгрейва и в задаче дона Жуана. Вот так выглядит в этой книге схема триангуляции, охватывающей несколько городов Фландрии.



Схема триангуляции из книги Геммы Фризиуса De locorum describendorum ratione, deque distantijs eorum inueniendis

В качестве опорных точек (вершин треугольников) были взяты высокие колокольни городских церквей. С колокольни в Антверпене колокольня в Генте видна под углом 80° к направлению меридиана (его определяли по компасу). Оттуда же, из Антверпена, были определены направления на Миттельбург, Берг, Лиру, Лувен, Мехелен (где малиновый звон) и Брюссель. Записав все данные, геометр поехал в Брюссель, и с тамошней колокольни тоже определил направления на все остальные города.

Потом предстояло все это начертить, начиная с отрезка Антверпен-Брюссель. Брюссель расположен юго-западнее Антверпена под углом 29° к направлению меридиана; масштаб чертежа будет зависеть от того, на каком расстоянии мы поставим эти две точки. Теперь остается только строить с помощью транспортира нужные углы и находить на пересечении «антверпенской» и «брюссельской» линий точное положение каждого города.

Если на местности измерено хотя бы одно из расстояний, представленных на чертеже, можно будет определить и остальные. Можно, кстати, и не измерять непосредственно, а рассчитать по астрономическим данным - к XVI веку это умели делать, а для Антверпена и Брюсселя уже были известны достаточно точные координаты.

Конечно, для обработки результатов триангуляции потребуется значительный объем вычислений. Сразу становятся очевидны преимущества десятичной системы счисления - об это специально писал, например, Виллеброрд Снеллиус (1580-1626), который в 1615 году выполнил триангуляцию между Алкмаром и Бредой в Нидерландах для определения длины земного меридиана. В его книге «Батавский Эратосфен» подробно описаны расчеты для каждого из многочисленных треугольников на территории, охватывающей с севера на юг примерно один градус (около 116 км).



Результаты расчетов по каждому треугольнику https://www.digitale-sammlungen.de/en/view/bsb10806698?page=188,189

Ученые люди быстро оценили пользу и перспективы триангуляции для картографии. Для небольших территорий съемку вели практически так же, как описано у Геммы Фризиуса. Вот, например все тот же Ален Манессон Малле в «Практической геометрии» (1702) описывает технику картографирования на примере окрестностей тогдашнего Парижа (сейчас Сен-Дени и Обервилье - ближние пригороды, туда ходит метро).



Картография с использованием компаса. Ален Манессон Малле «Практическая геометрия» (1702) т.2.

Первая опорная точка - колокольня церкви Сен-Жак-де-ла-Бушери. От всей церкви только она и сохранилась до наших дней, она известна как «башня Сен-Жак».



Башня Сен-Жак на рассвете. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tour_Saint-Jacques_BLS.jpg?uselang=fr



Во времена Алена Манессона Малле башня Сен-Жак была частью комплекса церкви Сен-Жак-де-ла-Бушери. В «Практической геометрии» (1702) описано измерение высоты башни.

Вторая опорная точка - мельница Лансет на Монмартре (Монмартр тогда был за пределами города). С 1635 до 1816 года она находилась на вершине холма, чуть-чуть восточнее нынешней базилики Сакре-Кёр. В какой-то момент она обрушилась без видимых причин - просто провалилась в галерею подземной каменоломни, где добывали гипс; потом ее снесли.



Так выглядела мельница Лансет в рабочем состоянии. https://www.pinterest.fr/pin/680958406127771975/



Мельница Лансет на Монмартре. https://www.histoires-de-paris.fr/moulin-montmartre-qui-ecroule/ Здесь видно, что каменная башня, на которой смонтирована деревянная конструкция, буквально ушла под землю. Восстанавливать, видимо, не стали.

В Обервилье ориентиром служила колокольня церкви Нотр-Дам-де-Вертю, в Сен-Дени - колокольня базилики.



Церковь Нотр-Дам-де-Вертю в Обервилье была самым высоким зданием в округе. https://www.aubervilliers.fr/L-eglise-Notre-Dame-des-Vertus



Церковь Нотр-Дам-де-Вертю в Обервилье в наши дни. Теперь ее вряд ли удастся разглядеть с верхушки башни Сен-Жак. https://www.aubervilliers.fr/L-eglise-Notre-Dame-des-Vertus

Ален Манессон Малле писал свою книгу в царствование Людовика XIV, который на самом деле был славен не только постройкой Версаля, многочисленными фаворитками и пышными париками, но и разными полезными мероприятиями, для которых умел находить толковых сотрудников. Среди прочих полезных дел он, с подачи своего министра финансов Кольбера, учредил в 1666 году Академию наук, построил для нее обсерваторию и поддержал разработку уточненной карты Франции. Под руководством академика Жана Пикара (1620-1682) (его обычно называют аббат Пикар) была выполнена триангуляция и определение координат по астрономическим данным вдоль атлантического и средиземноморского побережий Франции; собственно картографией занимался другой академик, Филипп де Ла Ир (1640-1718).

В 1682 году Пикар и Ла Ир представили королю скорректированную карту Франции - территория оказалась примерно на 20% меньше по площади, чем выходило на прежних картах. Король даже мрачно пошутил, что эти академики уменьшили территорию его государства сильнее, чем любые военные поражения.



Скорректированная карта Франции (1682). https://www.researchgate.net/figure/Jean-Picard-and-Philippe-de-La-Hire-Carte-de-France-corrigee-par-ordre-du-Roy-Paris_fig2_351683631

Кольбер переманил во Францию из Италии ценного специалиста Джованни-Доминико Кассини, который во Франции стал зваться Жан-Доминик - его называют Кассини I, потому что начатую им работу по созданию подробной карты Франции с использованием данных триангуляции продолжали потом его сын, внук и правнук. Кассини IV завершил работу уже в царствование Людовика XVI и выпустил знаменитую карту Кассини, очень точную и подробную. К счастью, эти картографические материалы уцелели и в революционные годы, и потом; сейчас они оцифрованы и есть в открытом доступе. https://gallica.bnf.fr/html/und/cartes/france-en-cartes/la-carte-de-cassini?mode=desktop .



Триангуляция Кассини II на севере Франции (1720). https://www.mappingasprocess.net/blog/2021/7/14/triangulation-its-not-just-doing-things-with-triangles



Схема триангуляции для карты Кассини. Эта работа продолжалась целый век.

Портреты Пикара, Ла Ира и Кассини в числе прочих академиков сохранились на масштабном полотне, посвященном основанию Парижской Обсерватории. По тому, какое место занимают географические карты в этой композиции, можно судить о том значении, которое им придавалось.



Анри Тестелен. Учреждение Академии наук и основание Обсерватории. На картине Кольбер представляет Людовику XIV членов Академии наук в 1667 году. На самом деле такого мероприятия с участием всех изображенных персонажей не было, но персонажи вполне реальные. Полотно 3,5 х 6 м создано около 1675-1680 г. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Testelin,_Henri_-_Colbert_Presenting_the_Members_of_the_Royal_Academy_of_Sciences_to_Louis_XIV_in_1667.jpg?uselang=fr



Пикар, Ла Ир и Кассини на картине Анри Тестелена. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Picard,_La_Hire,_Cassini_I.jpg?uselang=fr

Таким образом, в 1783 году Матье Дюма для решения поставленной перед ним задачи располагал уже отработанными методами. Практические навыки у него тоже были. Начиная службу в пехотном полку в захолустном гарнизоне, он усердно изучал все, что касалось инженерного обеспечения, и упражнялся в «полевых практических занятиях»:

«Полк… был направлен в Бриансон; год, который я там провел, был из всех моих молодых лет годом, который я употребил с наибольшей пользой. Мне было поручено ведать обучением и снабжением нескольких рот в одном из фортов на протяжении долгой и суровой зимы; я много занимался по своей части и выстроил для себя систему занятий военным делом, которой следовал потом всегда… От вопросов снабжения я перешел к чтению трудов по военной истории и с той же поры завел привычку к полевым практическим занятиям. Хорошие уроки я получил от господина Думе, офицера очень образованного и опытного в делах штабной службы; он тогда заведовал хозяйственной частью в крепости Бриансон. Думе собрал, выправил, а частью и сам снял превосходные карты Альп от Мон-Сени до устья Вара. В теплое время года, столь краткое в этих краях, он путешествовал пешком и делал полевую съемку, а долгой зимой на основе собранных сведений, очень точных и хорошо представленных, составлял записки в предположении военных операций. Эти его записки, очень поучительные, представляли собой целые планы кампаний, и он их прорабатывал день за днем, как если бы ему надо было действительно… производить эти придуманные им передвижения войск и операции.

Я следил за работой Думе и упражнялся в этом роде полевых практических занятий; я также много чертил…

Следующей зимой батальон, в котором я служил, заступил на смену гарнизона в форт Трех Голов. Я использовал эту своего рода ссылку, чтобы более серьезно заняться изучением штурма и обороны крепостей, а также поупражняться в рисовании карт и планов…»

Задача Матье Дюма

Задача состояла в том, чтобы максимально точно нанести на карту расположение важных в военном отношении пунктов острова Крит - в первую очередь, конечно, крепостей, гаваней и мест возможных якорных стоянок, а также мысов и гор, которые могли бы служить ориентирами.

Возможности точно измерять расстояние на местности у Матье Дюма, путешествовавшего под видом негоцианта по фамилии Вернон, не было - как и Ким (см. Задача с видом на крепость), он не мог использовать землемерные цепи. Заниматься определением точных координат по астрономическим данным он тоже не мог - это дело очень трудоемкое и долгое, да и не всякий момент для него подходит. Данные приблизительного измерения расстояний по времени пути в часах годились только в качестве вспомогательных. К счастью, одно расстояние - между городами Канея (теперь Ханья) и Кандия (теперь Ираклион) - было известно точно, поскольку для этих городов координаты еще раньше были определены.

Ну а дальше предстояло работать в поле:

«Взяв за основание измеренное расстояние между Канеей и городом Кандия - двумя пунктами, которые господин де Шабер зафиксировал по астрономическим наблюдениям - я выстроил идеальную триангуляцию на другие главные точки…

Определяя по компасу изменения направления, я чертил маршруты, и вместе с Бенизе мы отмечали разные особенности местности. После каждого дня марша мы выправляли свои черновики, а потом сводили эти маршруты. Таким образом, обойдя весь остров кругом и несколько раз пройдя его поперек с севера на юг, то есть от северного берега до южного, я замкнул круг, или ленту этих маршрутов с погрешностью в четыре тысячи туазов. »

Обработкой полевых данных Матье Дюма занимался во время карантина в порту Тулона - в тех местах, где он успел побывать, отмечались случаи чумы. Вместе с капитаном корабля графом де Бонневалем он готовил итоговые материалы для представления начальству:

«Нас не страшила скука карантина, срок которого был установлен в двадцать пять дней. Как прежде мы пользовались остановками в разных местах, чтобы привести в порядок собранные материалы, так и это время мы употребили, чтобы составить совместный навигационный и топографический отчет, к которому прилагались обстоятельные сведения о каждом из посещенных нами пунктов. Я уже приготовил начисто около пятидесяти карт и планов, которые должны были составить атлас в приложение к нашим мемуарам. При помощи моего секретаря Бернизе я смог закончить эту работу до истечения срока карантина. Мой коллега руководил перепиской наших мемуаров и выправлял их с той же быстротой. Долгие дни этого времени года казались нам слишком короткими, и перед тем, как войти в Тулон и на короткое время расстаться, мы, к нашему удовлетворению, увидели свой труд завершенным и готовым к тому, чтобы быть представленным министру маршалу де Кастри, который приказал нам явиться к нему.»

Отчет и атлас сохранились в архивах, но любопытствующим вроде меня они пока недоступны. Зато военная карта Крита, подготовленная Матье Дюма, легла в основу карты, опубликованной в 1825 году:

«Генеральная карта острова Крит, которую я начертил, была неизбежно очень несовершенной, но однако же до сего времени остается лучшей картой этого острова, самого значительного в архипелаге Леванта. Она недавно была на основе моих оригинальных чертежей переведена в меньший масштаб и опубликована инженером-географом Лапи.»



Карта Крита, выполненная Пьером Лапи (1779-1850) на основе военной карты Матье Дюма. 1825. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52513992q/f1.item

Как выглядели исходные материалы, можно себе представить на примере триангуляции другого греческого острова, Кипра. Кто ее выполнял, неизвестно.



Схема триангуляции Кипра. Карта выполнена вручную. Можно видеть, что в качестве опорных точек используются вершины гор и оконечности мысов (там, где можно с одного мыса разглядеть другой).

В Российской империи триангуляцией всерьез занялись уже после войны 1812 года. Первая цепочка треугольников от Северного ледовитого океана до Черного моря, примерно вдоль меридиана Дерпта (Тарту), была построена к 1830 году, но до точного картографирования всей территории страны было еще далеко.



Геодезическая дуга Струве - сеть из 265 триангуляционных измерительных пунктов, образующих 258 триангуляционных треугольников - служила не только для картографии, но и для определения размеров и формы Земли. Сейчас дуга Струве пересекает территории 10 государств. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Struve_Geodetic_Arc-zoom-ru.svg

***

Еще немного про картографию в те времена, когда карты рисовали вручную.



Адам Фридрих Цюрнер, Атлас Августа Саксонского, титульный лист (1742). https://www.researchgate.net/figure/Adam-Friedrich-Zuerner-title-page-to-the-Atlas-Augustaeus-Saxonicus-Dresden-before_fig6_351683631 В виньетках изображены рабочие процессы полевой съемки, построения карт и измерения расстояний с помощью одометра (счетчика оборотов колеса).



Знаменитые картографы Герард Меркатор и Йодокус Хондиус на гравюре XVII века. https://www.npg.org.uk/collections/search/portrait/mw133598/Gerardus-Mercator-and-Jodocus-Hondius



Иоханнес Вермеер. Географ (1669). https://commons.wikimedia.org/wiki/File:J._VERMEER_-_El_ge%C3%B3grafo_(Museo_St%C3%A4del,_Fr%C3%A1ncfort_del_Meno,_1669).jpg



Жорж Фредерик (1900-1981). Картограф (1956). https://collections.heritage.brussels/fr/objects/38952 Примерно так когда-то рисовали карты и Матье Дюма в конце XVIII века, и киплинговский Ким на столетие позже. На первом плане можно разглядеть измеритель, транспортир, угольник и коробочку с красками.

Видео (на французском языке) про карты Кассини и про картографию вообще:

https://www.youtube.com/watch?v=g8LbZYBW9DU Versaille

https://www.youtube.com/watch?v=BcSzdYwXp-0 ARTE

https://www.youtube.com/watch?v=ax48UzGGTZk cartes