Триангуляция. Задача с видом на крепость (задача Кима) и землемерные цепи
Дон Жуан из пьесы Макса Фриша не был профессиональным разведчиком, и обмерить стену неприятельской крепости ( предыдущая задача) ему поручили буквально «чтобы проучить» - кто же знал, что он справится? Если бы действительно, как в телеспектакле, надо было «произвести промеры всех неприятельских укреплений», он бы так легко не отделался.
Наш незаменимый Ален Манессон Малле (который, между прочим, успел послужить в португальских инженерных войсках, прежде чем заняться преподаванием математики королевским пажам) прямо так и пишет в третьем томе своей «Практической геометрии» (1702):
«Геометру следует также знать, что невозможно снять верно план осажденного города ни при помощи какого бы то ни было инструмента в роде зеркал, зеркальных коробочек и тому подобных, более любопытных для развлечения в кабинете или в саду, чем полезных в виду хорошо защищенной крепости (поскольку обычно укрепления, заслоняя друг друга, не позволяют издалека узнать в точности длины сторон и величины углов), ни даже при помощи правил Тригонометрии, которая обычно измеряет лишь то, что можно видеть.
Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле "Труды Марса, или Военное Искусство" (1684)
Если совершенно необходимо иметь план осажденного города, надобно, как мы уже сказали в конце главы XI нашей книги «Труды Марса», Геометру или Инженеру проникнуть в этот город или крепость под видом Торговца или беженца и, имея задолго до того приобретенную привычку определять углы на глаз и измерять длины сторон своими шагами или оценивать их примерно, снять план каждого укрепления и план самой крепости, маскируя со всей возможной осторожностью (из опасения быть принятым за шпиона) истинное изображение крепости под разными гротескными фигурами животных, или пейзажами, или изображениями тюков с товарами, деревьев и т.д., основные части которых будут служить ему для записей: ствол дерева послужит для куртины, ветви для фланков, фасов и т.д., чтобы потом этот Геометр или Инженер начертил свой план начисто, когда будет уже вне крепости.»
Многие потом этими рекомендациями пренебрегали (не читали, видимо, полезную книгу…) и бывали пойманы:
А пуговки-то нету у заднего кармана!
И сшиты не по-нашему широкие штаны.
А в глубине кармана - патроны от нагана
И карта укреплений советской стороны.
(«Коричневая пуговка». Фольклорный вариант песни на стихи Е. Долматовского 1939 г.)
Но Ким, герой одноименного романа Редьярда Киплинга, так глупо не прокололся бы - у него с малых лет хватало ума обзавестись правильной одеждой и не таскать в кармане карту укреплений. Он деятельно готовился к будущей карьере в секретной службе; ради возможности со временем стать одним из тех, за чью голову назначена цена, он даже согласился пожертвовать на время свободой и поучиться в школе.
Обложка романа Редьярда Киплинга «Ким». https://cultura.biografieonline.it/kim-kipling-riassunto/#google_vignette
Говоря с ним об учебе, все его будущие начальники и коллеги настоятельно советовали ему особое внимание обратить на предмет под названием surveying, который Ален Манессон Малле именовал «практической геометрией», а у нас раньше называли землемерием или, опять же на французский манер, «арпантажем» (arpentage). По определению словаря Брокгауза и Ефрона, это «искусство, имеющее своим предметом измерение полей, т. е. изображение участков земли на бумаге в точном, но уменьшенном виде, и определение их поверхностей».
«…Вскоре полковник послал за ним и обратился к нему с длинной речью. Насколько Киму удалось понять, смысл ее сводился к тому, что он должен прилежно учиться, а впоследствии поступить на государственную службу в Индии в качестве землемера. Если он будет вести себя очень хорошо и выдержит экзамены, он в семнадцать лет будет зарабатывать тридцать рупий в месяц, и полковник Крейтон постарается найти для него подходящее место…
- Да, и ты должен научиться видеть дороги, и горы, и реки, и хранить эти рисунки в своей памяти, пока не наступит удобное время перенести их на бумагу. Быть может, однажды, когда ты будешь землемером и мы будем работать вместе, я скажу тебе: «Проберись за те горы и посмотри, что лежит за ними».»
Кадр из американского фильма «Ким» 1950 года. В роли полковника Крейтона Роберт Дуглас, в роли Махбуба Али - Эррол Флинн
Проучившись три года в школе, «… Ким, имея от роду пятнадцать лет и восемь месяцев, сдал экзамен по элементарной топографической съемке «с большим успехом».» В качестве «задачи Кима» возьмем задачу, которую задал ему полковник Крейтон на время каникул:
«…Следующие каникулы он провел с Махбубом и тут, кстати сказать, чуть не умер от жажды, тащась на верблюде к таинственному городу Биканиру по пескам, где колодцы имеют четыреста футов глубины и сплошь завалены верблюжьими костями. По мнению Кима, путешествие это было не из приятных; ... полковник велел ему снять план этого дикого, окруженного стенами города…»
Махбуб Али. Иллюстрация к роману «Ким» Редьярда Киплинга выполнена его отцом, Джоном Локвудом Киплингом, который был художником, хранителем музея и преподавателем архитектуры и скульптуры в Британской Индии. https://www.gutenberg.org/files/35555/35555-h/35555-h.htm
Задача Кима
Ты возьми, геометр, из казны из моей сколько нужно,
инвентарь собери, хоть купцом притворись, хоть пиратом,
и ступай, как велю, сквозь кордон. Почему? Потому что
ты всего геометр, ну а я как-никак император.
Михаил Щербаков «Пускай»
Задачу «снять план города Биканира» будем понимать как «снять план городских стен» - все-таки для снятия плана всех городских улиц, площадей и зданий потребовалось бы гораздо больше времени и больше участников.
Этот город в индийском штате Раджастхан теперь принято называть Биканер. Он появился в оазисе в пустыне Тар, на торговом пути из Центральной Азии к побережью, в самом конце XV века, когда старший сын махараджи захотел обзавестись собственным отдельным княжеством. С 1818 года княжество признало верховную власть Британии. Последний махараджа Биканера унаследовал власть в 1943 году, а в 1949 присоединил свое государство к независимой Индии.
Биканер. https://www.freejpg.com.ar/imagenes/premium/96913441/rojo-sandtone-palace-en-la-india
Махараджа Биканера с лордом Маунтбеттеном, последним вице-королем Индии и первым генерал-губернатором независимой Индии. Фото 1948 г. https://www.past-india.com/photos-items/maharaja-of-bikaner-with-lord-mountbatten-old-photo-1948/
Но в 1890-х, когда Ким попал в Биканер под видом доверенного слуги торговца лошадьми и секретного британского агента Махбуба Али, Биканер еще был более или менее самостоятельным княжеством, и англичан там не было. Англичане, конечно, старались держать все под контролем, но более важные события происходили где-то в других местах. Работая под прикрытием, Ким не мог открыто проводить съемку, и уж тем более не мог использовать инструменты вроде теодолита (хотя теодолитом он умел пользоваться).
Старый город Биканера имеет форму неправильного многоугольника и окружен построенной в XVIII веке каменной стеной высотой от 5 до 9 метров с пятью воротами. Длина стены составляет около 7 км.
Городская стена Биканера. Фреска в храме Лакшми Нат (Биканер). https://www.britannica.com/place/Bikaner
На современном плане это выглядит вот так:
Карта https://www.google.com/maps/place/Old+Bikaner,+Bikaner,+Rajasthan+334001,+India/@28.0124487,73.2935687,15z/data=!3m1!4b1!4m5!3m4!1s0x393fdd60452d5a3b:0x3285cd5e6e02ddca!8m2!3d28.0135788!4d73.3000876
Итак, задача Кима состоит в том, чтобы снять план крупного объекта, имеющего форму неправильного многоугольника, находясь снаружи и не пользуясь угломерными приборами.
Угломерные приборы (транспортир, «геометрический квадрат», астролябия, позже теодолит) были общепринятыми средствами для такой работы еще с XVII века, но и позже кое-где в учебниках на всякий случай описывали, как обойтись без них. Ален Манессон Малле нам тут не поможет - он рекомендует определять углы либо на глаз (вариант для шпионов), либо с помощью специального инструмента (вариант для мирных целей).
Обмеры углов участка. Иллюстрация из «Практической геометрии» Алена Манессона Малле (1702)
Зато Уильям Лейбурн, автор английского руководства по землемерию The Compleat Surveyor: Or, the Whole Art of Surveying of Land, by a New Instrument lately invented; as also by the Plain Table, Circumferentor, the Theodolite as now improv’d, or by Chain only (седьмое издание вышло в 1722 году уже после смерти автора), любезно приводит несколько устаревший к тому времени и не очень точный, но годный способ снятия плана только с помощью землемерной цепи.
Как снять план без угломерных инструментов, измеряя только расстояния. Иллюстрация из руководства по землемерию (The Compleat Surveyor) Уильяма Лейбурна (1722). Два "приставных" треугольника надо построить на местности и измерить их стороны - тогда при вычерчивании плана можно будет измерить транспортиром (или просто перенести на план) нужный угол.
В примере идет речь об участке густого леса, имеющем сложную форму. Помимо обычных измерений длин прямолинейных отрезков, предлагается несколько важных приемов.
1. Перейти от сложной формы реального участка, контур которого состоит из множества небольших отрезков, к многоугольнику с минимальным числом углов, охватывающему этот участок с не слишком большим отклонением от его контура.
2. Для определения углов между сторонами этого многоугольника построить на местности дополнительные треугольники (на рисунке показаны треугольники С и В) и измерить в каждом таком треугольнике все три стороны. Тогда при подготовке плана можно будет начертить эти треугольники с соблюдением масштаба и измерить углы на чертеже транспортиром (или просто воспроизвести на своем плане такой же угол).
3. Привязать отдельные точки контура участка к сторонам большого многоугольника, замеряя положение проекций этих точек на сторону многоугольника и их отклонение.
Для землемера, занимающегося обмером поместья где-нибудь в Йоркшире, решение вполне пригодное. Но для целей разведки измерение расстояния с помощью землемерной цепи не всегда подходит. Об этом Кима тоже предупреждали:
«…Еще важнее… искусство и наука измерений. Юноша, сдавший экзамены по этим отраслям знаний, - по которым, кстати сказать, учебников нет, - сможет, просто прогулявшись по какой-нибудь стране с компасом и анероидом и поглядев на нее зоркими глазами, унести с собой изображение этой страны, которое можно продать за крупную сумму чеканной серебряной монетой. Но принимая во внимание, что в некоторых случаях носить с собой мерные цепи бывает нецелесообразно, не худо бы знать точную длину своего собственного шага, так, чтобы юноша, лишенный того, что Хари-Чандар называл «добавочными вспомогательными орудиями», все же умел измерять расстояния. Опыт Хари-Чандара доказал, что при подсчитывании многих тысяч шагов лучше всего пользоваться четками с восемьюдесятью одним или ста восемью шариками, ибо «последнее число делится и снова делится на многие кратные и некратные»…»
Хари-Чандар Мукарджи. Иллюстрация к роману «Ким» Редьярда Киплинга выполнена его отцом, Джоном Локвудом Киплингом, который был художником, хранителем музея и преподавателем архитектуры и скульптуры в Британской Индии. https://www.gutenberg.org/files/35555/35555-h/35555-h.htm
Насчет отсутствия учебников по искусству и науке измерений Хари-Чандар Мукарджи был неправ - учебники, как мы видим, имеются. Но его наставления по части измерения расстояний шагами и использования четок для подсчета шагов не пропали даром:
«…так как мусульманским конюхам и чистильщикам трубок нельзя таскать землемерных цепей вокруг столицы независимого туземного государства, Ким был вынужден измерять все расстояния при помощи четок с шариками. Он пользовался компасом по мере возможности - главным образом в сумерки, когда верблюды были уже накормлены, - и с помощью своей топографической коробочки, в которой лежали шесть плиток с красками и три кисточки, ему удалось начертить план...»
Махбуб Али остался чрезвычайно доволен работой Кима:
«- Я знал, что ты заслужишь одеяние почета, и потому приготовил его, - сказал он с улыбкой. - Будь я эмиром Афганистана (а мы, возможно, увидим его когда-нибудь), я наполнил бы уста твои золотом. - Он торжественно положил одежду к ногам Кима. Тут были составные части чалмы: расшитая золотом пешаварская шапочка конической формы и большой шарф с широкой золотой бахромой на концах; вышитая делийская безрукавка, широкая и развевающаяся, - надевалась она на молочно-белую рубашку и застегивалась на правом боку; зеленые шаровары с поясным шнурком из крученого шелка и, в довершение всего, благоухающие и с задорно загнутыми носками туфли из русской кожи. - Обновы надо впервые надевать в пятницу утром, ибо это приносит счастье, - торжественно промолвил Махбуб. - Но нам не следует забывать о злых людях, живущих на этом свете. Да! - Поверх всей этой роскоши, от которой у восхищенного Кима захватило дух, он положил украшенный перламутром, никелевый автоматический револьвер калибра 450.»
Вот он, триумф геометрии - конечно, не только ее, но всё же!
В отличие от предыдущих задач, для решения которых приходилось тем или иным способом замерять углы, чтобы найти неизвестное расстояние, здесь измерение расстояний позволяет определить неизвестный угол.
Надо еще рассказать про землемерные цепи, которыми Киму в тот раз не пришлось воспользоваться - это еще одна забытая вещь.
Землемер с цепью и угломерным инструментом. Иллюстрация XVI века. https://www.geo-anse.com/geo/
У этого геометра цепь, наверное, довольно тяжелая. Рядом с ней «геометрический квадрат», под ногами у геометра мерный шест, а рядом футляр с колышками. http://blogs.bbk.ac.uk/mapping-museums/2017/11/13/surveying-museums-whats-whats/
Геометр производит съемку с использованием алидады. На первом плане можно видеть землемерную цепь. Иллюстрация 1751 г. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Planchette_0_1751.jpg
Упоминание об измерении расстояния цепями встречается еще у Герона Александрийского (I век до н.э.), но подробности неизвестны. Цепь меньше подвержена деформации, чем веревка, да и подрезать ее в мошеннических целях сложнее.
Цепь Гюнтера в сложенном виде. 1765. https://www.amphilsoc.org/blog/few-technical-items-questions-about-18th-century-surveying-instruments-answered-part-ii
В странах, где была принята английская система мер (дюймы, ярды, мили и т.д.), использовали так называемую цепь Гюнтера. Математик и астроном, профессор Оксфорда Эдмунд Гюнтер (1581-1626) (почему его фамилию Gunter пишут по-русски через «ю», не очень понятно) изобрел названную его именем цепь в 1620 году. Она оказалась очень удачной и вытеснила другие, менее удобные варианты. Цепь Гюнтера состоит из 100 звеньев, каждое длиной 7,92 дюйма. Длина всей цепи 66 футов, и она разделена на 4 части по 25 звеньев, каждая длиной пять с половиной ярдов или шестнадцать с половиной футов - это соответствуют еще одной единице длины, английскому мерному жезлу (rod, perche или pole = 198 дюймов). Границы частей для удобства подсчета звеньев отмечали каким-нибудь знаком - например, тот же Уильям Лейбурн, автор «Полного руководства по землемерию» рекомендовал отмечать границы частей лоскутками ткани ярких цветов. Количество звеньев и их размеры позволяли использовать традиционные английские меры длины в сочетании с десятичной системой, удобной для расчетов.
10 цепей Гюнтера = 1 фарлонг
80 цепей Гюнтера = 1 миля
10 квадратов цепи Гюнтера = 1 акр
Ален Манессон Малле в «Практической геометрии» (1702) сообщает французским читателям, что «цепи делаются из стали или из меди, с большими и малыми звеньями, и обычно бывают длиной в пять туазов. Цепь из мелких звеньев FG, обычно называемая цепочкой и помещаемая в кошель, делается из стали или из меди; она более не употребляется, поскольку ей свойственно запутываться и разрываться. Цепь из больших звеньев IL делается из стальных проволок длиной каждая в один фут, которые цепляются друг за друга загнутыми концами. Пользоваться цепью для измерения расстояний предпочтительнее, нежели шнуром, поскольку шнуру свойственно сокращаться во влажную погоду и удлиняться в сухую; предпочтительно даже пользоваться не цепью, а шестами, о которых мы скажем на следующей странице.» Шесты, о которых здесь говорится - это аналог английских «мерных жезлов».
Землемерные цепи, шнуры и отвесы. Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле «Практическая геометрия» (1702)
Шесты диаметром в один дюйм делали из твердого дерева (обычно ясеня); их длина составляла четыре, пять или шесть футов. Их можно было соединять между собой с помощью винтов и гаек, так что получалась тоже своего рода цепь - более жесткая, чем обычная металлическая, и поэтому пригодная, например, для непосредственного измерения ширины ручья. Но главным образом шесты использовали все-таки для нивелирования.
Землемерные шесты. Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле «Практическая геометрия» (1702)
Более современные французские землемерные цепи делались уже в метрической системе, длиной 10 м. Такие цепи применялись до 1980 года!
Французская землемерная цепь длиной 10 м. ХХ век. https://www.leblogantiquites.com/2014/07/chaine-arpenteur.html
В России при Петре I было предписано измерять расстояния стальной цепью длиной 30 саженей. Мера площади земельных участков - десятина - имела размер 30 х 80 саженей. По «Наставлению землемерам к государственному размежеванию земель» предписывалось при обходе участка измерять на поворотах углы и румбы астролябией, а длины отрезков - мерной цепью длиной 10 саженей. Такая цепь могла состоять из 100, 70 или 60 стальных звеньев, которые соединялись между собой кольцами или специальными металлическими четырехугольниками; четырехугольники для удобства подсчета нумеровали.
Землемерные цепи, применявшиеся в России. Насчет VIII века, конечно, опечатка - век как минимум XVIII. http://miigaik.ru/journal/archive/2017/3.pdf
При измерении расстояний с помощью землемерных цепей геометру нужен помощник, а еще лучше - два.
Иллюстрация из книги Уильяма Лейбурна. Здесь землемерную цепь таскают купидоны.
Помощник картографа держит вешки, а рядом с ним лежат колышки и землемерная цепь. Рисунок сделан в начале XIX века, масштаб уже в метрических единицах. https://www.amgenealogie.fr/genealogie/
Землемер за работой. Помощник с недовольным выражением лица держит колышки и цепь. Иллюстрация 1842 г. http://passerelles.bnf.fr/grand/pas_1746.htm
С.Т. Джилл. Землемеры (зарисовка из австралийского альбома) (1864). https://www.ngv.vic.gov.au/explore/collection/work/29440/
Измерения с помощью цепи. https://www.leblogantiquites.com/2014/07/chaine-arpenteur.html
Группа учащихся Школы сельскохозяйственного переобучения инвалидов войны в департаменте Арьеж (Франция). Обучение землемерному делу. На первом плане землемерная цепь. https://www.leblogantiquites.com/2014/07/chaine-arpenteur.html
Со временем вместо землемерных цепей стали использовать стальную мерную ленту. Забавно, что производство такой ленты было налажено в 1850-х годах в Англии для другого применения - лента шла на изготовление кринолинов для дамских платьев. Заодно стали выпускать мерные ленты и рулетки длиной 66 и 100 футов, но из-за высокой цены спрос на них был ограничен. Зато, когда через полтора десятка лет кринолины вышли из моды, нераспроданные запасы ленты пустили в продажу по сниженной цене, и землемеры стали ее покупать.
Стальные мерные ленты. http://miigaik.ru/journal/archive/2017/3.pdf
Стальная мерная лента потом тоже постепенно вышла из употребления, ее сменила мерная проволока и лента из специального сплава (инвар - 36% никеля), почти не меняющая размеры при изменениях температуры.
В 1916 г. землемеры используют мерную ленту из инвара. https://ecampusontario.pressbooks.pub/natureofgis/chapter/1-overview-4/
Но до Кима и его коллег эти новшества в 1890-х годах еще не дошли.
Этикетка от винтажной головоломки "Запутавшийся землемер". http://robspuzzlepage.com/frenchtng.htm
Сама головоломка - надо снять с цепи ключик. http://robspuzzlepage.com/frenchtng.htm
«Коричневая пуговка» в исполнении Юлия Кима https://www.youtube.com/watch?v=JUduyaprmbE&list=RDlW41_h5KrE8&index=6
Михаил Щербаков «Пускай» http://www.bard.ru.com/php/clip_clip.php?id=808.14