Триангуляция. Задача с видом на крепостную стену (задача дона Жуана)

[rinah_2]

У Макса Фриша есть пьеса с очень показательным названием «Дон Жуан, или Любовь к геометрии» (Max Frisch. Don Juan oder Die Liebe zur Geometrie).



Обложка русского издания 1970 г.

Целиком пьесу в русском переводе К. Богатырева можно прочитать и скачать вот здесь https://royallib.com/book/frish_maks/don_guan_ili_lyubov_k_geometrii.html

Есть хороший фильм-спектакль 1988 года с Игорем Скляром в главной роли - к сожалению, в записи удалось найти только первую часть :  https://www.youtube.com/watch?v=nxDr207MRqc

Герой в начале пьесы интересуется  вовсе не женщинами и даже не воинской славой и не придворной карьерой, а исключительно геометрией. Отец отправляет его в армию, и ему неожиданно для начальства удается выполнить опасное задание - измерить длину крепости Кордовы, которая находится в руках мавров. Начальство рассказывает об этом его отцу Тенорио:

Дон Гонсало. Не буду отрицать, отец Тенорио, его улыбки выводили меня из себя. И уж вовсе непостижимо, как ему удалось выполнить мой приказ, когда я послал его в Кордову измерить длину вражеской крепости. Я не думал, что он отважится. Мне просто хотелось, чтобы у него пропала охота улыбаться и чтобы он, наконец, воспринял меня всерьез. На следующее утро я глазам своим не поверил: он целым и невредимым вошел в мой шатер с бумагой в руке. В ней черным по белому было сказано: длина крепости - девятьсот сорок два фута.

Тенорио.  Как он это сделал?



Дон Гонсало. "Дон Жуан Тенорио, - сказал я и обнял его на глазах у всех офицеров, не способных на подобный подвиг. - Прежде я недостаточно ценил тебя, но с этой минуты объявляю тебя своим сыном, женихом моей Анны, кавалером испанского Креста и героем Кордовы".

Тенорио. Как же все-таки ему это удалось?

Дон Гонсало. Я тоже его спросил.

Тенорио. Что же он ответил?

Дон Гонсало. Улыбнулся - и только.



Альфред Ретель (1816-1859). Битва за Кордову (1849). Крепость чуть-чуть видна на заднем плане. https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Alfred_Rethel_-_The_Battle_of_Cordoba_-_Google_Art_Project.jpg

Мы, конечно, догадываемся, что дону Жуану помогла геометрия. Он сам это подтверждает в беседе с другом:

Дон Родериго. Вся Севилья только и говорит о твоем мужестве.

Дон Жуан. Я знаю, они всерьез поверили, что я подкрался к Кордове, чтобы обмерить крепость, и что рисковал жизнью ради их крестового похода.

Дон Родериго. Разве ты не делал этого?

Дон Жуан. За кого ты меня принимаешь?

Дон Родериго. Не понимаю...

Дон Жуан. Геометрия для начинающих, Родериго. Но даже если я это начерчу на песке, они все равно ничего не поймут, эти господа.

Все-таки попробуем начертить и понять.

Итак, задача дона Жуана: измерить «длину вражеской крепости» (длину крепостной стены), не подходя к ней. Заметим, кстати, что в тексте пьесы начальник, которого дон Жуан уже достал своими улыбочками, дает ему не просто невыполнимое, но и откровенно бесполезное задание, которое в фильме-спектакле 1988 года заменили на гораздо более осмысленное «произвести промеры всех неприятельских укреплений» (в записи это примерно на шестнадцатой минуте). «Промеры всех укреплений» будут у нас в следующей задаче, а пока все-таки ограничимся «длиной крепости», как в тексте у Макса Фриша.

И не будем забывать, что Кордову кастильцы отбили у мавров в 1236 году, так что на дворе первая половина XIII века. Понятно, что историчность у Макса Фриша более чем условна - и нравы в пьесе совсем не средневековые, и дон Жуан фигура гораздо более поздняя, да и никакой необходимости что-то там измерять вообще не было, поскольку в реальности у короля Фердинанда имелись союзники в самой Кордове, и все подробности о тамошних укреплениях были хорошо известны - но все-таки способы решения задачи должны быть такие, которые могли применяться (не обязательно применялись, но могли!) в XIII веке.

Проще всего было бы, конечно, встать «ровно напротив» одного края стены и идти параллельно стене, считая шаги, пока не окажешься «ровно напротив» другого края - но как проверить, действительно ли движение начинается и заканчивается «ровно напротив» нужных точек и действительно ли траектория движения параллельна стене? Пройденное расстояние может оказаться не равным длине стены. Придется все-таки заняться практической геометрией.

Ален Манессон Малле в «Практической геометрии» (1702) рекомендует использовать для выстраивания прямого угла между направлением на объект и направлением движения довольно простой прибор, аналог которого - так называемая грома - был известен еще древним римлянам. Тем не менее, «ровно напротив» остается понятием довольно приблизительным, и чем дальше наблюдатель находится от объекта, тем большую погрешность приносит даже небольшое угловое отклонение.



Измерение расстояния между двумя недоступными объектами (статуями на крыше здания). Ален Манессон Малле «Практическая геометрия» (1702)

Похожую геометрическую задачу описывает Я.И. Перельман в книге «Занимательная геометрия», и решение предлагается вполне доступное.



Я.И. Перельман «Занимательная геометрия». Издание седьмое, переработанное. Под редакцией и с дополнениями Б.А. Кордемского. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.



Я.И. Перельман «Занимательная геометрия». Издание седьмое, переработанное. Под редакцией и с дополнениями Б.А. Кордемского. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

Задача действительно решается простыми средствами, но есть одно «но». Дело происходит во время осады, в Кордове мавры, и среди защитников крепости наверняка найдутся квалифицированные лучники, да и группу захвата оттуда могут выслать, если наш геометр станет расхаживать на расстоянии 150-200 метров от стены со своими вешками. Надо поискать другие варианты.

Если есть возможность достаточно точно измерить расстояние до недоступного объекта и есть возможность строить на местности перпендикуляры, то задачу можно решить, как показано на чертеже. Прямоугольные треугольники СFD и АЕВ одинаковы, и расстояние СF как раз и равно длине стены. Не обязательно начинать измерения «ровно напротив» точки А; главное - обеспечить прямой угол между АС и СD, а потом между СD и DВ. Расстояние до стены при этом может быть довольно большим.



Подходящая стена нашлась в Тунисе - на картинке изображена стена касбы (крепости) в городе Сусс, построенной предположительно в 1063 году (фото https://www.tgt.ru/menu-ver/encyclopedia/tourism/countries/dostoprimechatelnosti/dostoprimechatelnosti_892.html). В Кордове было что-то похожее.

Каким же способом дон Жуан мог измерить расстояние до стены, не приближаясь к ней? В пьесе упоминается, что он читает арабскую книгу - ну что ж, тогда он вполне мог узнать о достижениях древних греков, которые в средневековой Европе были забыты, но сохранились в переводах и пересказах арабских авторов. Считается, что методы измерений, которые потом лягут в основу геодезической съемки, описал в своих трудах Абуль-Касим Маслама ибн Ахмад аль-Куртуби аль-Маджрити, живший в Х веке как раз в Кордовском халифате (аль-Куртуби - это «кордовец», а аль-Маджрити - «мадридец», он родился в Мадриде) - выдающийся математик своего времени, а также астроном, экономист, алхимик и пр. Он участвовал в переводе с греческого сочинений Птолемея, так что с греческой геометрией наверняка был знаком.

Древние греки умели определять расстояние до недоступного объекта; считается, что Фалес Милетский в VI до н.э. первым определил расстояние до корабля в море (и это еще далеко не самое знаменитое из его достижений!).

Расстояние от берега до корабля (самый простой вариант - когда корабль находится не слишком далеко от берега)

Исходная точка (первая вешка) расположена так, чтобы направление на корабль было перпендикулярно берегу. Из этой точки идем вдоль берега на некоторое расстояние а (не слишком маленькое, иначе будет большая погрешность) и ставим вторую вешку. От второй вешки проходим дальше на такое же расстояние а и ставим третью вешку. От нее поворачиваем под прямым углом и идем прочь от моря, все время оглядываясь на вторую вешку - нужно поймать момент, когда она будет видна в створе с кораблем. Вот тут и будет наша четвертая вешка. В результате получилось два одинаковых треугольника, один в море, другой на суше. Расстояние между третьей и четвертой вешками как раз и равно расстоянию от берега до корабля.



Определение расстояния до корабля в море - рисунок с сайта Музея древнегреческих технологий http://kotsanas.com/gb/exh.php?exhibit=2301001

Расстояние от берега до корабля, находящегося далеко

Начинаем опять с первой вешки, расположенной на берегу напротив корабля, и идем вдоль берега на произвольное расстояние, например, сто шагов. Там ставим вторую вешку и от нее в том же направлении проходим, например, одну десятую этого расстояния, то есть десять шагов. Ставим третью вешку, поворачиваем под прямым углом и опять, как в прошлой задаче, идем прочь от моря, оглядываясь на вешку номер два. Когда вешка номер два видна в створе с кораблем, ставим вешку номер четыре. Теперь у нас получились не одинаковые треугольники, а подобные, с коэффициентом подобия, равным 10. Соответственно, расстояние до корабля будет в 10 раз больше расстояния между третьей и четвертой вешками.



Определение расстояния до более далекого корабля - рисунок с сайта Музея древнегреческих технологий http://kotsanas.com/gb/exh.php?exhibit=2301002

Но чем дальше объект, тем более обширная нужна площадка, чтобы расставлять там вешки и измерять расстояния между ними - размеры площадки при использовании этого метода имеют тот же порядок величины, что и измеряемое расстояние, иначе хорошей точности не получится. Если принять расстояние до корабля 100 метров, то площадка для измерений на берегу должна быть шириной, судя по рисунку, не меньше 40 метров. Оставаться от крепости на безопасном расстоянии не получится.

В латинском сочинении Геммы Фризиуса De locorum describendorum ratione, deque distantijs eorum inueniendis (о нем упоминалось в прошлой задаче) предлагается метод, который тоже требует довольно просторной площадки, но все-таки существенно меньше, чем у древних греков. Гемма Фризиус жил не в XIII веке, а в XVI, но метод основан, как и у древних греков, на подобии треугольников и не требует никакого сложного оборудования, так что дон Жуан вполне мог им воспользоваться. Если уж он читал по-арабски, то латынь знал наверняка.

Текст и чертеж из антверпенского издания 1564 года.

В предыдущей главе мы сказали, как надлежит описывать карту по расстояниям до разных мест. Учитывая, что для этого дела во всех отношениях важно узнать верное расстояние, мне представляется уместным теперь добавить то, что у меня есть об этом искусстве. Итак, если видна башня какого-нибудь города и ты желаешь найти расстояние до нее, то ты можешь это исполнить почти без всякого математического инструмента. Итак, выбери себе некую просторную площадку, по которой ты мог бы ходить туда и обратно в разные стороны. Если площадка неровная, это не столь важно. Пройди сначала из твоего места по направлению к башне на некоторое расстояние, к примеру на 100 или 200 футов, и поставив там прямо какую-нибудь веху, которую можно хорошо видеть издалека, от нее отойди в ту или другую сторону под прямым углом от первого направления на определенное расстояние, 50 или 100 футов соответственно, и в том месте поставь прямо какую-нибудь веху. Сделав это, вернись к первой вехе и от нее отойди назад на то расстояние, которое было взято для примера, таким образом, чтобы первая веха была прямо в виду между тобой и башней; там поставивши третью веху, отходи под прямым углом в сторону (в ту же, что и прежде) до тех пор, пока вторая веха не окажется прямо в виду между тобой и башней, которую ты измеряешь.



Чертеж из работы Геммы Фризиуса

Теперь измерь либо в футах, либо какой-нибудь иной мерой расстояние от первой вехи до второй, которое называется первое расстояние. Так же и расстояние от третьей вехи до первой, которое называется второе расстояние; наконец, промежуток между третьей и четвертой, который есть третье расстояние. Вычти первое из третьего; остаток будет делителем; потом умножь третье расстояние на второе и произведение раздели на делитель: то, что получится таким способом из деления, покажет тебе вернейшее расстояние от третьей вехи до башни.

Для пояснения чего смотри следующий рисунок, где а обозначает башню, b первую веху, с вторую веху, отстоящую под прямым углом от первой на 30 футов, d третью веху, отстоящую по прямой линии назад на 40 футов, е четвертую веху, находящуюся в стороне на прямой линии с второй вехой и башней и отстоящую от третьей на 36 футов. Вычитаю 30 из 36, остаются 6; с другой стороны, умноженные друг на друга 40 и 36 дают 1440; это произведение делю на 6, что дает 240 футов, это и есть расстояние между d и башней а.

Если кто попросит от меня доказательства этого, требующего Математики, то я его имею наготове, однако здесь прибавлять не буду, ибо это место требует не доказательства, но поучения.

***

Как видно из чертежа, при расстоянии до башни 240 футов наблюдателю для измерений хватит площадки размером 40 на 40 футов - то есть, имея площадку размером 40 на 40 метров, наш геометр сможет производить свои измерения на относительно безопасном расстоянии в 240 метров от крепости. Удачливый лучник, конечно, может и попасть, но шансы выжить уже больше.

Теперь можно вернуться к чертежу с крепостью, измерить расстояния d1 и d2, отложить их разность от точки D, поставить там вешку F и померять шагами или любым другим способом расстояние CF - это и будет длина стены.

Но у найденного решения есть существенный недостаток: вся эта ходьба туда-сюда с вешками, построение перпендикуляров, многократное определение нужных точек требует длительного времени. Ночью этим заниматься невозможно, а между тем дон Жуан явился к начальству с результатами «на следующее утро»! То есть у него явно был в запасе другой способ, позволяющий измерять расстояния быстрее. Такой способ действительно существует, и соответствующее приспособление можно даже изготовить самому в полевых условиях, хотя лучше, конечно, заказать в мастерской у столяра. Впервые эта штука была описана в XIV веке, на столетие позже взятия Кордовы, но не будем придираться.

Речь идет о так называемом «посохе Иакова», который представляет собой прямой длинный стержень, обычно квадратного сечения, по которому скользит надетая на него поперечная планка-бегунок. С виду это несколько напоминает арбалет. Чем больше размер устройства, тем точнее будут измерения, но слишком большую и тяжелую конструкцию трудно удерживать на весу, поэтому самые крупные образцы были в длину чуть больше метра.

Подробности о «посохе Иакова» вот здесь - вещь совершенно гениальная.



Принцип измерения расстояния (в данном случае расстояния между угловыми башнями крепости) с помощью посоха Иакова. "Маленькие" равнобедренные треугольники, основанием которых является бегунок прибора, подобны "большим", основанием которых является стена крепости. И в больших, и в маленьких треугольниках разность высот равна длине общего основания.

Дону Жуану нужно было выставить бегунок на вторую отметку, встать примерно против середины измеряемой стены и, перемещаясь вперед и назад (без этого никак!), найти точку, из которой башни по краям стены видны как раз по краям бегунка. Дальше, отметив это место вешкой, надо было пятиться назад, пока не найдется место, из которого башни по краям стены опять будут видны по краям планки, и это место тоже отметить вешкой. Расстояние между вешками равно расстоянию между башнями. Вуаля. Можно записать результат на бумажке и идти к начальству.

Мало того, что требуется только два определения положения + одно непосредственное измерение, а вычислений никаких так и вовсе не нужно, но ведь еще и работать можно в комфортных условиях - если длина крепости оказалась равной 942 футам (положим для простоты 300 метров), то дону Жуану не пришлось приближаться к объекту ближе чем на 600 метров!

Неудивительно, что посох Иакова использовался потом землемерами чуть ли не до XIX века - бывают, бывают ситуации, в которых особенная точность не слишком нужна, а вот простота, быстрота и надежность просто бесценны.

Напоследок красивое: иллюстрации из «Практической геометрии» Алена Манессона Малле (1702), представляющие разные методы измерения расстояний. Посоху Иакова там посвящена отдельная глава, но это в отдельном посте из серии «Забытые вещи».



Разные виды измерений, основанные на использовании свойств треугольников



Измерение расстояния (ширины реки) с использованием складного ножика - ставим ручку вертикально с опорой на вешку, направляем лезвие на другой берег, фиксируем угол, потом поворачиваем ножик на 90 градусов и строим такой же треугольник уже на берегу, чтобы измерить его основание. Для больших расстояний не годится.



Измерение расстояний с помощью угломерного инструмента (две стороны треугольника можно измерить непосредственно, а третья определяется после измерения угла). Измеряют здесь расстояние между углами рва, окружающего парижский Дом Инвалидов - в 1702 году он еще находился за пределами города, в окружении полей и огородов!



Измерение расстояний с помощью угломерного инструмента (одну сторону треугольника можно измерить непосредственно, а две другие определяются после измерения углов)



Измерение расстояний с помощью угломерного инструмента (после измерения углов надо сделать чертеж в масштабе, и уже на чертеже измерить искомые расстояния до башен на островах)



Измерение расстояний с помощью угломерного инструмента (расстояние между станциями измеряется непосредственно, а после измерения углов надо сделать чертеж в масштабе, и уже на чертеже измерить искомое расстояние между краями фасада или между башнями на островах)



Измерение расстояния с помощью «геометрического квадрата». В книге Перельмана описано применение аналогичного квадрата с градуировкой по краям для определения высоты деревьев в лесном хозяйстве.



Измерение расстояния с помощью «геометрического квадрата»



Измерение расстояния с помощью астролябии. Это гораздо более точный инструмент, чем складной ножик.

И еще чуть-чуть кордовской стены



Антонио Паломино. Завоевание Кордовы Фердинандом III Святым. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Capilla_de_Santa_Teresa,_Mezquita_de_C%C3%B3rdoba_003_(cropped).jpg. Справа виден небольшой участок крепостной стены с башней. От этих стен и башен там кое-что уцелело до сих пор.