Забытые вещи - 25. Посох Иакова, подобные треугольники и измерения на вольном воздухе
Среди разных приспособлений, которыми пользовались геометры-практики (то есть, говоря по-русски, землемеры) до изобретения лазерных дальномеров, аэрофотосъемки и систем GPS, обнаружилась одна абсолютно гениальная вещь, невероятно простая по устройству и принципу действия. В отличие от астролябии, секстанта и теодолита (о которых неоднократно случалось читать в книгах, пусть даже и не вникая в подробности), эта штука мне раньше нигде не попадалась ни в тексте, ни на картинках. Называется она на многих языках «посох Иакова» (по-русски, по крайней мере, в советское время писали «посох Якова» - видимо, чтобы исключить нежелательные библейские ассоциации): Jacob’s staff, baton de Jacob, Jacobsstaab, vara de Jacob, palo de Jacob, báculo de Jacob, bastone di Giacobbe, laska Jakuba, מטה יעקב. Другие названия можно приблизительно перевести как «крестовина» - cross-staff, Kreuzstab, cruz geométrica - или, по ассоциации, «арбалет» - arbalesta, balestilla, balestilha, balestriglia.
На арбалет действительно похоже, особенно когда используется для измерения расстояний и высот, а не углов между небесными объектами.
Измерения углов и высоты с помощью посоха Иакова. Иллюстрация из книги Петера Апиана. Apianus, Introductio geographica, 1532. https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Jakobsstab-2.jpg
«Посох Иакова» первым описал в XIV веке еврейский ученый Леви бен Гершом (1288-1344), который жил в Провансе и занимался, как это тогда бывало, науками в довольно широком понимании - от комментариев к Талмуду и религиозной философии до физики с математикой и астрономии с астрологией. Изобретателем был, по всей вероятности, его старший современник Яаков бен-Махир ибн-Тиббон (1236-1304), который тоже был не только астрономом, но и врачом и даже профессором медицинского факультета в Монпелье. Леви бен Гершом называл этот прибор megalle ‘amuqqot - «открывающий глубокое»; название «посох Иакова» появилось не у евреев, а у христиан, и его связывают то с библейским патриархом Иаковом, то с посохом паломника, направляющегося к могиле святого Иакова в Сантьяго де Компостела.
Первоначально посох Иакова предназначался для измерения угловых расстояний между небесными телами. Ему довольно быстро нашли применение в навигации (предполагают, что им пользовались Христофор Колумб и Васко да Гама). Наблюдатель двигает поперечную планку-бегунок вдоль стержня, пока она не окажется для него расположена между нужными двумя точками на небосводе, а затем считывает показания со шкалы на стержне и после некоторых вычислений (или с помощью справочных таблиц) находит искомый угол. Можно сразу градуировать шкалу так, чтобы считывать показания в градусах.
Иллюстрация из книги Pedro Medina «Regimento de Navegacion», 1563. Навигатор определяет высоту Полярной звезды. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Balestilha-pedro-medina-1563.jpg
Как этой штукой пользоваться для измерения углов (но не для измерения расстояний и высот!), можно прочитать у нашего замечательного Якова Исидоровича Перельмана в книге «Занимательная геометрия» (в первом издании она называлась еще лучше: «Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома»).
Я.И. Перельман «Занимательная геометрия». Издание седьмое, переработанное. Под редакцией и с дополнениями Б.А. Кордемского. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
Я.И. Перельман «Занимательная геометрия». Издание седьмое, переработанное. Под редакцией и с дополнениями Б.А. Кордемского. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
Со временем конструкцию усовершенствовали, сделали несколько сменных поперечных планок и несколько шкал на разных гранях стержня, чтобы более точно измерять и большие, и малые углы. Усовершенствованный посох Иакова продержался на флоте до XVIII века, пока не был окончательно вытеснен более точным секстантом.
Посох Иакова XVII века. Landesmuseum Württemberg, Stuttgart. https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Jakobsstab_1rhb.jpg
Моряк с посохом Иакова. Неизвестный автор, 1750. New Bedford Whaling Museum. https://www2.humboldt.edu/scimus/MedInst_rap/X_Staff/X-Staff_Painting.htm
Не очень понятно, придумал ли изобретатель сразу еще и упрощенный вариант для землемерных работ или же до него додумались потом, но получилось гениально. В отличие от навигационного, землемерный посох Иакова может вовсе не иметь никакой шкалы; важно только соотношение размеров стержня и поперечной планки.
Вот как описывает конструкцию Ален Манессон Малле во втором томе «Практической геометрии» (1702):
«Здесь уместно сообщить, что флотские офицеры именуют иногда посохом Иакова Арбалесту (А), состоящую из длинного стержня или бруска о четырех гранях, на которые нанесены различные шкалы, и трех бегунков или «молотков» разной величины; она служит в море для измерения высоты звезд… Но тот инструмент, который геометры называют посохом Иакова и который служит предметом этой главы, состоит только из длинного стержня или ствола квадратного сечения ВС, и одного бегунка или «молотка» DE.
Такой посох Иакова делается из кизилового, грушевого или эбенового дерева, поскольку эти виды древесины имеют очень мало прожилок; это позволяет бегунку легко перемещаться вдоль стержня.
Ствол или стержень посоха Иакова обычно делится на четыре равные части, как на рисунке М, или на пять, как на рисунке L, и имеет чаще всего в длину от трех до четырех футов; бывают, впрочем, и доходящие до пяти футов в длину.
Бегунок или «молоток» посоха Иакова в середине имеет квадратное отверстие, довольно плотно охватывающее стержень, а внутри вделана небольшая пружинка, чтобы удобнее было останавливаться в том месте, где его хотят установить. Для измерения расстояний бегунок должен быть такой же длины, как одна из четырех или пяти частей, на которые разделен стержень; когда же нужен бегунок для измерения высоты, следует добавить половину толщины стержня том конце бегунка, который используется для измерения высоты, как это можно видеть на бегунке FG посоха Иакова НI.
Иногда для удобства прицеливания вдоль стержня посоха Иакова вырезают еще четыре окошка вокруг отверстия в середине бегунка - пример К. Наконец, чтобы удобно было использовать его в поле, его устанавливают на подставку Математического инструмента, как это показано на рисунке L.»
Устройство посоха Иакова. Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле «Практическая геометрия», Париж, 1702. Верху изображен навигационный посох Иакова с тремя сменными бегунками (А), а ниже - два землемерных, один поменьше, на три деления (четыре отрезка), а другой побольше, на четыре деления (пять отрезков). Большой установлен на треногу.
Принцип измерения расстояний и высот с помощью посоха Иакова очень прост. Если установить бегунок на второй отметке, его концы и конец стержня образуют равнобедренный треугольник А1ВС с основанием а и высотой 2а. Если установить бегунок на третьей отметке, то получится равнобедренный треугольник А2ВС с тем же основанием а и выстой 3а. Тот есть разность высот этих треугольников равна длине их общего основания. Если построить на местности треугольники, подобные этим, то можно будет измерить разницу высот и по ней определить, например, длину основания, которое находится где-то далеко.
Принцип измерения расстояния (в данном случае расстояния между угловыми башнями крепости) с помощью посоха Иакова. "Маленькие" равнобедренные треугольники, основанием которых является бегунок прибора, подобны "большим", основанием которых является стена крепости. И в больших, и в маленьких треугольниках разность высот равна длине общего основания.
Ну а теперь выходим с посохом Иакова «на вольный воздух» производить измерения. Ален Манессон Малле дает подробные указания и примеры, как это следует делать. Первый раздел привожу целиком, а остальные два без описания примеров.
Измерение расстояния между двумя объектами, один из которых доступен.
Правило. Следует сначала поместить бегунок на второе деление посоха Иакова, затем воткнуть в землю колышек возле доступного объекта и на этот колышек поместить конец стержня, а потом прицелиться вдоль стержня так, чтобы была видна какая-то точка недоступного объекта, и разглядеть против концов бегунка две другие точки, одну справа, другую слева, на той же линии, что и та первая недоступная точка. Заметивши эти точки, приступать к следующему.
Надо передвинуть бегунок на третье деление стержня и затем отходить от первой станции назад по прямой линии, соединяющей эту станцию с недоступной точкой - таким образом, чтобы, глядя с того же конца стержня, можно было увидеть колышек и недоступную точку, а по концам бегунка в то же время две замеченные точки справа и слева от той недоступной точки; расстояние от этой последней станции до колышка возле доступного объекта составит половину расстояния между двумя объектами.
Пример. Надо узнать ширину реки от спуска с доступного берега А до подъема на недоступный берег В.
Прежде всего установим бегунок на второе деление стержня MN, как на рисунке Н. Затем на берегу А поставим колышек, на который поместим конец М посоха Иакова таким образом, чтобы прицеливаясь от этого конца М вдоль стержня MN, увидеть точку В на недоступном объекте, а против концов бегунка C и D - две точки E и F, находящиеся на одной линии с точкой В. Заметивши эти точки, приступим к следующему.
Передвинем бегунок на третье деление стержня, как на рисунке G, и будем отходить от достижимого объекта А назад по прямой, пока при прицеливании с того же конца стержня М вдоль линии MN и против концов бегунка C и D не будут видны недоступная точка В и другие две E и F. В этом месте будет вторая станция К, и удвоенное расстояние КА даст нам ширину реки от А до В, то есть, если от К до А 30 туазов, то от А до В будет 60 туазов.
Измерение ширины реки, к берегу которой можно подойти. Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле «Практическая геометрия», Париж, 1702. Полевые занятия проводятся возле замка Шамбор, соответственно, река на картинке - Луара.
Измерения расстояния между недоступными объектами
Правило. Следует поместить бегунок на второе деление посоха Иакова. Затем следует расположиться примерно посередине между двумя недоступными объектами так, чтобы при прицеливании были видны от конца посоха против двух концов бегунка (который располагается параллельно линии между объектами) оба недоступных объекта; в том месте, где это наблюдается, воткнуть в землю колышек первой станции.
Затем, передвинув бегунок на третье деление стержня, следует отходить от первой станции назад, прицеливаясь на колышек, установленный на первой станции), пока против двух концов бегунка не станут видны оба недоступных объекта, и в том месте, где это будет наблюдаться, поставить колышек второй станции; расстояние между станциями будет равно расстоянию между двумя недоступными объектами.
Измерение расстояния между мельницей и башней, находящимися на другой стороне рва. Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле «Практическая геометрия», Париж, 1702.
Измерение высот объектов, как доступных, так и недоступных.
Правило. Следует поместить бегунок на второе деление посоха Иакова. Затем, расположив стержень горизонтально, а бегунок перпендикулярно горизонту, следует двигаться вперед и назад, прицеливаясь от конца посоха, пока против концов бегунка не будут видны одновременно подножие и вершина объекта, высоту которого надо узнать. В точке, где это наблюдается, надо поставить колышек такой высоты, на которой держали в горизонтальном положении стержень посоха.
Затем надо передвинуть бегунок на третье деление стержня и опять, то отходя, то приближаясь, как на первой станции, и все время держа стержень горизонтально, прицелиться так, чтобы против концов бегунка были видны одновременно подножие и вершина объекта, и на этой станции поставить колышек; расстояние между двумя колышками будет равно высоте объекта.
Предупреждение
Таким способом можно измерять только небольшие высоты, по причине того, что Геометр должен находиться против середины той высоты, которую он измеряет.
Измерение высоты башни. Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле «Практическая геометрия», Париж, 1702.
Есть еще хитрый способ измерить расстояние между двумя недоступными объектами, никуда при этом не перемещаясь. Но для этого нужно, во-первых, знать расстояние от точки наблюдения до линии, соединяющей эти недоступные объекты, а во-вторых, иметь не самый простой посох Иакова, а чуть более сложный, с линейной шкалой на стержне. Именно такое измерение производит, судя по всему, геометр на картинке из иллюстрированной энциклопедии Яна Амоса Коменского (Sensualium Pictus: Hoc est: Omnium fundamentalium in mondo rerum, & in vita actionum, Pictura & Nomenclatura. Noribergæ, 1698) - иначе ему пришлось бы выйти из дома на открытое пространство. Его коллега снаружи занят измерением высоты с помощью другого прибора - «четверти круга» или квадранта.
Геометр измеряет расстояние между горой (4) и чем-то еще с помощью посоха Иакова (6). Joh. Amos Comenii Orbis Sensualium Pictus: Hoc est: Omnium fundamentalium in mondo rerum, & in vita actionum, Pictura & Nomenclatura. Noribergæ, 1698 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/comenius1698
У Алена Манессона Малле и про это рассказано. Под «правилом трех» имеется в виду пропорция; деление, судя по записи на картинке, производилось тогда не привычным нам способом «в столбик», а как-то по-другому - эту загадку оставим до другого раза.
Способ измерения с помощью Посоха Иакова и Арифметики длин отрезков, у которых доступна середина.
Правило. Следует расположиться против середины измеряемого отрезка и измерить расстояние при помощи посоха Иакова, обозначенного М на стр. 184; при этом стержень и бегунок должны располагаться горизонтально, и против двух концов бегунка (который должен быть параллелен линии между двумя объектами, расстояние между которыми мы хотим измерить) должны быть видны оба объекта; это достигается приближением или удалением бегунка от глаза наблюдателя. Надо посчитать, сколько мелких делений помещается на стержне между его концом, от которого производилось прицеливание, и тем положением, в котором был остановлен бегунок. Затем надо измерить расстояние от станции, с которой производилось прицеливание на два объекта, до середины линии между двумя объектами. И наконец, следует применить «правило трех», в котором первым членом будет число мелких делений до того положения, где был остановлен бегунок, вторым - число туазов от станции до середины линии между объектами, третьим - 30, то есть длина бегунка; тогда частное даст искомую длину.
Пример. Надо узнать расстояние от форта А до дома В.
Следуя приведенному выше правилу, расположимся на станции К против середины отрезка АВ, и расположим посох Иакова таким образом, чтобы его стержень MN и бегунок CD были параллельны горизонту, а от конца стержня М против концов бегунка CD были видны оба объекта А и В - для этого двигая вперед и назад бегунок; в этом примере бегунок будет на шестидесятом делении.
Затем измерим расстояние от станции К до точки L (которая находится посередине между А и В); оно составит 450 туазов. Теперь составим «правило трех», где первым членом будет 60, число делений на стержне до остановки бегунка, вторым - 450, число туазов от станции К до середины L между объектами А и В, третьим - 30, длина бегунка; частное даст 225 - число туазов от форта А до дома В.
Измерение расстояния с помощью градуированного посоха Иакова. Иллюстрация из книги Алена Манессона Малле «Практическая геометрия», Париж, 1702.
Ну и напоследок еще картинки. На первой с посохом Иакова изображен знаменитый геометр и астроном древности Клавдий Птолемей (II век до н.э.) - это, конечно, анахронизм, особенно учитывая арабские цифры на шкале. Прибор у него в руках очень похож на те образцы, которые можно сделать самому - описание есть у Перельмана, и в конце будет еще ссылка на современный ресурс на английском.
С посохом Иакова изображен знаменитый геометр и астроном древности Клавдий Птолемей (II век до н.э.) - это, конечно, анахронизм, особенно учитывая арабские цифры на шкале. https://www.ck12.org/book/physics-from-stargazers-to-starships/section/13.0/
Еще одна «неправильная» картинка. Три бегунка сразу наблюдателю будут только мешать - надо оставить только один, который лучше всего подходит для конкретной задачи.
Старинная иллюстрация https://projects.iq.harvard.edu/predictionx/cross_staff
Вот здесь все точно.
Иллюстрация из «Практической навигации» Джона Селлерса, 1672. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jacobstaff.JPG
Вот здесь есть инструкция (на английском языке), как сделать посох Иакова из подручных материалов. Материалы перечислены: несколько линеек разного размера, канцелярская линейка поменьше, картонная коробка от хлопьев, плотная бумага, канцелярские резинки и скрепки. Понадобятся еще ножницы и степлер.
Вот здесь видео на английском языке, как раз с самодельным инструментом
Здесь еще один самодельный инструмент - видео на каталанском (?) с английскими субтитрами
Здесь видео (тоже на английском) про навигационный посох Иакова
Спасибо gallica.bnf.fr, archive.org и всем-всем-всем учреждениям, ассоциациям и частным лицам, которые сканируют и выкладывают в общий доступ старинные книги!