Открытие логики: философия и математика
Начало
Что же такое философия?
В чём смысл философии?
Любовь к мудрости
Что такое истинное знание?
Три вида знания
Мир вокруг нас
Носки Локка
Беркли, Гилас и Филонус
Беркли, Гилас, Филонус и Эйнштейн
Фалес пачкает руки
Время
Пространство
Исследуем пространство силой воображения
Дарвинизм и философия
Наведение порядока в беспорядочном мире
Свободная воля и детерминизм
Греческая философия поднялась на крыльях математики, и математика продолжает восхищать философов, и не только благодаря успехам логиков в сокращении человеческих мыслей до символических значков. Пифагор учил, что всё обучение - в конечном счёте о числах, а "Элементы" Евклида, в которых он приводит ряд определений и аксиом, чтобы показать богатство геометрии, на тысячу лет стали сияющим образцом чистого знания, столь желанного философам.
Сейчас мы знаем, что евклидова геометрия - это только один из вариантов геометрии. Математические понятия уже не кажутся незыблемыми как раньше. Философы, интересующиеся математикой, например, Анри Пуанкаре сделал вывод, что не только возможны разные геометрии, но что они взаимно несовместимы, а выбор между ними - это вопрос договорённостей.
Греческое слово "аксиома" дословно означает "достойное уважения", и аксиомы кажутся такими. Логические, математические и философские аргументы в конечном счёте опираются на определённые допущения, без которых они бы не могли существовать. К несчастью, эти допущения часто не являются чем-то незыблемым.
Рассмотрим для примера числа. Что за странные вещи? Вы не можете их потрогать, увидеть или тем более съесть... Кажется, что что первыми числами, которые люди записали, были натуральные числа I, II, III, IIII, IIIII, происходящие от кучки гальки (calculus) или от зарубок на палочках, лишь позже получившие арабское написание 1, 2, 3... и т.д.. Натуральные числа очень практичны и полезны для записи того, сколько у вас овец, или для подсчёта числа полей и зданий. Египтяне и вавилонцы вскоре усложнили положение, решив, что им нужны дроби, которые относятся к рациональным числам. Неизбежным последствием введения дробей стало открытие Пифагором и его последователями иррациональных чисел. Это числа, которые вы не можете выразить ни обычной дробью, ни десятичной, сколько бы вы ни считали, типа корня квадратного из двойки. Легенда гласит, что одного ученика Пифагора утопили за открытие таких неправильных чисел к ужасу публики.
Математика не смогла бы развиваться дальше без изобретения нуля - довольно странного числа. Примерно в седьмом веке индийские математики придумали ноль и правила его использования, а через некоторое время благодаря этому стало возможным работать с отрицательными и даже мнимыми числами. Ньютон и Лейбниц ввели в обиход числа столь малые, что их нельзя выразить (бесконечно малые), для создания дифференциального и интегрального исчисления. Благодаря работам Георга Кантора бесконечные разделились на счётные и несчётные множества.
Большинство парадоксов Зенона и достаточно большая часть философии пространства и времени включает в себя теорию чисел. И так же, как Зенон бросил вызов мнениям своего времени парадоксами движения, большинство ортодоксальных современных философов и математиков опираются на определённые соглашения, которые противоречат тому, как большинство людей привыкли думать. Например, в математике количество точек на прямой не зависит от её длины. В физике движение - это сложная смесь трёх понятий: положения, времени и места, точный рецепт которой до сих пор ещё не установлен.