Сакральная математика

[lex_kravetski]

Мне иногда кажется, что математика в представлении ряда математиков это что-то типа религиозного учения. Прям по всем пунктам: и тебе особая склонность к введению в рассмотрение непознаваемого по построению с последующим его гипотетическим описанием; и тебе постоянные требования формального повторения формальных же рассуждений; и тебе любовь к

Comments

[vlkamov]

> текст на жёстком диске хранится в виде уникальной последовательности чисел, а
> потому мы уже можем быть прямо вот совсем-совсем уверены, что каждому конечному
> тексту можно сопоставить число?
> ...
> 99% выпускников даже не подозревают

Мне всегда казалось это само собой разумеющимся. Может потому преподаватели забывают сообщить это учащимся.

[lex_kravetski]

Ну вот как-то это уживается в голове: с одной стороны, все знают, что любые тексты можно сохранять на диске, с другой стороны, изрядная часть людей со вроде бы высшим образованием одновременно с тем считает, будто бы нет никакой гарантии, что любой конечный текст можно считать числом.

[av_mamzikov]

Насколько я понимаю, строгое доказательство - это всё-такие не тоже самое, что просто знать, что это можно делать. Вдруг теоретически может существовать какой-то определённый текст, который не получится закодировать? Как можно строго доказать, что такого текста не может существовать?

[lex_kravetski]

Это, вот, ещё один из результатов сабжевого подхода к образованию: людям на полном серьёзе кажется, что тем сложнее и непонятнее изложение, тем больше смысла оно содержит и тем глубже этот смысл.

[viktorpetrov]

В теореме Геделя нужна не абы какая нумерация (придумать-то их можно много, благо утверждений счетное число), а такая, чтобы выводимость теоремы из аксиом записывалась в виде утверждения в аксиоматике Пеано. Это не так-то просто сделать, есть способы попроще, чем у Геделя (в том числе и с системами счисления, например, здесь: https : // en.wikipedia.org/ wiki/Proof_sketch_for_G%C3%B6del%27s_first_incompleteness_theorem#G.C3.B6del_numbering ), но это каждый раз головоломка (обратите внимание, насколько нетривиально подобраны коды для символов, и это неспроста).

[lex_kravetski]

> В теореме Геделя нужна не абы какая нумерация (придумать-то их можно много, благо утверждений счетное число), а такая, чтобы выводимость теоремы из аксиом записывалась в виде утверждения в аксиоматике Пеано.

Во-первых, в доказательстве это вообще нигде не используется, а во-вторых, аксиоматика Пеано отлично записывается в виде текста, как и любые утверждения на её основе.

Ну и, наконец, в-третьих, абсолютно все арифметические операции по сути являются преобразованиями текста по определённым правилам замены, по коей причине нет никакого смысла рассматривать их каким-то особым образом. Разве что захочется доказать и так очевидное: что анализ доказательств при помощи одного только определения текстовой замены, соответствующей арифметической операции «+», невозможен. Таки да, аксиоматика Пеано не является Тьюринг-полной, а потому для написания универсальных алгоритмов её очевидно недостаточно.

[viktorpetrov]

Ну так собственно в этом и проблема, что аксиоматика Пеано не Тьюринг-полная, иначе бы теорема Геделя сводилась бы сразу к проблеме остановки (которая доказывается схожим приемом, но заметно проще), и не надо было бы мучаться. А теорема Геделя именно про аксиоматику Пеано, так что Вы по сути говорите, что другую теорему можно было бы доказать проще. Ну да, кто ж спорит.

[lex_kravetski]

> иначе бы теорема Геделя сводилась бы сразу к проблеме остановки (которая доказывается схожим приемом, но заметно проще)

Не просто «схожим», а это вообще точно тот же формальный текст, где на место переменных подставлены другие слова.

И парадокс лжеца - тоже точно тот же текст.

Что как бы намекает.

> А теорема Геделя именно про аксиоматику Пеано

Покажите, в каком месте там используется как необходимое и/или достаточное хоть что-то из аксиоматики Пеано.

[mac_arrow]

математика в представлении ряда математиков это что-то типа религиозного учения

Берите выше! Религию, да и саму идею, что есть некий "бог", придумали математики.
Если математика верна (грубо говоря 2х2=4), то бог есть! )))

[zlata_gl]

А меня удивляет не сам факт (доказанный или нет), что в арифметике существуют недоказуемые утверждения.
А что этот факт привел математиков в шок.
Давно известно, что "один дурак может задать столько вопросов, что сто мудрецов не ответят".

Возьмем утверждение без кванторов.
2*7+5=10.
Проверяем "на пальцах".
Неверно.
2*7+5=19 - верно.

А утверждение с кванторами (как теорема Ферма) - непроверяемо.
ИНОГДА оно доказуемо.
Например
(К+1)^2 = К^2 + К*2 +1.
Для любого К.

Но в большинстве случаев - фиг его знает.
Особенно - утверждение, что некоторое уравнение НЕ имеет решений.

ИМХО, теорему Геделя надо принимать как "априорную вероятность".
В доказательстве нуждается противоположное утверждение: что ЛЮБУЮ арифметическую формулировку можно доказать/опровергнуть.

Что касается доказательства с употреблением "автореферрентных ссылок", то это - просто фуфло.
Утверждение "ЭТО утверждение недоказуемо" - не означает НИЧЕГО.
Оно не является ни истиной, ни ложью.
Оно является явной лажей.
Нельзя употреблять его в доказательствах.

[lex_kravetski]

> В доказательстве нуждается противоположное утверждение: что ЛЮБУЮ арифметическую формулировку можно доказать/опровергнуть

[zlata_gl]

А есть ли ещё выражения, кроме этого, и если да, то какую долю от всех утверждений они составляют?».
НЕ думаю, что это можно как-то оценить.
Особенно, в рамках системы, в которой неразрешима даже "проблема континуума" (существование промежуточного множества между счетным и континуумом).
Мне представляется, что из утверждений с кванторами - подавляющее большинство недоказуемо.
Другой вопрос - а нужны ли они кому-то ?

[loro4ra]

Ха. Мы с мальчиком учим таблицу умножения. Выучил, знает, рассказывает назубок.
А примеры на умножение решать не может!! Это же "не таблица"!! Это "что-то другое"!!

И что делать с этим, я даже не знаю.

Эта таблица - абстракции

[coralsteel]

Доман советует конкретику карточки с шариками
"умножение это сокращенное сложение"
(раньше говорили яблоки и прочее)
ВЕСЬ Гленн Доман - скачать бесплатно книги и карточки