Сакральная математика
Мне иногда кажется, что математика в представлении ряда математиков это что-то типа религиозного учения. Прям по всем пунктам: и тебе особая склонность к введению в рассмотрение непознаваемого по построению с последующим его гипотетическим описанием; и тебе постоянные требования формального повторения формальных же рассуждений; и тебе любовь к совершенно нечитаемым системам обозначений и наименований, непонятным непосвящённым, а иногда и посвящённым тоже; и тебе даже настойчивое следование традициям в стиле «Великие Отцы Прошлого нам завещали думать и камлать вот так, а кто мы такие в сравнении с ними?».
Курт Гёдель при доказательстве теоремы имени себя довольно много усилий приложил для того, чтобы закодировать тексты в числа. Ну ладно, он сам, предположим, не догадался, что любой текст - это уже и так уникальное число: в системе счисления с основанием, равным длине алфавита. Не догадался, несмотря даже на то, что в своём варианте трансформации в текст вполне себе пронумеровал буковки алфавита.
Однако ж потом его текст читали другие математики. И почему-то никто ему не сказал: «Эта, слыш, зачем тут у тебя возведение простых чисел в степени с последующим их перемножением? Если тебе почему-то нужно десятичное число, то достаточно просто перевести этот текст, который и так уж число, из системы счисления с основанием Эн в систему счисления с основанием 10».
Не, как он предложил, так дальше и шпарили.
Впрочем, почему в прошедшем времени? Я смотрел лекции с доказательством этой теоремы, записанные уже в 2010-х, и там, внезапно, до сих пор повторяют всё так, как завещали Великие Предки. Ну, вы понимаете, нельзя просто, вот, взять и поменять молитву или, тем более, текст священного писания - ведь это нарушит всю сакральность.
Подозреваю, упорное желание не замечать, казалось бы, всем очевидное после появления языков программирования вызвано религиозными чувствами. Текст - это одно, а числа - совсем другое. Первыми занимаются гуманитарии, а вторыми - математики. Процесс преобразования одного в другое должен быть очень сложным, дабы разница этих двух миров каждому была очевидна. Даже если речь идёт о чисто техническом кодировании, а не о постижении «глубинных смыслов».
Кстати, зачем в сабжевой теореме получать число из текста? Чтобы передать его в функцию!
Функция - это тоже сакральная штука. Она может принимать только числа и ничто иное, да. Скрепя сердце, ещё можно допустить, что в функцию может попадать «true» или «false», поскольку без логики в математике так и не удалось обойтись, но это - последний рубеж.
Не зря же в девятнадцатом веке понятное даже умственно отсталому определение функции: «она - поименнованное для краткости описание некой последовательности действий», - превратилось в самозамкнутое методом имени Лемовских сепулек «отображение одного множества на другое». Так надо. Тупые не должны понимать наши концепции. И, на всякий случай, лучше бы, чтобы и умные тоже их не понимали. Ну или хотя бы не понимали до конца. А то без мистической части религия теряет убедительность.
В общем, Чёрч чуть позже уже и так попрал все каноны, предположив, что аргументом функции может быть другая функция. А вы теперь хотите, чтобы в функцию вообще что угодно можно было передавать?
Опять же, в начале двадцатого века такое могло казаться очень революционным - передавать в функцию строки или выражения. Тем не менее, очень странно, что никто из математиков, ознакомившихся с рассуждениями Гёделя, не заметил, что, например, логические кванторы уже ведут себя так, будто бы в них передаётся функция, а формально-логические рассуждения уже как бы между строк подразумевают, что на месте абстрактных «A» и «B» там стоят тексты. Раз уже так, то зачем все вот эти вот извращения с хитровывернутыми трансформациями текста в число?
Однако ещё страньше, что и эта часть тоже до сих пор транслируется всё в том же изначальном виде. С точки зрения сабжевых математиков, видимо, передавать в функцию строки или ещё что-то, кроме чисел, всё ещё нельзя. Я не в курсе, какое именно из божеств математики это запрещает, но какое-то наверно есть - чем ещё можно объяснить отказ от столь очевидной и столь удобной на практике фичи?
Реал, я несколько раз видел примеры, когда некий математик, пытающийся что-то там сделать на Wolfram, изобретает очень нетривиальный способ передачи в функцию ссылки на выражение - с какими-то там внешними массивами, жонглированием их индексами и чуть ли не с кодированием выражений в число и обратно по заветам Гёделя, вместо того чтобы просто написать:
SetAttributes[f, HoldAll]
f[exp_] := Hold[exp] (* and later do something else *)
Это никакая не секретная возможность данного языка программирования - в куче тьюториалов про это прямым текстом рассказывается. Однако религиозные чувства, видимо, столь сильны, что даже сама мысль о том, что функция может принимать не результат выражения, а сам его «текст», не возникает. Поэтому приходится героически изыскивать способы, не нарушающие сакральных догм.
Ну и, наконец, многие математики всё ещё очень любят рассуждать об алгоритмах на примере машины Тьюринга. Характерная черта которой - отсутствие произвольного доступа к памяти, ввиду чего любые операции, связанные с запоминанием промежуточных значений и обменом ими между фрагментами программы, становятся чудовищно сложными.
В результате, ещё одним героическим актом доказательства теоремы Гёделя становится передача в функцию текста, который содержит то, что сейчас любой вменяемый человек назвал бы «ссылкой на этот же текст».
Да, в победившей с разгромным счётом парадигме произвольного доступа к памяти сослаться на самого себя - дело пары-тройки строк…
class A {
var ref: A = null
}
val a = new A
a.ref = a
…тогда как на машине Тьюринга до такого приходится ехать, аки до Антарктиды на телеге. Проще изобрести трансформацию всего на свете в число, нежели аналог вышеприведённых нескольких строк.
Но опять же, неужели никому не пришло в голову очевидное: можно же ввести специальное слово, которое функция будет трактовать как «то самое, что мне было передано в качестве аргумента». Я не знаю, «myArg(1)», «myArg(2)» и так далее, например.
Ещё древние греки до такого догадались, но математикам в двадцатом веке чо-то не зашло. И, что характерно, математикам в двадцать первом, когда такое давно уже широко используется практически в любом языке программирования, тоже всё ещё не заходит: теорема так и излагается по Заветам Предков, с сохранением и вот этой части изложения тоже. Ну да, надо делать вид, что ссылки и указатели человечество всё ещё не изобрело, а то мало ли что - боги прогневаются, а сакральность промотается.
Эта, как его, быть может, вместо чтения и разучивания молитв начать в школах и вузах рассказывать что-то полезное? Ну там, например, что текст на жёстком диске хранится в виде уникальной последовательности чисел, а потому мы уже можем быть прямо вот совсем-совсем уверены, что каждому конечному тексту можно сопоставить число? Ну или что, поскольку мы можем перебрать все натуральные числа, мы автоматически можем перебрать и все конечные тексты некоторого конечного алфавита? Ну или хотя бы что в функции уже можно передавать как минимум строки?
Зашибись же - в школе и вузе людям трахают мозг системами счисления по несколько месяцев, дают им формальные определения указателей и ссылок в языке C, которые потом спрашивают на экзамене, разбирают целую лекцию, а то и две, теорему Гёделя, но о написанном в предыдущем абзаце, такое впечатление, 99% выпускников даже не подозревают, хотя оно вроде бы неразрывно связано с указателями и системами счисления.
Чего вы преподаёте и чего вы изучаете-то? Сферических вымышленных животных в теоретическом вакууме? Это всё равно как, я не знаю, заучить формальное определение понятия «скорость» и сдать его на экзамене на отлично, но потом быть неспособным не то, что рассчитать, за какое время машина, которая едет с постоянной скоростью, преодолеет два километра по прямой, а даже предположить, как это можно рассчитать.
Знаете, что мне весьма часто говорят в ответ на предложение наконец-то перейти с хреновых способов преподавания и рассуждения на не хреновые? «Не-не, нельзя: вдруг мы что-то не поняли в оригинальном способе, а только в таком виде всё правильно?».
То есть, понимаете, человек повторяет что-то, заведомо не понимая, зачем оно существует в такой форме, и в чём смысл каких-то деталей оного, а то, быть может, и всего оного в целом. Однако это непонимание не порождает в нём сомнений в истинности пересказываемого - изначальной или в версии его пересказа, который может быть ошибочным. Вместо этого сие непонимание только укрепляет его уверенность в истинности им повторяемого. Из-за того, что оно не до конца ему понятно или непонятно ему вообще, следует ещё бо́льшая верность этого. И запрет что-либо менять в пересказе, в обосновании и в самой концепции.
Ну прямо точь-в-точь как в наиболее консервативных версиях религии: непонятное истинно и неприкосновенно, если оно исходило от того, кого наша религия считает авторитетным источником. Не рефлексируй - повторяй. Даже и особенно если ты этого не понимаешь. А способы упрощения и рационализации придумывает строго сам Сатана, чтобы ввести нас во искушение.
В общем, ударим по рационализации сакрализацией!
doc-файл
Курт Гёдель при доказательстве теоремы имени себя довольно много усилий приложил для того, чтобы закодировать тексты в числа. Ну ладно, он сам, предположим, не догадался, что любой текст - это уже и так уникальное число: в системе счисления с основанием, равным длине алфавита. Не догадался, несмотря даже на то, что в своём варианте трансформации в текст вполне себе пронумеровал буковки алфавита.
Однако ж потом его текст читали другие математики. И почему-то никто ему не сказал: «Эта, слыш, зачем тут у тебя возведение простых чисел в степени с последующим их перемножением? Если тебе почему-то нужно десятичное число, то достаточно просто перевести этот текст, который и так уж число, из системы счисления с основанием Эн в систему счисления с основанием 10».
Не, как он предложил, так дальше и шпарили.
Впрочем, почему в прошедшем времени? Я смотрел лекции с доказательством этой теоремы, записанные уже в 2010-х, и там, внезапно, до сих пор повторяют всё так, как завещали Великие Предки. Ну, вы понимаете, нельзя просто, вот, взять и поменять молитву или, тем более, текст священного писания - ведь это нарушит всю сакральность.
Подозреваю, упорное желание не замечать, казалось бы, всем очевидное после появления языков программирования вызвано религиозными чувствами. Текст - это одно, а числа - совсем другое. Первыми занимаются гуманитарии, а вторыми - математики. Процесс преобразования одного в другое должен быть очень сложным, дабы разница этих двух миров каждому была очевидна. Даже если речь идёт о чисто техническом кодировании, а не о постижении «глубинных смыслов».
Кстати, зачем в сабжевой теореме получать число из текста? Чтобы передать его в функцию!
Функция - это тоже сакральная штука. Она может принимать только числа и ничто иное, да. Скрепя сердце, ещё можно допустить, что в функцию может попадать «true» или «false», поскольку без логики в математике так и не удалось обойтись, но это - последний рубеж.
Не зря же в девятнадцатом веке понятное даже умственно отсталому определение функции: «она - поименнованное для краткости описание некой последовательности действий», - превратилось в самозамкнутое методом имени Лемовских сепулек «отображение одного множества на другое». Так надо. Тупые не должны понимать наши концепции. И, на всякий случай, лучше бы, чтобы и умные тоже их не понимали. Ну или хотя бы не понимали до конца. А то без мистической части религия теряет убедительность.
В общем, Чёрч чуть позже уже и так попрал все каноны, предположив, что аргументом функции может быть другая функция. А вы теперь хотите, чтобы в функцию вообще что угодно можно было передавать?
Опять же, в начале двадцатого века такое могло казаться очень революционным - передавать в функцию строки или выражения. Тем не менее, очень странно, что никто из математиков, ознакомившихся с рассуждениями Гёделя, не заметил, что, например, логические кванторы уже ведут себя так, будто бы в них передаётся функция, а формально-логические рассуждения уже как бы между строк подразумевают, что на месте абстрактных «A» и «B» там стоят тексты. Раз уже так, то зачем все вот эти вот извращения с хитровывернутыми трансформациями текста в число?
Однако ещё страньше, что и эта часть тоже до сих пор транслируется всё в том же изначальном виде. С точки зрения сабжевых математиков, видимо, передавать в функцию строки или ещё что-то, кроме чисел, всё ещё нельзя. Я не в курсе, какое именно из божеств математики это запрещает, но какое-то наверно есть - чем ещё можно объяснить отказ от столь очевидной и столь удобной на практике фичи?
Реал, я несколько раз видел примеры, когда некий математик, пытающийся что-то там сделать на Wolfram, изобретает очень нетривиальный способ передачи в функцию ссылки на выражение - с какими-то там внешними массивами, жонглированием их индексами и чуть ли не с кодированием выражений в число и обратно по заветам Гёделя, вместо того чтобы просто написать:
SetAttributes[f, HoldAll]
f[exp_] := Hold[exp] (* and later do something else *)
Это никакая не секретная возможность данного языка программирования - в куче тьюториалов про это прямым текстом рассказывается. Однако религиозные чувства, видимо, столь сильны, что даже сама мысль о том, что функция может принимать не результат выражения, а сам его «текст», не возникает. Поэтому приходится героически изыскивать способы, не нарушающие сакральных догм.
Ну и, наконец, многие математики всё ещё очень любят рассуждать об алгоритмах на примере машины Тьюринга. Характерная черта которой - отсутствие произвольного доступа к памяти, ввиду чего любые операции, связанные с запоминанием промежуточных значений и обменом ими между фрагментами программы, становятся чудовищно сложными.
В результате, ещё одним героическим актом доказательства теоремы Гёделя становится передача в функцию текста, который содержит то, что сейчас любой вменяемый человек назвал бы «ссылкой на этот же текст».
Да, в победившей с разгромным счётом парадигме произвольного доступа к памяти сослаться на самого себя - дело пары-тройки строк…
class A {
var ref: A = null
}
val a = new A
a.ref = a
…тогда как на машине Тьюринга до такого приходится ехать, аки до Антарктиды на телеге. Проще изобрести трансформацию всего на свете в число, нежели аналог вышеприведённых нескольких строк.
Но опять же, неужели никому не пришло в голову очевидное: можно же ввести специальное слово, которое функция будет трактовать как «то самое, что мне было передано в качестве аргумента». Я не знаю, «myArg(1)», «myArg(2)» и так далее, например.
Ещё древние греки до такого догадались, но математикам в двадцатом веке чо-то не зашло. И, что характерно, математикам в двадцать первом, когда такое давно уже широко используется практически в любом языке программирования, тоже всё ещё не заходит: теорема так и излагается по Заветам Предков, с сохранением и вот этой части изложения тоже. Ну да, надо делать вид, что ссылки и указатели человечество всё ещё не изобрело, а то мало ли что - боги прогневаются, а сакральность промотается.
Эта, как его, быть может, вместо чтения и разучивания молитв начать в школах и вузах рассказывать что-то полезное? Ну там, например, что текст на жёстком диске хранится в виде уникальной последовательности чисел, а потому мы уже можем быть прямо вот совсем-совсем уверены, что каждому конечному тексту можно сопоставить число? Ну или что, поскольку мы можем перебрать все натуральные числа, мы автоматически можем перебрать и все конечные тексты некоторого конечного алфавита? Ну или хотя бы что в функции уже можно передавать как минимум строки?
Зашибись же - в школе и вузе людям трахают мозг системами счисления по несколько месяцев, дают им формальные определения указателей и ссылок в языке C, которые потом спрашивают на экзамене, разбирают целую лекцию, а то и две, теорему Гёделя, но о написанном в предыдущем абзаце, такое впечатление, 99% выпускников даже не подозревают, хотя оно вроде бы неразрывно связано с указателями и системами счисления.
Чего вы преподаёте и чего вы изучаете-то? Сферических вымышленных животных в теоретическом вакууме? Это всё равно как, я не знаю, заучить формальное определение понятия «скорость» и сдать его на экзамене на отлично, но потом быть неспособным не то, что рассчитать, за какое время машина, которая едет с постоянной скоростью, преодолеет два километра по прямой, а даже предположить, как это можно рассчитать.
Знаете, что мне весьма часто говорят в ответ на предложение наконец-то перейти с хреновых способов преподавания и рассуждения на не хреновые? «Не-не, нельзя: вдруг мы что-то не поняли в оригинальном способе, а только в таком виде всё правильно?».
То есть, понимаете, человек повторяет что-то, заведомо не понимая, зачем оно существует в такой форме, и в чём смысл каких-то деталей оного, а то, быть может, и всего оного в целом. Однако это непонимание не порождает в нём сомнений в истинности пересказываемого - изначальной или в версии его пересказа, который может быть ошибочным. Вместо этого сие непонимание только укрепляет его уверенность в истинности им повторяемого. Из-за того, что оно не до конца ему понятно или непонятно ему вообще, следует ещё бо́льшая верность этого. И запрет что-либо менять в пересказе, в обосновании и в самой концепции.
Ну прямо точь-в-точь как в наиболее консервативных версиях религии: непонятное истинно и неприкосновенно, если оно исходило от того, кого наша религия считает авторитетным источником. Не рефлексируй - повторяй. Даже и особенно если ты этого не понимаешь. А способы упрощения и рационализации придумывает строго сам Сатана, чтобы ввести нас во искушение.
В общем, ударим по рационализации сакрализацией!
doc-файл