Об одном свойстве чисел Фибоначчи

[imenno]

Как известно, числа Фибоначчи определяются так: f(1) = 1, f(2) = 1, f(n)= f(n-1) + f(n-2). Таким образом, первые числа Фибоначчи таковы: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

Вопрос: дано некое число а. В каких случаях f(n) равно n в степени а? Понятно, что f(1) равно 1 в любой степени. Назовём это тривиальным решением. А есть ли нетривиальные

Comments

[vladimir000]

А у нас натуральное?

[vladimir000]

Похоже, доказал. Вечером отсканю листочек:)

[vladimir000]

А, вру, пока нашел только верхнюю границу возможных решений.

[imenno]

Natürlich!

[vitus_wagner]

У Кнута в "Конкретной математике", помнится, приводилась замкнутая формула для N-ного числа Фибоначчи.

[vladimir000]

Это-то легко:

sqrt(5) * F(n) = (((1+sqrt(5))/2) ^ (n+1) - (((1-qrt(5))/2) ^ (n+1)

[imenno]

Форма есть, но это не совсем помогает...

[gaiwan]

А у нас в столовке есть салат Фибоначи. Это когда салат сегодня - это салат вчера плюс салат позовчера

[imenno]

ROTFL!!!

[babuba_buba]

А как они из завтрешнего позавчарашний доставать будут? Ведь он же неотъемлимая часть вчерашнего и сегодняшнего? Или отъемлимая?

[uvanimo_bark]

LOL!

[erelchor]

Гипотеза, ИМХО, верна. Корректно доказать не могу... Забыл математику начисто. :(((

Отношение любого числа ряда Фибоначчи к предыдущему стремится к 1,618. Это - чуть больше корня квадратного из 2!
Иначе говоря, при а>2 функция n в степени а будет расти быстрее ряда Фибоначчи. Т.е. при а=2 нетривиальное решение для предложенного уравнения возможно, то для всех а>2 оно невозможно.

Извиняюсь за дилетантское вмешательство.

[vladimir000]

Все правильно, просто там есть коэффициенты при степенях, потмоу нужна аккуратность:)

[imenno]

Дело в том, что для любого а будет некое n, для которого f(n) меньше либо равно n в степени а, а вот уже f(n+1) больше, чем n в степени а; тут скорость роста, по-моему, ни при чём.
Вопрос в том, достигается ли где-то равенство...

[vladimir000]

Ну вот я чего-то через скорости вывожу, но оно пока не совсем то...

[ex_ex_zhuzh]

есть более сильный результат: f(n) не является точной степенью при n>12.

[imenno]

Ssylku mne! O, ssylku!!!

[ex_ex_zhuzh]

http://www.maths.warwick.ac.uk/~siksek/papers/fibannalsfinal.pdf
enjoy ;)

[imenno]

Wow! Spasibo!