Об одном свойстве чисел Фибоначчи

[imenno]

Как известно, числа Фибоначчи определяются так: f(1) = 1, f(2) = 1, f(n)= f(n-1) + f(n-2). Таким образом, первые числа Фибоначчи таковы: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

Вопрос: дано некое число а. В каких случаях f(n) равно n в степени а? Понятно, что f(1) равно 1 в любой степени. Назовём это тривиальным решением. А есть ли нетривиальные

Comments

[erelchor]

Гипотеза, ИМХО, верна. Корректно доказать не могу... Забыл математику начисто. :(((

Отношение любого числа ряда Фибоначчи к предыдущему стремится к 1,618. Это - чуть больше корня квадратного из 2!
Иначе говоря, при а>2 функция n в степени а будет расти быстрее ряда Фибоначчи. Т.е. при а=2 нетривиальное решение для предложенного уравнения возможно, то для всех а>2 оно невозможно.

Извиняюсь за дилетантское вмешательство.

[vladimir000]

Все правильно, просто там есть коэффициенты при степенях, потмоу нужна аккуратность:)

[imenno]

Дело в том, что для любого а будет некое n, для которого f(n) меньше либо равно n в степени а, а вот уже f(n+1) больше, чем n в степени а; тут скорость роста, по-моему, ни при чём.
Вопрос в том, достигается ли где-то равенство...

[vladimir000]

Ну вот я чего-то через скорости вывожу, но оно пока не совсем то...

[imenno]

Дело в том, что для любого а будет некое n, для которого f(n) меньше либо равно n в степени а, а вот уже f(n+1) больше, чем n в степени а; тут скорость роста, по-моему, ни при чём.
Вопрос в том, достигается ли где-то равенство...

[erelchor]

А если представить графически?..
Эххх... мат.анализ давно забыл... Можно же свести ряд Фибоначчи к непрерывной функции одной переменной? Если можно, тогда, насколько помню, проблем быть не должно...
Помню, правда, очень плохо... :(((