И твой, бесконечность, учебник

[egovoru]

Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.

Comments

[timur0]

...а есть еще теорема Левенгейма-Сколема, утверждающая, что любая аксиоматическая теория, в том числе и канторова теория множеств, имеет счетную модель. Т.е. достаточно потенциальной бесконечности натуральных чисел для моделирования любых бесконечностей.

[egovoru]

Признаться, я очень плохо понимаю, что именно математики называют "моделью". Может быть, Вы бы попробовали объяснить мне это "на пальцах"?

[timur0]

Это когда один математический объект строят из другого. К примеру, иррациональные числа как точки на прямой это ровно то самое - если мы считаем геометрию "более натуральной", то можем примириться с обескураживавшем древнегреческих математиков фактом, что два отрезка не обязательно соизмеримы, т.е. может не существовать отрезок, в котором и первый и второй отрезок укладываются по целому числу раз. А диагональ квадрата - вот она, наглядна

[egovoru]

Спасибо. Меня смущает вот что: когда мы говорим о моделях в обычном смысле (например, географическая карта - модель местности), то мы подразумеваем, что модель - это упрощенная схема моделируемого, которая представляет только некоторые - наиболее важные для нас - его свойства, а какие-то, с нашей точки зрения второстепенные, она может и не представлять. Подчеркивая это, мы говорим: никакая карта не равна местности.

Но для математических моделей, похоже, это не так: они представляют собой классы полностью эквивалентных объектов, из которых каждый может служить моделью другого - то есть, при таком моделировании никакой информации не утрачивается. Правильно ли я это понимаю?

[ntsil]

По существу тут уже всё сказали: что Гильберт -- это "давно и неправда", а в современной математике обсуждаемой проблемы нет. Так что выскажу только занудные редакторские поправки: по-русски говорят не "картезианская плоскость", а "декартова", а геометрическое представление комплексных чисел придумал, как считается, не Гаусс, а Арган, если я не ошибаюсь.

[egovoru]

Линнебо, конечно, не пишет прямо так: "бесконечности представляют собой проблему", но какая-то напряженность по этому поводу у него чувствуется. В частности, он пишет, что многих математиков не устраивает текущая ситуация с гипотезой континуума.

"по-русски говорят не "картезианская плоскость", а "декартова"

Спасибо, сейчас исправлю.

"геометрическое представление комплексных чисел придумал, как считается, не Гаусс, а Арган"

Об этом пишет не Линнебо, а Моррис Клайн, "Утрату определенности" которого я сейчас читаю. Английский оригинал у меня бумажный, так что его скопировать сложно, поэтому привожу соответствующую цитату из русского перевода, который есть в сети:

"Гаусс рассматривает многочлены с вещественными коэффициентами и, кроме того, предполагает, хотя нигде не определяет его явно, взаимно-однозначное соответствие между точками декартовой (координатной) плоскости и комплексными числами.Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, -1 и √-1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой

[ntsil]

Ну я не знаю, кого там что не устраивает с гипотезой континуума, лично меня всё устраивает :) Если серьёзно, то я бы описала ситуацию так (очень-очень грубо, конечно). Когда-то (условно говоря, до Кантора) математики очень неаккуратно обращались с бесконечностями, и это реально приводило к серьёзным проблемам. Но потом научились обращаться с ними аккуратно, после чего в мейнстримной математике никаких проблем с бесконечностями ни в каком смысле нет, поверьте. Что думают на эту тему философы -- их дело, но к самой математике это отношения не имеет и говорить, что "в математике остаются серьёзные проблемы с бесконечностями" -- грубо неверно

[egovoru]

Хорошо, я напишу так: математические бесконечности остаются проблемой для философов :)

А что касается приоритета, то это всегда вопрос запутанный :)

[woodenfriend]

мне нравится история про сугубо практическую и содержательную длину береговой линии великобритании. привет, бесконечность!

[egovoru]

О, о фракталах у меня тут есть отдельный пост!

[greygreengo]

Все знают анекдот, про то, как заходит в бар бесконечное количество математиков и первый говорит:
- налейте мне стакан виски.
второй говорит:
- и мне полстакана виски
третий говорит
- и мне четверть стакана виски.
А бармен им в ответ:
- хорошо, вот ваши два стакана виски для всех.

Но мало кто знает, что у этого анекдота есть аналоги:

Заходит в бар бесконечное количество математиков и первый говорит бармену:
- Дайте мне стакан виски.
Второй говорит:
- И мне два стакана виски.
Третий говорит:
- И мне три стакана виски.
А бармен отвечает:
- Если брать по Чезаро, то весь ваш виски, в размере одной двенадцатой стакана я еще вчера выплеснул.

ЗЫ Про сумму ряда всех натуральных чисел читать тут. Ну, или тут.

[skogar]

По Чезаро не получится 1/12, только через аналитическое продолжение.

[greygreengo]

Про то и анекдот. :))))

[skogar]

Боюсь, что бармен подзабыл программу первого курса: про -1/12 помнит верно, но с обоснованием перепутал. По Чезаро не надо выходить в комплексную область, а без неё не обойтись, математики точно заметят подвох!

[a_gorb]

i>”Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка.”
Начните с более простого, если оно более простое:) - страх перед непрерывностью. На мой взгляд, атомы Демокрита это как раз капитуляция перед непрерывностью. Очень простое решение - если есть нечто уже далее неделимое, то и вопрос о непрерывности снимается.

”Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях.”Число - это очень нетривиально. Мы, благодаря современному образованию (внушению, привычки еще со школы) привыкли вольно обращаться с числами. Но вот древние хорошо понимали разницу между числом и величиной, о чем сейчас частенько забывают. Вот у вас есть отрезок, он имеет некую длину, т.е. есть величина длины этого отрезка. Мы можем оперировать с этим типом величин, т.е. длинами отрезков - доказывать различные теоремы, типа что в таком-то треугольнике величины длин сторон равны. Или, что большая

[egovoru]

"Начните с более простого, если оно более простое:) - страх перед непрерывностью

[a_gorb]

Я согласен с вашим мнением о непрерывности и о Канторе. Математиком сначала пришлось определить эту самую непрерывность (или полноту) действительных чисел, т.е. континуум, а потом Кантор показал, что бесконечность континуума отличается от бесконечности счетного множества.
В древности осознавали счетную непрерывность, но до континуума не додумались. Впрочем, как я уже говорил, понятие континуума весьма нетривиально и потребовало от математиков недюжинных усилий.

”концепция действительного числа гораздо сложнее, чем концепция отрицательного: в конце концов, последнюю легко продемонстрировать даже на примере только целых чисел”Все стандартные демонстрации, типа, отрицательное число выражает долг, или движение по оси в другую сторону (положительная и отрицательная температура) плохи тем, что они не являются необходимыми. Пусть долг выражается отрицательным числом, тогда его надо прибавлять. Но ведь гораздо проще его считать положительным числом и вычитать. Про температуру также вполне можно говорить не -10С, а 10С холода. Т.е.

[ext_4119183]

косинус это отношение длин сторон треугольника

А cos(pi) - это отношение длин сторон какого треугольника?