И твой, бесконечность, учебник
Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.
( Читаю один, без людей )
Начните с более простого, если оно более простое:) - страх перед непрерывностью. На мой взгляд, атомы Демокрита это как раз капитуляция перед непрерывностью. Очень простое решение - если есть нечто уже далее неделимое, то и вопрос о непрерывности снимается.
”Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях.”
Число - это очень нетривиально. Мы, благодаря современному образованию (внушению, привычки еще со школы) привыкли вольно обращаться с числами. Но вот древние хорошо понимали разницу между числом и величиной, о чем сейчас частенько забывают. Вот у вас есть отрезок, он имеет некую длину, т.е. есть величина длины этого отрезка. Мы можем оперировать с этим типом величин, т.е. длинами отрезков - доказывать различные теоремы, типа что в таком-то треугольнике величины длин сторон равны. Или, что большая величина относится к меньшей, так же, как сумма величин к большей. Это последнее отношение есть золотое сечение. Всеми этими отношениями пользовались. Но есть ли тут числа - нет. Это величины, а не числа. И все эти отношения сформулированы именно как отношениями величин. Еще такой пример. Тригонометрия. Возьмем к примеру косинус. Мы привыкли, что под руками есть калькулятор, вбиваем в него угол и получаем число - значение косинуса этого угла. Поэтому мы считаем, косинус числом. Но на самом деле, это отношение величин: длины прилежащего катета к гипотенузе.
А вот отдельно есть числа, т.е. то, что можно исчислить, а попросту посчитать. Это прежде всего натуральные числа. Но между числами можно взять отношения, которые будут числами рациональными. Теория отношений - есть по существу венец античной математики. Античность продолжается еще несколько столетий, но в математике поразительный застой наступает после блестящего расцвета [Н.Бурбаки].
Между отношениями величин и отношениями чисел усмотрели глубокую аналогию - отношения величин иногда можно выразить как отношение чисел. Но потом обнаружили, что отнюдь не всегда. Это было удивительно, легенда гласит, что открыватель за это поплатился жизнью. Да же если это только легенда, то тут важно, что она существовала.
Казалось бы, чего же проще - обобщить понятие числа с рациональных чисел на числа, которые могут выражать любые отношения величин. Но это потребовало больших интеллектуальных усилий. А вот попробуйте сами кому-нибудь объяснить, что такое действительное число. Именно как число! А не как всякие ”представление чисел как точек”, которые есть именно представления, образы, аналогии и т.п.
И вот у вас в посте как раз есть пример: ”Да и принцип выделения натуральных чисел в какую-то отдельную категорию кажется мне сомнительным: идеи половины яблока или диагонали квадрата кажутся мне не менее содержательными, чем идея зарубок на палке.”
Число зарубок на палке, число яблок - это числа. Половина яблока - это уже отношение чисел - одно яблоко поделить на двух человек. Длина диагонали квадрата, длина стороны квадрата - это величины, объекты совершенно другой природы. Отношение длины диагонали к длине стороны - это отношение величин, а не чисел. Это отношение существует и с ним можно оперировать, даже если его никаким числом не выражать. Т.е. идея зарубок содержательна, идея величины длины диагонали тоже содержательна, но это идеи из разной области. Для сравнения этих идей нужно иметь весьма серьезные основания.
Так что с отрицательными и комплексными числами торопиться не надо. Даже с обычными действительными числами не все просто.
Reply
Ох, непрерывность-то как раз вещь очень и очень непростая! Открытие Кантора, что бесконечности бывают разного "размера" (мощности) и что, конкретно, множество действительных чисел (дающее нам непрерывность) "больше" множества натуральных - на мой взгляд, едва ли не самый замечательный результат во всей математике (во всяком случае, результат, замечательность которого легко оценить и непрофессионалу).
"Так что с отрицательными и комплексными числами торопиться не надо. Даже с обычными действительными числами не все просто"
На мой взгляд, концепция действительного числа гораздо сложнее, чем концепция отрицательного: в конце концов, последнюю легко продемонстрировать даже на примере только целых чисел; то же касается и комплексных.
Согласна, о величинах можно рассуждать, даже не измеряя их - точнее, не сопоставляя с эталоном для выражения величины конкретным числом. Собственно, греки ведь так и поступали? Это уже потом геометрия утратила свою роль основания всей математики - когда Декарт догадался, что кривые суть совокупности пар чисел на координатной плоскости. У нас в мозгу вроде бы есть два разных модуля - один вырастает из способности отличать большее от меньшего, а другой - из способности к счету как таковому.
Reply
Я согласен с вашим мнением о непрерывности и о Канторе. Математиком сначала пришлось определить эту самую непрерывность (или полноту) действительных чисел, т.е. континуум, а потом Кантор показал, что бесконечность континуума отличается от бесконечности счетного множества.
В древности осознавали счетную непрерывность, но до континуума не додумались. Впрочем, как я уже говорил, понятие континуума весьма нетривиально и потребовало от математиков недюжинных усилий.
”концепция действительного числа гораздо сложнее, чем концепция отрицательного: в конце концов, последнюю легко продемонстрировать даже на примере только целых чисел”
Все стандартные демонстрации, типа, отрицательное число выражает долг, или движение по оси в другую сторону (положительная и отрицательная температура) плохи тем, что они не являются необходимыми. Пусть долг выражается отрицательным числом, тогда его надо прибавлять. Но ведь гораздо проще его считать положительным числом и вычитать. Про температуру также вполне можно говорить не -10С, а 10С холода. Т.е. отрицательные числа получаются ненужными, и не возникает частых ошибок на тему, что вычитание отрицательного числа есть прибавление положительного. Отмечу, что у древних не было не то что понятие отрицательного числа, у них не было даже понятие нуля. Последнее видимо появилось в Индии только в 9 веке.
Собственно концепция отрицательного числа появляется с развитием алгебры, всех этих иксов, игреков и т.п. Т.е. с момента, когда число само по себе становится некой абстракцией и начинает выражаться неким символом. Вторая абстракция, которая понадобилась - это возникновение теории групп. В последней над группой вводится одна операция, часто называемая «композиция». Группы - это не только множество чисел, существует огромное количество групп, многие из которых имеют вполне практические применения. (Например, преобразования Лоренца образуют группу и это принципиально важно, что и отметил Пуанкаре.) Если у вас есть только положительные числа, то вам нужно две операции, сложения и вычитания. Если же рассматривать положительные и отрицательные числа, то нужна только одна операция - сложение. Т.е. в каком-то смысле, абстрактность и обобщенность математики приводят к необходимости отрицательных чисел. Древние математики до такого уровня абстракций просто не дошли, это уже заслуга 17-19 века.
”Это уже потом геометрия утратила свою роль основания всей математики - когда Декарт догадался, что кривые суть совокупности пар чисел на координатной плоскости.”
Не утратила:) Что бы использовать Декартову систему координат приходится опираться на теоремы геометрии.
На мой взгляд, важнейший прорыв произошел, когда додумались, как отношения величин свести к числу. Калькулятор ведь вычисляет косинус. А как это вообще возможно, если косинус это отношение длин сторон треугольника? Не строит же калькулятор внутри себя такие треугольники. Вот когда эти отношения (включая число Пи) свели к суммам рядов, т.е. к суммам чисел, то произошло действительное объединение чисел и величин. Но платой за это стало использование бесконечных рядов. (Опять бесконечность!)
Reply
А cos(pi) - это отношение длин сторон какого треугольника?
Reply
Есть еще и косинус комплексного аргумента.
Reply
Reply
Да. А я разве иначе написал?
”Величина угла - это отношение, или она сама по себе?”
Величина угла, выраженная числом, т.е. то, что вводится в калькулятор, есть, разумеется, отношение величины данного угла к величине угла, принимаемого за эталон.
Reply
Reply
Всегда им был. Косинус - это отношение прилежащего к углу(!) катета к гипотенузе. Другой угол, другое отношение.
Затем мы выражаем величину угла неким числом - это относительно несложно. Отношение сторон также выражаем неким числом. Это уже сложнее. Затем мы находим зависимость между этими двумя числами. Это очень сложно. Вот эта зависимость и находится внутри калькулятора. А вот как открыли эту зависимость, я вам с ходу ответить не могу, надо в книжки посмотреть.
Reply
Reply
Уважаемый a_gorb, несомненно, сам Вам ответит, но я тоже хочу вставить свое слово :) Величины берутся из и сопоставляются в геометрии - как, собственно, и делали греки. А споткнулись они именно на том, что такие геометрически понятные величины как длина окружности или диагональ квадрата было невозможно выразить в виде отношения известных им чисел. Для того, чтобы длине окружности тоже приписать некое число, понадобились еще века и века.
Reply
Уважаемый a_gorb написал следующее:
"Вот у вас есть отрезок, он имеет некую длину, т.е. есть величина длины этого отрезка. Мы можем оперировать с этим типом величин, т.е. длинами отрезков - доказывать различные теоремы, типа что в таком-то треугольнике величины длин сторон равны. Или, что большая величина относится к меньшей, так же, как сумма величин к большей. Это последнее отношение есть золотое сечение. Всеми этими отношениями пользовались. Но есть ли тут числа - нет."
Т.е. есть некие "величины", они как-то друг к другу относятся, ими можно как-то оперировать, а чисел при этом ну совсем ещё нет, никаких. Мне это непонятно.
Reply
Вполне вероятно, конечно, что понятие "величина отрезка" возникло не раньше, чем понятие "число яблок", но то, что для некоторых величин отрезков (например, диагонали квадрата) "чисел яблок" не хватило, вызвало существенные проблемы, которые удалось разрешить далеко не сразу.
Reply
Reply
Как я поняла, a_gorb вовсе не настаивает, что понятие величины непременно появилось раньше, чем понятие (натурального) числа. Он только подчеркивает, что эти понятия далеко не сразу стали эквивалентными.
Reply
Я когда-то читал об экспериментах, показывающих, что умение считать доступно некоторым животным. Не помню уже конкретных деталей, но суть в том, что им предлагалось (после соответствующей дрессировки) указать количество предметов в виде картинки с числом, при том исключалась возможность определения правильного ответа каким-либо другим способом (расположение и т.п.), кроме подсчёта. Надо думать, для человека это не менее естественно, и врядли у людей когда-либо были трудности с понятием чисел и количества, по крайней мере, в их примитивном натуральном виде.
Reply
Leave a comment