И твой, бесконечность, учебник
Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.
Давид Гильберт считал бесконечность иллюзией - даже, например, бесконечность, представленую множеством действительных чисел. По Гильберту, содержательной можно считать только «конечную» математику, занимающуюся «конкретными символами, структура которых немедленно ясна и узнаваема». Как, например, черточки, представляющие натуральные числа (как в первых трех римских цифрах).
Но позвольте, ведь и число натуральных чисел - бесконечно? Не страшно - до той поры, пока мы не делаем никаких утверждений обо всей их совокупности (то есть, обращаемся с ними только как с потенциальной бесконечностью). Более того, по Гильберту, и сами натуральные числа существуют только потенциально - в отличие от физических объектов.
Ну, а как же быть с другими областями математики, где встречаются бесконечности? Гильберт считал, что математика заслуживает право на существование, даже если она бессодержательна - и именно такова вся «бесконечная» математика. «Мы представляем себе математику состоящей из двух типов формул: первый, соответствующий содержательному сообщению конечных утверждений, и второй, представленный идеальными структурами нашей теории, которые ничего не обозначают».
Мне не удалось понять, какой смысл тут вкладывается в слово «содержательный» (contentful)? Да и принцип выделения натуральных чисел в какую-то отдельную категорию кажется мне сомнительным: идеи половины яблока или диагонали квадрата кажутся мне не менее содержательными, чем идея зарубок на палке.
Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях. Гаусс, первым предложивший представление чисел как точек декартовой плоскости, писал, что ни у кого не возникло бы ни малейших затруднений, если бы единицу, минус единицу и корень из минус единицы назвали не положительной, отрицательной и мнимой, а измеряли бы ими расстояния при движении вперед, назад и в сторону.
Портрет Давида Гильберта (2018) работы Anna Gorban