И твой, бесконечность, учебник

[egovoru]

Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.

Comments

[lj_frank_bot]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Образование.
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru]

Скорее все-таки "Математика"!

[lj_frank_bot]

Надо подумать

[alex_new_york]

«число натуральных чисел - бесконечно?»

Число в традиционном его понимании не может быть бесконечным. Аккуратнее будет сказать, что процесс генерации натуральных чисел не имеет логического завершения, и что для всякого натурального числа можно сгенерировать большее, прибавив к первому единицу.

Бесконечное число - это новая абстракция, не соответствующая ничему материальному. И требующая осторожного обращения

[egovoru]

А разве алеф-ноль и его родственников не называют "трансфинитными числами"?

[alex_new_york]

Ну, называть можно что угодно и как угодно, но числами в изначальном традиционном смысле эти математические объекты, конечно, не являются

[egovoru]

Ну, так ведь и иррациональные числа сначала не хотели признавать за числа, и отрицательные не хотели, и комплексные :)

[xgrbml]

Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня они остаются серьезной проблемой в математике.

Не являются на самом деле. Давным-давно.

[egovoru]

Ну, Линнебо, конечно, не пишет прямо так: "бесконечности представляют собой проблему", но какая-то напряженность по этому поводу у него чувствуется. В частности, он пишет, что многих математиков не устраивает текущая ситуация с гипотезой континуума.

[xgrbml]

Он же не математик, надо полагать?

[egovoru]

Вот что пишет Вики: "Linnebo earned his MA in Mathematics from the University of Oslo in 1995 and his PhD in Philosophy at Harvard University in June 2002".

[vida_louca]

Мне тоже, как и Гильберту, не нравится бесконечность в математике, и я бы предпочёл иметь дело с конечными объектами.

Стремление к бесконечности - это одно, а достигнув её, мы получим совсем другое. Не хотелось бы эти вещи смешивать и, как Кантор, чтобы получать равную мощность для совершенно разных бесконечных множеств.

В природе нет бесконечностей, а конечных объектов - сколько угодно.

[egovoru]

Но ведь Кантор как раз показал, что бесконечные множества бывают разной мощности?

[vida_louca]

Вот в этом всё и дело: использовать свойство бесконечности.

Такой шаг может привести к каким угодно результатам в зависимости от способа доказательства. Можно доказать, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, а на кончике иглы может оказаться сколь угодно большое число ангелов.

[egovoru]

Ну, с Ахиллесом разобрались уже Коши с Вейерштрассом. Примечательно, что, если верить Моррису Клайну, книжку которого я сейчас читаю, именно анализ был первым разделом математики, после планиметрии Эвклида, где возникла потребность в формализации, а арифметика и алгебра казались "интуитивно понятными" гораздо дольше. Но от Эвклида и до Коши прошло много столетий :)

[skogar]

У Гильберта был амбициозный план относительно роли математики в познаваемости мира, который по-видимому можно считать провалившимся. Вероятно поэтому бесконечность для него лишь абстрактна, так как в природе её "не бывает".

Что до комплексных чисел, Вы вроде всё и объяснили - сначала их обнаружили как нечто непонятное по сути, с чем однако удобно работать, и только потом появились их наглядные интерпретации; а теперь уже без них и вообще никак.

[egovoru]

У меня сложилось впечатление, что комплексные числа сначала появились как решения некоторых уравнений, и долгое время математики не знали, что с ними делать, считать их за числа или нет.

Что же касается философских взглядов Гильберта, то в них разобраться нелегко. Он активно пользуется понятием "априорности", а оно кажется мне крайне мутным. Я так понимаю, тогда они все, особенно немцы, еще находились под сильным влиянием Канта.

[skogar]

Нашли нечто новое и полезное, но такое, чего до сих пор не было - разумеется, сначала такое вызывает удивление. Сейчас уже едва ли кто-то возражает насчёт того, что они числа. Однако это не более чем вопрос терминологии, строгого определения понятия число не существует.

[egovoru]

Ответила по другой ветке.