Сбрей брадобрей все нормальные множества
Природа математического знания давно занимала философов. Кант выделил его в особую категорию синтетических априорных высказываний, но, увы, эта кантианская классификация мало что проясняет из-за крайней расплывчатости самой его концепции априорности. В надежде узнать современное положение дел, я обратилась к книжке Ойстена Линнебо, написанной как введение в предмет для желающих посвятить свою карьеру философии математики. У меня, увы, нет ни достаточной философской, ни математической подготовки, так что это чтение далось мне нелегко. К тому же Линнебо, будучи математиком по первоначальному образованию, рассказывает скорее о поисках оснований математики изнутри самой математики, а не о том, как ее воспринимают философы.
Геометрию Линнебо не рассматривает вовсе, а анализ упоминает только мельком, называя Больцано тем, кто еще до Коши и Вейерштрасса начал его формальное построение. Первая фигура, которой Линнебо посвящает целую главу - Готтлоб Фреге, задавшийся целью свести математику к логике (примечательно, что вопроса, почему мы должны доверять самой логике, у него, похоже, не возникало). Идеалом Фреге было превращение математического доказательства в цепь преобразований формул-аксиом по чисто синтаксическим правилам, без необходимости принимать в расчет смысл этих формул.
Согласно некоторым энтузиастам-формалистам, смысла в математических утверждениях нет вообще: мы можем произвольно выбирать и аксиомы, и правила обращения с ними - подобно тому, как мы произвольно выбираем фигуры и правила игры в шахматы. Сам же Фреге считал, что математика смысл имеет - иначе трудно объяснить, почему она так прекрасно работает для описания физического мира.
Но не успел труд Фреге выйти из печати, как обнаружилось, что его «базовый закон V» приводит к парадоксу Рассела, то есть, постулирует существование множества всех множеств, не являющихся членами самих себя. Одновременно этот парадокс показал несостоятельность канторовского «наивного» понятия множества как коллекции объектов, выделенных по любому признаку.
Для выхода из этого тупика сам Рассел в компании с Уайтхедом и примкнувшим к ним Фрэнком Рамсеем разработал теорию типов, устанавливающую строгую иерархию в мире множеств. Как в человеческом обществе семьи состоят из индивидуумов, кланы - из семей и так далее, так и элементами каждого множества могут быть только объекты предыдущей ступени (то есть, индивидуум не может быть членом клана). Расселовское множество, чреватое парадоксом, эти правила автоматически отсекают. Быстро выяснилось, однако, что такое ограничение лишает систему Фреге ее важных достоинств: в частности, возможности вывести из ее аксиом существование бесконечного числа чисел.
Готтлоб Фреге и Бертран Рассел
в представлении Renée Jorgensen Bolinger
(фото с сайта автора)