И твой, бесконечность, учебник

[egovoru]

Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.

Comments

[egovoru]

Линнебо, конечно, не пишет прямо так: "бесконечности представляют собой проблему", но какая-то напряженность по этому поводу у него чувствуется. В частности, он пишет, что многих математиков не устраивает текущая ситуация с гипотезой континуума.

"по-русски говорят не "картезианская плоскость", а "декартова"

Спасибо, сейчас исправлю.

"геометрическое представление комплексных чисел придумал, как считается, не Гаусс, а Арган"

Об этом пишет не Линнебо, а Моррис Клайн, "Утрату определенности" которого я сейчас читаю. Английский оригинал у меня бумажный, так что его скопировать сложно, поэтому привожу соответствующую цитату из русского перевода, который есть в сети:

"Гаусс рассматривает многочлены с вещественными коэффициентами и, кроме того, предполагает, хотя нигде не определяет его явно, взаимно-однозначное соответствие между точками декартовой (координатной) плоскости и комплексными числами.<...>

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, -1 и √-1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с эти-ми числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комп-лексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначе-ния √-1 символ i."

Русский переводчик перевел "lateral" Клайна как "побочная", но мой перевод кажется мне удачнее :)

[ntsil]

Ну я не знаю, кого там что не устраивает с гипотезой континуума, лично меня всё устраивает :) Если серьёзно, то я бы описала ситуацию так (очень-очень грубо, конечно). Когда-то (условно говоря, до Кантора) математики очень неаккуратно обращались с бесконечностями, и это реально приводило к серьёзным проблемам. Но потом научились обращаться с ними аккуратно, после чего в мейнстримной математике никаких проблем с бесконечностями ни в каком смысле нет, поверьте. Что думают на эту тему философы -- их дело, но к самой математике это отношения не имеет и говорить, что "в математике остаются серьёзные проблемы с бесконечностями" -- грубо неверно.

Да, про Аргана я погорячилась. Т.е. традиционно называется такое представление "диаграммой Аргана", но я заглянула в книжку, чтобы узнать правду. Оказывается, всё вообще не так. "Впервые эта идея появилась в «Курсе алгебры» Джона Валлиса, изданном в 1685 г., но была полно и ясно развита только в работе норвежского ученого Каспара Весселя (1745-1818 гг.) и, наконец, получила полное признание после выхода работы Гаусса (1777-1830 гг.)". Арган же (вообще, кажется, даже не профессиональный математик) опубликовал соответствующую статью анонимно в 1806 г. А Гаусс вообще ничего на эту тему не публиковал (хотя, несомненно, знал) до 1831 г. Так что история, как обычно, запутанная.

[egovoru]

Хорошо, я напишу так: математические бесконечности остаются проблемой для философов :)

А что касается приоритета, то это всегда вопрос запутанный :)

[ntsil]

Хорошо, я напишу так: математические бесконечности остаются проблемой для философов :)

Ну так "проблемы индейцев шерифа не волнуют" :) На эту тему хочется ещё одну книжку процитировать:

Mac Lane’s [крупный математик XX века, один из создателей теории категорий] favorite pastime was sailing <...>. On some sailing expeditions he spent time with prominent philosophers but showed little interest in their subject. “Thankfully, we paid more attention to sailing than to philosophical doctrine”, he recalled. He found that most studies in philosophy of mathematics “paid little attention to the actual substance of mathematics beyond the most elementary concerns” and set out to repair the situation. In his 1986 book Mathematics, Form and Function, Mac Lane quickly dispatched with an array of mathematical philosophies, from set theory (“often artificial”) to formalism (“can’t explain which of many formulas matter”) to intuitionism (“can be dogmatic”) to empiricism (“mathematics originates not just in facts”) to Platonism (“a useful mythology and a speculative ontology”).

Ну вот как-то так :)

[egovoru]

Критиковать чужие философские взгляды мы все умеем, а вот предложил ли он что-то взамен? Как он представлял себе природу математического знания?

[ntsil]

Ну, я привела цитату просто как пример иронического отношения математиков к тому, что про математику думают философы. Где кроме иронии содержится и совершенно верное обоснование -- философы ничего не понимают в современной математике, так что они могут умного про неё сказать? Одно дело читать про философию математики у Пуанкаре, Вейля или того же Гильберта, которые великие математики. Можно с ними соглашаться или нет, но это заведомо интересно, поучительно и содержательно. А когда философы-философы высказываются, это всё уровень "электрон так же неисчепаем, как атом". (Кстати, если я правильно помню, классики марксизма таки тоже здесь отметились, что-то там про производные понаписали, и это феерическая пурга, разумеется.)

А Маклейн что-то предложил, конечно, в упомянутой книжке, но я её не читала.

[egovoru]

Я не большой знаток философии, но Ваше представление, что любой математик может быть философом, но никакой философ не может сказать ничего содержательного о математике, кажется мне чересчур наивным. Разумеется, математики - как и большинство из нас - не сверяются в своей ежедневной деятельности с философскими трактатами; но это не значит, что у них нет неосознанных философских представлений, влияющих на их работу. Сформулировать эти представления - задача, требующая особого склада ума и особого образования.

О книжке Маклейна Вики пишет так: "His views anticipate, in some respects, the more detailed account of the cognitive basis of mathematics given by George Lakoff and Rafael E. Núñez in their Where Mathematics Comes From. Lakoff and Núñez argue that mathematics emerges via conceptual metaphors grounded in the human body, its motion through space and time, and in human sense perceptions."

[ntsil]

Я совершенно не говорю, что любой математик может быть философом. Это заведомая ерунда. Я говорю, что если великий математик хочет высказать свои взгляды на философию математики, то это по определению интересно и поучительно, даже если он не владеет философским инструментарием и т.п. (но великие математики обычно очень хорошо образованы, и в философии тоже; особенно те, которые берутся высказываться на эти темы). Верно -- необязательно, а интересно и поучительно -- наверняка. А вот когда философ хочет высказать свои взгляды на философию математики, возникают вопросы. Я лично не понимаю, как можно рассуждать о философии того, в чём ничего не понимаешь.

[egovoru]

"великие математики обычно очень хорошо образованы, и в философии тоже"

Подозреваю, это относится только к людям прежних поколений; ближе к середине 20-го века философию убрали из STEM-программ вузов.

"как можно рассуждать о философии того, в чём ничего не понимаешь"

Но почему Вы думаете, что это относится к Ойстену Линнебо? Он ведь переключился на философию, только поступив в аспирантуру в Гарвард, а до того он закончил мехмат университета Осло. Или Вы полагаете, этого недостаточно, чтобы получить представление о математике?

[ntsil]

Подозреваю, это относится только к людям прежних поколений; ближе к середине 20-го века философию убрали из STEM-программ вузов.

Это в целом верно, но, с другой стороны, великие математики обычно обладают достаточно широким кругозором, чтобы читать не только "по программе" :)

Конкретно про Линнебо я ничего не думаю, я говорила вообще. И тут ситуация с MA по математике пограничная. Разумеется, это значительно лучше, чем ничего, и сказать, что человек вообще ничего не понимает в математике, нельзя. С другой стороны, это, конечно, ещё далеко не уровень профессионального математика. Ну я же хорошо представляю себе уровень студентов-математиков, я же их учу :) Так что дальше всё, видимо, зависит уже от индивидуальных особенностей, способностей и т.п.

[egovoru]

Мне-то показалось, что в книжке Линнебо математики больше, чем философии - даже слишком много для меня, но профессиональные математики вроде ее хвалят, хотя и считают трудноватой для чтения из-за того, что там слишком много философии :)

[ntsil]

Профессионально позанудствую: хвалящий по ссылке -- не профессиональный математик, а профессиональный преподаватель математики, это разные вещи :)

[egovoru]

Но ведь эта книжка - учебник для вузов, а не научная монография, так кому же ее и оценивать, как не преподавателям вузов?

Кстати, этот рецензент поминает три другие книги на сходную тему - не приходилось ли Вам их читать или хотя бы о них слышать?

[ntsil]

Нет, не читала и не слышала.