Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 5, заключительная.: ahiin

ahiin

Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 5, заключительная.

Mar 24, 2013 23:48

Начало.
Предыдущая часть.

В предыдущей части мы, внезапно, обнаружили и доказали, что пространства $C^{n,\lambda}(\Omega)$
- несепарабельны.
Сегодня, как обещано, будет построен конкретный пример функции $f(x) \in C^{0,1}[a,b]$
, для которой погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю при измельчении разбиения отрезка $[a,b]$
.

Напоминаю, норма пространства $C^{0,1}[a,b]$
задается выражением:

$\left \| f \right \|_{C^{0,1}([a,b])} = \begin{matrix} \sup\\x\in[a,b] \end{matrix}\left | f(x) \right | + \begin{matrix} \sup\\ x_1,x_2\in[a,b], \\ x_1 \neq x2 \end{matrix} \frac{\left | f(x_1) - f(x_2) \right |}{\left | x_1 - x_2 \right |}$

Сестра, скальпель!

Для начала:
Упражнение (средней сложности): покажите, что если бы для любой функции $f(x) \in C^{0,1}[a,b]$
погрешность кусочно-линейной аппроксимации $f_n(x)$
стремилась к нулю при $n\to\infty$
, то это означало бы сепарабельность $C^{0,1}[a,b]$
.

Теперь - к обещанному примеру.

Я уже упоминал, что исследование на сепарабельность пространств $C^{n,\lambda}(\Omega)$
мне не удалось найти вообще нигде (разумеется, где-то оно таки есть, но где - я не знаю). Так что, нижеследующий пример вынут мною из головы. Если, вдруг (мало ли какие чудеса бывают), он в литературе не упоминается - вы все знаете на кого ссылаться, хехе. Ежели, напротив, кто-нибудь с ним уже сталкивался, подайте, пожалуйста на хлебушекссылочку.
Функцию построим в пространстве $C^{0,1}[0,2]$
.
Схема построения следующая: отрезок делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" единичной высоты. Правую часть снова делим пополам, слева ставим "колпачок" высоты $1/2$
. Остаток делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" высоты $1/4$
и т.д.

В результате, должна получиться вот такая картинка:

Очевидно, что $\left \| f \right \|_{C^{0,1}} = 3.$
Единицу даст первое слагаемое нормы, двойку - второе, в сумме - тройка.

Давайте покажем, что для кусочно-линейной аппроксимации $f_n(x)$
, построенной на равномерном разбиении отрезка на $n$
частей:
$\lim_{n \to \infty}\left \| f - f_n\right \|_{C^{0,1}} \neq 0.$

Между прочим, этот предел может не существовать вообще.

Полное исследование указанного предела - дело достаточно громоздкое. Мы этим заниматься не будем. Вместо этого, я продемонстрирую вам, как ленивые математики применяют на практике принцип наименьшего действия.

Заметьте, для доказательства гнилой сущности нашей "колпачковой" функции, достаточно, чтобы было неверно следующее утверждение:
Предел существует и равен нулю.

Вот опровержением этого поклепа мы и займемся.

Итак, у нас есть некоторая числовая последовательность $\{ \left \| f - f_n\right \|_{C^{0,1}}\}_{n=1}^\infty$
. Как известно, если числовая последовательность сходится к некоторому пределу, то к тому же пределу сходится и любая ее подпоследовательность. В качестве такой "любой" подпоследовательности возьмем элементы с индексами $2^{n+1}$
и поищем предел последовательности $\{ \left \| f - f_{2^{n+1}}\right \|_{C^{0,1}}\}_{n=1}^\infty$
.

Понятное дело, я такую подпоследовательность выбрал не случайно (хе-хе), а для того чтобы границы отрезков разбиения попадали в точки локальных максимумов и минимумов "колпачковой" функции.

В результате, кусочно линейная аппроксимация на разбиениях с индексами $2^{n+1}$
будет выглядеть следующим образом:

При $n=1$
:

При $n=2$
:

Соответственно, при $n=2$
график функции $\left | f(x) - f_{2^{n+1}(x)} \right |$
имеет вид.

Здесь уже должно быть ясно, куда я клоню.
Очевидно (хотя рекомендую проверить), что:
$\lim_{n \to \infty}\left \| f - f_{2^{n+1}}\right \|_{C^{0,1}} =2.$

Отсюда, вуаля, следует, что даже если предел $\lim_{n \to \infty}\left \| f - f_n\right \|_{C^{0,1}}$
существует, то он равен двум, а вовсе не нулю. Бинго!

При этом, прошу заметить, что если бы мы рассматривали сходимость в пространстве $C[0,2]$
, то в пределе бы получился благополучный ноль. Увы, увы.

Таким образом, для "колпачковая" функции $f(x) \in C^{0,1}[0,2]$
погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю с ростом $n$
. Существование таких функций, конечно, прямо следовало из факта несепарабельности пространств $C^{n,\lambda}(\Omega)$
. Но теория-теорией, а всегда интересно убедиться на практике.

На этом о пространствах $C^{n,\lambda}(\Omega)$
- все.

В отдаленном светлом будущем, во время очередного припадкаприступа вдохновения, планирую рассказать немного о том, как эти пространства применяются в теории уравнений в частных производных, на примере теоремы Шаудера о разрешимости краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.

А вот и нет, в результате поговорилось о модулях непрерывности.

Продолжение.

математика, opus