Условие Гёльдера-Липшица и его геометрический смысл.

[ahiin]

Интерполяционные пространства  функций играют в современной математике и, в особенности, математической физике, весьма заметную роль. Одним из фундаментальных понятий данного раздела математической науки является условие Гёльдера-Липшица.

Это довольно простая, но весьма содержательная вещь и целью данного поста является разъяснение ряда идей и геометрических образов, стоящих за этим понятием. Все термины, которые не объясняются в тексте, я постарался снабдить ссылками на Википедию.

Итак, пусть на некотором множестве
задана функция
, такая, что для любых
и некоторых констант
и
выполняется неравенство:


.

В случае
последнее неравенство принято называть условием Липшица, в случае
- условием Гёльдера.
С исторической точки зрения это не совсем верно, так как Липшиц в своих исследованиях изначально рассматривал общее условие
.


Здесь и далее все рассуждения я буду иллюстрировать на примере функции одной переменной, давая, при необходимости пояснения для многих переменных.

Для начала разберемся со случаем
.
Рассмотрим значение функции
.  Посмотрите на картинку:


На ней я нарисовал график функции, удовлетворяющей условию Липшица при

Это условие, по сути, означает, что функция убывает или растет не быстрее, чем некоторые прямые с модулем углового коэффициента,  равным
. Таким образом, график функции не может покинуть закрашенной области в виде двух расходящихся секторов. Причем эти сектора можно безболезненно перемещать вдоль графика. В многомерном случае роль заштрихованых секторов будут играть внешность конусов.

Даже из приведенной картинки сразу видно, что на любом ограниченном интервале (а равно и отрезке. и области, и компакте) функция, удовлетворяющая условию Липшица - ограничена.
Упражнение (очень простое): используя определение, аналитически покажите ограниченность функции с условием Липшица.

Рассмотрим следующую картинку, на которой конусы разместим на границах отрезка.


Как видите, функция с наложенным условием Липшица целиком поместится в зеленом параллелограмме.
Более того, такой параллелограмм можно построить для любой пары сколь угодно близких точек (пример показан на рисунке красным). Таким образом, просто из геометрических соображений мы можем предположить, что липшицева функция непрерывна.
Обратное неверно, далеко не всякая ограниченая (и даже непрерывная) функция удовлетворяет условию Липшица.
Упражнение (очень простое): используя определение, покажите, что условие Липшица не выполняется для функции
.

Более того, функция с условием Липшица не просто непрерывна, а равномерно непрерывна. Именно этим свойством в свое время воспользовался Липшиц при выводе достаточных условий равномерной сходимости рядов Фурье.
Упражнение (простое): используя определение, покажите равномерную непрерывность липшицевой функции.

Перепишем условие Липшица в несколько ином виде:


Устремляя
получим, что


Таким образом, если предел в левой части неравенства существует (а это не что иное, как определение производной, взятой по модулю), то он ограничен.

Копая в этом направлении долго и упорно, можно показать, что верна:
Теорема Радемахера: функция, удовлетворяющая условию Липшица на множестве
дифференцируема на нём почти всюду (т.е всюду, за исключением, быть может некоторого множества меры ноль).
[Пояснение про множества меры ноль.]
К сожалению, в википедии понятие "почти всюду" и "множество меры ноль" изложены... несколько неудовлетворительно.
Не зарываясь в теорию меры Лебега, поясню: на прямой множествами меры ноль являются конечные или счетные наборы точек, на плоскости к ним добавляются кривые, в пространстве  - поверхности. Т.е. - это множества точек с нулевой длиной, площадью и объемом соответственно.

Как эта теорема доказывается и что интересного из этого выходит, я расскажу как-нибудь в другой раз.

Для нас сейчас будет более интересно обратное простое утверждение.
Теорема: непрерывно дифференцируемая на замкнутом и ограниченном
функция
удовлетворяет на нем условию Липшица, причем


Упражнение (средней сложности без использования указания, простое с использованием): докажите теоремку.
[Указание.]
Используйте теоремы Вейерштрасса и Лагранжа.

Отсюда, кстати вытекает, что большая часть элементарных функций удовлетворяет условию Липшица на любом ограниченном отрезке.
Упражненеи (ваще простое): покажите, что функция
удовлетворяет условию Липшица.

Наконец, на сладкое:
Упражнение (простое, пункты 4 и 5 посложнее, с подковыркой): пусть даны две функции
, удовлетворяющие условию Липшица и некоторая константа
. Используя определение, покажите, что следующие функции также являются липшицевыми:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.

Продолжение.

В следующей серии:
Рассмотрение случая
.
Ответ на вопрос, почему мы рассматриваем диапазон
, а не какой-либо другой.
А также многое другое:)