Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 4.: ahiin

ahiin

Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 4.

Mar 23, 2013 23:14

Начало.
Предыдущая часть.

Рассматриваем пространство

, оно же

, с нормой:

Сегодня закрываем вопрос с сепарабельностью.

Погнали!

Ситуация с кусочно-линейной аппроксимацией кардинально меняется в случае, когда $f(x) \in C^{0,1}[a,b]$
.

Напомню, разбиение отрезка $[a,b]$
у нас равномерное, на $n$
одинаковых частей.
Введем дополнительно:

$h=\frac{b-a}{n}$
Посмотрите на картинку, где я нарисовал тот самый ромбик из самой-самой первой части. Как вы, надеюсь, помните, из-за наложенного на функцию условия Липшица, функция $f(x)$
, с зафиксированными на границах некоего отрезка (в нашем случае, элемента разбиения) значениями, не может покинуть границы небесно-голубого параллелограмма. Дабы не повторяться, я рекомендую тем, для кого этот факт непрозрачен, пройти сюда, где обсуждаются функции с условием Липшица.

Модули угловых коэффициентов прямых, образующих границы ромба, подчинены неравенству:

$\left |k \right | \leq \left \| f \right \|_{C^{0,1}}$
(Это непосредственно вытеркает из определения нормы $C^{0,1}$
).

Отсюда, просто из элементарной геометрии, следует максимальная оценка погрешности кусочно-линейной аппроксимации в смысле нормы $C[a,b]$
:

$\left \| f-f_n \right \|_C \leq \left \| f \right \|_{C^{0,1}}\frac{h}{2} = \left \| f\right \|_{C^{0,1}} \frac{b-a}{2n}$

Очень, кстати, удобная оценка, вполне применимая на практике. Еще лучше, если нам известна не только норма целиком, но и вклад второй компоненты (т.е. показатель Липшица). При использовании показателя Липшица вместо нормы данная оценка становится неулучшаемой.
Упражнение (чуть сложнее, чем простое): докажите оценку. Задачка на геометрию, практисски.
Однако, мы таки обсуждаем $C^{0,\lambda}[a,b]$
, а вовсе не $C[a,b]$
.
Напомню:
$\left \| f \right \|_{C^{0,1}(\Omega)} = \begin{matrix} \sup\\x\in\Omega \end{matrix}\left | f(x) \right | + \begin{matrix} \sup\\ x_1,x_2\in\Omega, \\ x_1 \neq x2 \end{matrix} \frac{\left | f(x_1) - f(x_2) \right |}{\left | x_1 - x_2 \right |}$
Благодаря полученной выше оценке, имеем:
$\left \| f - f_n\right \|_{C^{0,1}(\Omega)} \leq \left \| f \right \|_{C^{0,1}}\frac{b-a}{2n} + \begin{matrix} \sup\\ x_1,x_2\in\Omega, \\ x_1 \neq x2 \end{matrix} \frac{\left | f(x_1) - f(x_2) - (f_n(x_1) - f_n(x_2)) \right |}{\left | x_1 - x_2 \right |}$
Как видите, если для второго слагаемого справа можно было также, как для первого, указать подходящую оценку, или хотя бы показать его стремление к нулю при $n\to\infty$
, то до окончательного доказательства сепарабельности $C^{0,\lambda}[a,b]$
будет рукой подать.

Если бы... Если...

Короче, прекращаю тянуть резину за хвост в долгий ящик. Петух пропел трижды.
Пространство $C^{n,\lambda}(\Omega)$
не обладает свойством сепарабельности.
Приплыли.

В тот момент, когда во время подготовки очередного поста, вместо ненапряжного доказательства сепарабельности в результате получилось вот ЭТО - шаблон у меня треснул с пушечным грохотом. Неожиданность, да.

Вообще, свойства пространств $C^{n,\lambda}(\Omega)$
и сами они довольно скупо обсуждаются в литературе. А уж вопрос сепарабельности не упоминается вообще ни в одной из книжек, что у меня есть под рукой. Изначально, сепарабельность я хотел рассмотреть чисто для кучи, шоб було. Однако, в результате, это оказалась самой интересной частью работы. Шутка ли, нетривиальное несепарабельное пространство, более того, не искусственный какой случай, любимый лишь специалистами по функциональному анализу, а пространства, которые реально используются, например, в математической физике.

Лемма: если в некотором банаховом пространстве $B$
существует несчетное множество $M \subset B$
, такое, что попарные расстояния между его элементами больше некоторой фиксированной константы $d$
, т.е. для любых $f_1,f_2\in B, \: f_1 \neq f_2$
справедливо:
$\left \| f_1-f_2 \right \|_B \geq d$

то пространство $B$
- несепарабельно.
Упражнение (средней сложности): докажите лемму. Указание очень спойлерное.[Указание.]
От противного. Предположим счетное всюду плотное множество в $B$
таки есть. Обозначим его $P$
.
Каждый элемент несчетного множества $M$
можно окружить шаром радиуса $r<d/2$
. Множество таких шаров (не пересекающихся), очевидно, несчетно. Покажите, что при выборе достаточно малого $\epsilon$
, условие плотности множества $P$
приводит к тому, что в каждом таком шаре должен быть его представитель. При этом множество шаров несчетно, а значит несчетно и $P$
.

Таким образом, чтобы доказать несепарабельность $C^{n,\lambda}(\Omega)$
, достаточно построить множество $M$
.
Сделаем это, опять, же, на примере $C^{0,1}[a,b]$
.
Искомым является множество функций $f_c(x) = \left | x -c \right |, c\in\left ( a,b \right )$
. Очевидно, оно несчетно, так как несчетно множество $\left ( a,b \right )$
.
Почему нам эти функции подходят - ясно из картинки, где я нарисовал две такие функции (синий и зеленый графики) для двух разных параметров, а также модуль их разности (красный график).

Упражнение (несложное): покажите, что $\left \| f_{c_1} - f_{c_2} \right \|_{C^{0,1}[a,b]} > 2, \: c_1,c_2\in(a,b), \: c_1\neq c_2.$

Собственно нами доказана в случае $C^{0,1}[a,b]$
следующая:
Теорема: пространство $C^{n,\lambda}(\Omega)$
- несепарабельно.

В частности, как я уже говорил, это означает, что в пространстве $C^{0,1}[a,b]$
есть функции, для которых при $n \to \infty$
погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю.
Чтобы не давиться всухомятку теорией, в следующий раз мы построим пример такой функции, дабы пошшупать ее своими руками и, таки, убедиться на практике, что $C^{0,1}[a,b]$
- несепрабельно, со всеми вытекающими.

Продолжение.

математика, opus