есть только две группы 4-го порядка и обе абелевы.

1. циклическая Z4 = {-1,0,1,2} и поле над ней FZ4

+ | -1 0 1 2 | * | -1 0 1 2 ( Read more... )

на самом деле наше замечательное 2-мерное пространство 5-го порядка не совсем линейное, хотя и удовлетворяет данному нами определению линейного пространства, которое однако не полное, поскольку там не полная дистрибутивность умножения вектора на скаляр отн. суммы скаляров: (p+q)x = px+qx, а у нас сие не выполняется: должно быть (1+1)b = (-1)b = -b ( Read more... )

в тех двух примерах лин.пр-во было одномерным, поскольку векторная группа была изоморфной аддитивной группе скалярного поля (всякое скалярное поле является 1-мерным лин.пр-вом над собой).

Далее, поскольку векторная группа абелева, вместо x j, x -1 и x+y -1 будем писать  j x, -x и x-yПоложим для скалярного поля третьего порядка F={0,1,-1;+,*} ( Read more... )

Click to view

и поля, пространства и группы
конечные, дискретные и непрерывные

Явное определение понятия поля относят к Дедекинду (1871 год), который использовал немецкий термин Körper (тело). Термин «поле» (англ. field) ввёл в 1893 году американский математик Элиаким Гастингс Мур[1].

Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам ( Read more... )

Click to view

Click to view

Пусть G  - группа,  a,b,c∈G  и  P,S ⊆ G
Тогда  aS={ax: x∈S },  PS={xy: x∈P, y∈S },  S-1={x-1: x∈S }.

Если SS=S=S-1, то S  - подгруппа группы G, причем для конечного S  достаточно условия SS=S.

Элемент b  сопряжен с элементом  cb=aba-1 посредством элемента a.
Элемент c=[a,b]=aba-1b-1=(ab)(ba)-1  называется коммутатором элементов a и b.
Коммутант  G'   ( Read more... )

Пусть G - группа с двумя образующими - b и c -
и соотношениями (c-(k-1)(cb)k-1)k = (cb)n-1 = 1, где k=2,...,n.

Обозначив  c1 = 1,   ck = c-(k-1)(cb)k-1,   cj,k = ckcj-1,  
b1,k = ckbck-1,  bj,k = c-(j-1) b1,k-j+1 c j-1,   bk = bk-1,k, 
получаем  b1,2 = b = c2,   cn = c,   cj,k = c-(j-1) ck-j+1 c j-1,
bk = ck-1,k = c-(k-2) b ck-2,   ck = bk ck-1 = cj,kcj ( Read more... )

I. полностью определенные тремя соотношениями: G = < A,B | Am=Bn=(AB)k=1 > 1. m=n=k=2: четверная группа Клейна K4 = < A,B | A2=B2=(AB)2=1 >. 2. m=n=k=4: группа кватернионов Q8 = < A,B | A4=B4=(AB)4=1 >. 3. m=n=2, k=4: 2-операторная группа GL(2) = < A,B | A2=B2=(AB)4=1 >. II. группа перестановок: симметрическая группа Sn = < A,B | (B-k(BA)k ( Read more... )

Класс групп порядка 8 содержит 3 абелевые Z8, Z4*Z2, Z2*Z2*Z2 и 2 антиабелевые группы: - кватернионов Q8 = < K, I | K4=I4=(KI)4=E >; - 2-операторную GL(2) = < K, R | K2=R2=(KR)4=E >. Последние две исчерпывают класс антиабелевых групп с циклическим коммутантом порядка 2, совпадающим с центром группы.
( Read more... )

Любой линейный оператор на плоскости является линейной комбинацией
четырех базисных операторов, имеющих следующие матричные представления
в подходящем базисе:

тождественного x-отражения поворота-на-90 xy-отражения

E = |1 0| R = |-1 0| I = | 0 1| K = |0 1|
|0 1| | 0 1| |-1 0| |1 0|AE=EA=A, E ( Read more... )