107. Поиск 19-TET ладов
.
О чем ещё писать в пятничный июльский вечер? ))) До сих пор речь шла о 19-TET ладах, только как об аналогах известных 12-TET ладов. Поскольку тема взаимосвязи 12-TET и 19-TET ладов представляется исчерпанной, самое время по-возможности забыть о 12-TET и попробовать найти что-то интересное исключительно средствами 19-TET.
По каким же признакам можно «просеять» все 262145 ладов? Могу предложить несколько вариантов:
1) По допустимым интервалам между соседними ступениями лада
2) По типу и/или количеству трезвучий, которые можно построить на ступенях лада
3) По паттернам квинтовой структуры
Все найденные далее лады будут сгруппированы по семействам: одна строка - одно семейство. По возможности заглавный лад семейства вынесен в начало строки. В конце строки - типы трезвучий, которые можно построить на каждой ступени лада (первого в строке) в следующих обозначениях:
d - уменьшенное
m - минорное
M - мажорное
a - увеличенное
. - на ступени нельзя построить ни один из видов трезвучий.
Рассмотрим 19-TET лады, между соседнями ступенями которых разрешены интервалы только в 2 и 3 тона (малая и большая секунда). Такое ограничение позволяет избежать интервала в 1 тон (увеличенная прима), являющегося в 19-TET очень острым диссонансом.
Очевидно, что в ладах, сформированных по данному принципу, ни на одной ступени нельзя построить более одного типа трезвучия (т.к. трезвучия разных типов отличаются в терции или квинте на 1 тон, а такой интервал в рассматриваемых ладах запрещён).
Методом перебора установлено, что существует 86 таких ладов, принадлежащих 11 семействам. Лады содержат от 7 до 9 ступеней:
01 4924A 49254 492A4 49524 4A924 54924 52492 a a M . d . m
02 494A4 4A524 52924 4A492 52494 49252 49294 M d d m m a M
03 49492 4A494 524A4 49292 49494 4A4A4 52524 M m m M M m d
04 492AA 49554 4AAA4 55524 55492 5524A 5492A 524AA M a m . M a . m
05 494AA 4A554 52AA4 4AA92 55494 55252 5494A 5252A M d m m M a . d
06 4952A 4A954 54AA4 52A92 4AA4A 55254 54952 5254A . d . m . a . d
07 4954A 4AA54 552A4 54A92 52A4A 4A92A 54954 52552 a . M . . d . d
08 49552 4AA94 554A4 55292 54A4A 5292A 4A4AA 52554 a m M M . d m d
09 4A52A 52954 4A552 52A94 4AA52 55294 54A52 5294A d d d m . M . d
10 4A54A 52A54 4A952 54A94 52A52 4A94A 54A54 52952 d . d . . d . d
11 4AAAA 55554 55552 5554A 5552A 554AA 552AA 54AAA 52AAA m a a a . M M . m
Из этих 11 семейств, лишь два содержат лады, на каждой ступени которых можно построить ровно одно трезвучие, и это уже известные семейства:
02 494A4 M d d m m a M (семейство мелодического мажора/минора)
03 49492 M m m M M m d (семейство натурального мажора (натуральных ладов))
Замечу, что в 12-TET лады семейства мелодического мажора/минора не обладают свойством «одна ступень - одно трезвучие».
Также, я бы обратил внимание на семейства:
05 494AA M d m m M a . d
08 49552 a m M M . d m d
(В них лишь одна ступень на которой нельзя построить трезвучие. Эта ступень не связана терцией ни с какой другой ступенью.)
Ещё интересны семейства:
01 4924A a a M . d . m
04 492AA M a m . M a . m
09 4A52A d d d m . M . d
11 4AAAA m a a a . M M . m
В них уже 2 ступени без трезвучий, и довольно любопытная и красивая внутренняя структура, но об этом отдельный разговор.
Попробуем расширить набор разрешённых интервалов и добавить в него интервал в 4 тона.
Получаем лады составленные из 2, 3 и 4 тонов (лады не содержащие интервала в 4 тона игнорируются, т.к. были только что рассмотрены). Методом перебора установлено, что существует 432 таких лада, принадлежащих 64 семействам. Лады содержат от 5 до 8 ступеней:
01 44444 44448 44488 44888 48888 . . . . .
02 4444A 444A8 44A88 4A888 54444 51112 . . . m . .
03 44452 44528 45288 52888 4A222 51114 . . M m . .
04 44454 44548 45488 54888 52222 4888A . . M . . .
05 4448A 448A8 48A88 45444 54448 51122 . . . a . .
06 44492 44928 49288 49444 4A224 51124 . . M a . .
07 44494 44948 49488 4A444 52224 48892 . . M . . .
08 444A2 44A28 4A288 51444 45112 51128 . . m a . .
09 444A4 44A48 4A488 52444 49112 48894 . . m . . .
10 44512 45128 51288 44A22 4A228 51144 . . M . . a
11 44514 45148 51488 45222 52228 488A2 . a M . . .
12 44522 45228 52288 48A22 45114 51148 . . m . . a
13 44524 45248 52488 49222 49114 488A4 . a m . . .
14 44544 45448 54488 51222 4488A 488A8 . a . . . .
15 44892 48928 44944 49448 4A244 51224 . . . a . .
16 44894 48948 44A44 4A448 52244 48912 . . . . . .
17 448A2 48A28 45144 51448 45122 51228 . . a a . .
18 448A4 48A48 45244 52448 49122 48914 . . a . . .
19 44912 49128 48944 44A24 4A248 51244 . . . . . a
20 44914 49148 48A44 45224 52248 48922 . a . . . .
21 44922 49228 49144 48A24 45124 51248 . . a . . a
22 44924 49248 49244 49224 49124 48924 . a a . . .
23 444AA 44AA8 4AA88 55444 55112 5444A 5112A . . m a . . .
24 4452A 452A8 52A88 4AA22 55114 54452 5114A . M m . . . a
25 4454A 454A8 54A88 52A22 4A88A 54454 51152 . M . . m . a
26 44552 45528 55288 54A22 5288A 4A22A 51154 . . M . m . a
27 44554 45548 55488 55222 5488A 5222A 488AA . a M . . . .
28 448AA 48AA8 45544 55448 55122 5448A 5122A . . a a . . .
29 4492A 492A8 49544 4AA24 55124 54492 5124A . M a . . . a
30 4494A 494A8 4A544 52A24 4A892 54494 51252 . M d . m . a
31 44952 49528 4A944 54A24 52892 4A24A 51254 . . d . m . a
32 44954 49548 4AA44 55224 54892 5224A 4892A . a . . . . .
33 44A2A 4A2A8 51544 45512 55128 544A2 5128A . m a . . . M
34 44A4A 4A4A8 52544 49512 4A894 544A4 51292 . m d . m . M
35 44A52 4A528 52944 4A512 52894 4A252 51294 . d d d m . M
36 44A54 4A548 52A44 4A912 54894 52252 4894A . d . d . . .
37 44A8A 4A8A8 54544 51512 4544A 544A8 512A2 . m . . a . M
38 44A92 4A928 54944 52512 4944A 4A254 512A4 . d . d a . M
39 44A94 4A948 54A44 52912 4A44A 52254 48952 . d . d . . .
40 44AA2 4AA28 55144 54512 5144A 4512A 512A8 . . a . a . M
41 44AA4 4AA48 55244 54912 5244A 4912A 48954 . . a . . . .
42 4514A 514A8 452A2 52A28 4A8A2 54514 51452 a M M . m . a
43 45152 51528 454A2 54A28 528A2 4A28A 51454 a . M . m m a
44 45154 51548 45522 55228 548A2 5228A 48A2A a a . . . m .
45 4522A 522A8 48AA2 45514 55148 54522 5148A . m . . a . M
46 4524A 524A8 492A2 49514 4A8A4 54524 51492 a m M . m . M
47 494A2 4A514 528A4 4A292 51494 45252 52528 M d m m M a d
48 45254 52548 49522 4A914 548A4 52292 48A4A a d . d . m .
49 4528A 528A8 4A2A2 51514 45452 54528 514A2 M m m . a . M
50 4A4A2 52514 49452 4A294 514A4 45292 52928 m d a m M M d
51 45294 52948 4A522 52914 4A452 52294 48A52 M d d d . m .
52 452A4 52A48 4A922 54914 52452 4914A 48A54 M . d . . a .
53 45454 54548 51522 4548A 548A8 522A2 48A8A a . . M . m .
54 45492 54928 524A2 4928A 49454 4A2A4 51524 M . m M a m .
55 45494 54948 52522 4948A 4A454 522A4 48A92 M . d M . m .
56 454A4 54A48 52922 4A48A 52454 49152 48A94 M . d m . a .
57 45524 55248 54922 5248A 4922A 49154 48AA4 . a . m . a .
58 44AAA 4AAA8 55544 55512 5544A 5512A 544AA 512AA . m a . a . . M
59 452AA 52AA8 4AAA2 55514 55452 5514A 5452A 514AA M m m . a a . M
60 454AA 54AA8 52AA2 4AA8A 55454 55152 5454A 5152A M . m m a a . .
61 4552A 552A8 54AA2 52A8A 4AA2A 55154 54552 5154A . M . m . a . a
62 4554A 554A8 552A2 54A8A 52A2A 4A8AA 54554 51552 a M M . . m . a
63 45552 55528 554A2 5528A 54A2A 528AA 4A2AA 51554 a . M M . m m a
64 45554 55548 55522 5548A 5522A 548AA 522AA 48AAA a a . M . . m .
Здесь также лишь два семейства содержат лады, на каждой ступени которых можно построить ровно одно трезвучие:
47 494A2 (семейство гармонического мажора)
50 4A4A2 (семейство гармонического минора)
Опять замечу, что в 12-TET лады семейств гармонического мажора и гармонического минора не обладают свойством «одна ступень - одно трезвучие».
Здесь я бы обратил внимание на семейства:
35 44A52 . d d d m . M
42 4514A a M M . m . a
43 45152 a . M . m m a
46 4524A a m M . m . M
49 4528A M m m . a . M
51 45294 M d d d . m .
54 45492 M . m M a m .
59 452AA M m m . a a . M
63 45552 a . M M . m m a
По причине всё той же красивой внутренней структуры, о которой расскажу позже.
То что из 75 (11+64) рассмотренных семейств лишь 4 обладают свойством «одна ступень - одно трезвучие», и все эти 4 семейства образованы важнейшими и давно известными ладами - вряд ли может быть простым совпадением. Другие важные (но пока неизученные) 19-TET лады тоже могут обладать этим свойством.
Найдём все лады, содержащие на каждой ступени ровно одно трезвучие.
Методом перебора несложно установить, что существует 424 таких лада в 48 семействах, лады содержат от 7 до 11 ступеней. Во всех семействах, кроме 4 уже найденных, присутствует одна или несколько последовательностей из двух или более микрохроматических ступеней.
Список семейств ладов, содержащих на каждой ступени одно трезвучие:
7 ступеней:
01 49462 4A314 518A4 46292 62928 45251 52518 a d M m d a d семейство гармонического мажора с увеличенной квинтой, далее - ГМУК
02 494A2 4A514 528A4 4A292 51494 45252 52528 M d m m M a d семейство гармонического мажора, далее - ГМ
03 4A4A2 52514 49452 4A294 514A4 45292 52928 m d a m M M d семейство гармонического минора, далее - Гм
04 494A4 4A524 52924 4A492 52494 49252 49294 M d d m m a M семейство мелодического мажора/минора, далее - ММ
05 49492 4A494 524A4 49292 49494 4A4A4 52524 M m m M M m d семейство натурального мажора (натуральных ладов), далее - НМ
8 ступеней:
06 69462 528C5 4A316 518B4 462D2 62D28 45A51 5A518 a m d M m d a d ГМУК+ув.прима
07 59462 6518A 4A315 518AC 462B2 62B28 45651 56518 a M d M m d a d ГМУК+м.секунда
08 49466 4A334 519A4 46692 66928 4D251 6928C 52519 a d M m d a M d ГМУК+м.септима
09 694A2 52945 4A516 528B4 4A2D2 51694 45A52 5A528 M d d m m M a d ГМ+ув.прима
10 594A2 6528A 4A515 528AC 4A2B2 51594 45652 56528 M M d m m M a d ГМ+м.секунда
11 49CA2 4E514 728A4 65149 4A293 5149C 45272 52728 M d m a m M a d ГМ+ум.кварта
12 5A4A2 6928A 52515 49456 4A2B4 515A4 45692 56928 m M d a m M M d Гм+м.секунда
13 4ACA2 56514 59452 6514A 4A295 514AC 452B2 52B28 m d a a m M M d Гм+ум.кварта
14 4A4E2 52714 49C52 4E294 714A4 62949 45293 52938 m d a m M d M d Гм+ув.квинта
15 694A4 52949 4A526 52934 4A4D2 52694 49A52 4D294 M d d d m m a M ММ+ув.прима
16 49CA4 4E524 72924 65249 4A493 5249C 49272 49394 M d d a m m a M ММ+ум.кварта
17 495A4 4AD24 56924 5A492 6924A 52495 49256 492B4 M d d m a m a M ММ+ум.квинта
18 59492 6524A 4A495 524AC 492B2 49594 4ACA4 56524 M a m m M M m d НМ+м.секунда
9 ступеней:
19 79462 728C5 6518B 4A317 518BC 462F2 62F28 45E51 5E518 a m M d M m d a d ГМУК+ув.прима+м.секунда
20 6946A 528D5 4A356 51AB4 46AD2 6AD28 55A51 56946 5A51A a m d M m d a d d ГМУК+ув.прима+пониж.на2тона7ступень
21 69466 528CD 4A336 519B4 466D2 66D28 4DA51 6D28C 5A519 a m d M m d a M d ГМУК+ув.прима+м.септима
22 5946A 651AA 4A355 51AAC 46AB2 6AB28 55651 55946 5651A a M d M m d a a d ГМУК+м.секунда+пониж.на2тона7ступень
23 49566 4AB34 559A4 56692 59A4A 6692A 4D255 692AC 52559 a d M m a d a M d ГМУК+ум.квинта+м.септима
24 794A2 72945 6528B 4A517 528BC 4A2F2 51794 45E52 5E528 M d M d m m M a d ГМ+ув.прима+м.секунда
25 694AA 52955 4A556 52AB4 4AAD2 55694 55A52 5694A 5A52A M d d m m M a d d ГМ+ув.прима+пониж.на2тона7ступень
26 594AA 652AA 4A555 52AAC 4AAB2 55594 55652 5594A 5652A M M d m m M a a d ГМ+м.секунда+пониж.на2тона7ступень
27 6ACA2 55945 56516 5945A 6516A 4A2D5 516AC 45AB2 5AB28 m a d a a m M M d Гм+ув.прима+ум.кварта
28 5A4E2 6938A 52715 49C56 4E2B4 715A4 62B49 45693 56938 m M d a m M d M d Гм+м.секунда+ув.квинта
29 5A4AA 692AA 52555 49556 4AAB4 555A4 55692 55A4A 5692A m M d a m M M a d Гм+м.секунда+пониж.на2тона7ступень
30 695A4 52B49 4AD26 56934 5A4D2 6934A 52695 49A56 4D2B4 M d d d m a m a M ММ+ув.прима+ум.квинта
31 694AC 52959 4A566 52B34 4ACD2 56694 59A52 6694A 4D295 M d d d m m a d M ММ+ув.прима+пониж.7ступень
32 4D5A4 6AD24 55A49 56926 5A49A 6926A 524D5 49356 49AB4 M d a d m a m a M ММ+повыш.2ступень+ум.квинта
33 49DA4 4ED24 76924 6D249 5A493 6924E 5249D 49276 493B4 M d d a m a m a M ММ+ум.кварта+ум.квинта
34 5949A 6526A 4A4D5 526AC 49AB2 4D594 6ACA4 55949 56526 M a m m M M m a d НМ+м.секунда+повыш.6ступень
10 ступеней:
35 6956A 52AD5 4AB56 55AB4 56AD2 5AB4A 6AD2A 55A55 56956 5A55A a m d M m d d a d d ГМУК+ув.прима+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
36 69566 52ACD 4AB36 559B4 566D2 59B4A 66D2A 4DA55 6D2AC 5A559 a m d M m a d a M d ГМУК+ув.прима+ум.квинта+м.септима
37 6946E 528DD 4A376 51BB4 46ED2 6ED28 5DA51 76946 6D28D 5A51B a m d M m d a d M d ГМУК+ув.прима+пониж.на2тона7ступень+м.септима
38 5956A 655AA 4AB55 55AAC 56AB2 5AACA 6AB2A 55655 55956 5655A a M d M m m d a a d ГМУК+м.секунда+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
39 695AA 52B55 4AD56 56AB4 5AAD2 6AB4A 55695 55A56 5695A 5A56A M d d m m d M a d d ГМ+ув.прима+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
40 595AA 656AA 4AD55 56AAC 5AAB2 6AACA 55595 55656 5595A 5656A M M d m m m M a a d ГМ+м.секунда+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
41 6ACAA 55955 56556 5955A 6556A 4AAD5 556AC 55AB2 56ACA 5AB2A m a d a a m M M m d Гм+ув.прима+ум.кварта+пониж.на2тона7ступень
42 5A4EA 693AA 52755 49D56 4EAB4 755A4 6AB49 55693 55A4E 5693A m M d a m M d M a d Гм+м.секунда+ув.квинта+пониж.на2тона7ступень
43 6D5A4 5AB49 6AD26 55A4D 56936 5A4DA 6936A 526D5 49B56 4DAB4 M d d a d m a m a M ММ+ув.прима+повыш.2ступень+ум.квинта
44 4DDA4 6ED24 5DA49 76926 6D24D 5A49B 6926E 524DD 49376 49BB4 M d a d a m a m a M ММ+повыш.2ступень+ум.кварта+ум.квинта
45 5959A 6566A 4ACD5 566AC 59AB2 66ACA 4D595 6ACAC 55959 56566 M a m m M m M m a d НМ+м.секунда+ум.квинта+повыш.6ступень
46 4D555 6AAAC 55559 55566 5559A 5566A 559AA 566AA 59AAA 66AAA a m a a M a M m M m Длинный терцовый цикл (ДТЦ)
47 55555 55556 5555A 5556A 555AA 556AA 55AAA 56AAA 5AAAA 6AAAA a a a a M M M m m m Длинный терцовый цикл - II
11 ступеней:
48 4DD55 6EAAC 5D559 75566 6AACD 5559B 5566E 559BA 566EA 59BAA 66EAA a m a a m M a M m M m ДТЦ с добавлением ум. кварты
Таким образом, найдено удивительное отличие 19-TET от 12-TET. Если в 12-TET ладов, обладающих свойством «одна ступень - одно трезвучие» довольно мало (если быть точным, таких ладов 33, из них на практике используются только 7 натуральных ладов и несколько ладов ограниченной транспозиции), то в 19-TET этим свойством кроме натуральных ладов обладают гармонический/мелодический мажор/минор и порождаемые ими лады соответствующих семейств. Более того, огромное количество таких ладов образуется повышением квинты в гармоническом мажоре и добавлением к перечисленным выше базовым ладам новых ступеней! Путём добавления в нужные места от одной до трёх ступеней образуется 40 семейств:
Из семейства натурального мажора образуются семейства номер: 18, 34, 45.
Из семейства гармонического мажора образуются семейства номер: 09, 10, 11, 24, 25, 26, 39, 40.
Из семейства гармонического минора образуются семейства номер: 12, 13, 14, 27, 28, 29, 41, 42.
Из семейства мелодического мажора/минора образуются семейства номер: 15, 16, 17, 30, 31, 32, 33, 43, 44.
Из семейства гармонического мажора с увеличенной квинтой образуются семейства номер: 06, 07, 08, 19, 20, 21, 22, 23, 35, 36, 37, 38.
Т.е. натуральные лады, и лады принадлежащие семействам гармонического/мелодического мажора/минора выдерживают добавление нескольких новых ступеней, сохраняя при этом свойство «одна ступень - одно трезвучие»! Всё от того что в 19-TET куда больше места чем в 12-TET. Думаю, этот факт достоин отдельного поста.
Продолжаем поиск. Уберём ограничение на количество трезвучий, которые можно построить на одной ступени, но введём ограничение на тип трезвучия.
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие уменьшенных трезвучий.
88 ладов в 8 семействах. От 10 до 12 ступеней:
01 4D555 6AAAC 55559 55566 5559A 5566A 559AA 566AA 59AAA 66AAA a m a a M a M m M m
02 55555 55556 5555A 5556A 555AA 556AA 55AAA 56AAA 5AAAA 6AAAA a a a a M M M m m m
03 4DD55 6EAAC 5D559 75566 6AACD 5559B 5566E 559BA 566EA 59BAA 66EAA a m a a m M a M m M m
04 55557 5555E 5557A 555EA 557AA 55EAA 57AAA 5EAAA 7AAAA 75555 6AAAB a a a Ma M M mM m m a m
05 5555B 5556E 555BA 556EA 55BAA 56EAA 5BAAA 6EAAA 5D555 75556 6AAAD a a M Ma M m mM m a a m
06 5555D 55576 555DA 5576A 55DAA 576AA 5DAAA 76AAA 6D555 5AAAB 6AAAE a a Ma a M mM M m a m m
07 5555F 5557E 555FA 557EA 55FAA 57EAA 5FAAA 7EAAA 7D555 7AAAB 75557 6AAAF a a Ma Ma M mM mM m a m a m
08 555DB 5576E 55DBA 576EA 5DBAA 76EAA 6DD55 5BAAB 6EAAE 5D55D 75576 6AAED Ma a M mMa M m a mM m a a m
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие минорных трезвучий.
Таких ладов не существует!
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие мажорных трезвучий.
Таких ладов не существует!
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие увеличенных трезвучий.
15 ладов в двух семействах:
01 49492 4A494 524A4 49292 49494 4A4A4 52524 M m m M M m d (семейство натурального мажора)
02 49496 4A4B4 525A4 49692 4B494 5A4A4 69292 52525 M m dm M mM m M d (семейство доминантного бибопа)
На этом пока всё. Поиск «интересных» 19-TET ладов при помощи паттернов квинтовой структуры - занятие увлекательное, но тяжёлое. Оставляю его на вас ))) Если что, новая версия (100) Микроладальницы 19-TET в помощь. Там проделана гигантская работа: добавлено ещё несколько сотен названий 19-TET ладов.
В следующий раз подробнее о добавлении ступеней в натуральные/гармонические/мелодические мажоры/миноры с сохранением свойства «одна ступень - одно трезвучие». Как, что, куда добавляется и какие трезвучия строятся на добавленных ступенях. Наглядные таблицы.
PS если что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать. Это и мне поможет не потерять мысль :)
Оглавление Словарь Словарь МТ
О чем ещё писать в пятничный июльский вечер? ))) До сих пор речь шла о 19-TET ладах, только как об аналогах известных 12-TET ладов. Поскольку тема взаимосвязи 12-TET и 19-TET ладов представляется исчерпанной, самое время по-возможности забыть о 12-TET и попробовать найти что-то интересное исключительно средствами 19-TET.
По каким же признакам можно «просеять» все 262145 ладов? Могу предложить несколько вариантов:
1) По допустимым интервалам между соседними ступениями лада
2) По типу и/или количеству трезвучий, которые можно построить на ступенях лада
3) По паттернам квинтовой структуры
Все найденные далее лады будут сгруппированы по семействам: одна строка - одно семейство. По возможности заглавный лад семейства вынесен в начало строки. В конце строки - типы трезвучий, которые можно построить на каждой ступени лада (первого в строке) в следующих обозначениях:
d - уменьшенное
m - минорное
M - мажорное
a - увеличенное
. - на ступени нельзя построить ни один из видов трезвучий.
Рассмотрим 19-TET лады, между соседнями ступенями которых разрешены интервалы только в 2 и 3 тона (малая и большая секунда). Такое ограничение позволяет избежать интервала в 1 тон (увеличенная прима), являющегося в 19-TET очень острым диссонансом.
Очевидно, что в ладах, сформированных по данному принципу, ни на одной ступени нельзя построить более одного типа трезвучия (т.к. трезвучия разных типов отличаются в терции или квинте на 1 тон, а такой интервал в рассматриваемых ладах запрещён).
Методом перебора установлено, что существует 86 таких ладов, принадлежащих 11 семействам. Лады содержат от 7 до 9 ступеней:
01 4924A 49254 492A4 49524 4A924 54924 52492 a a M . d . m
02 494A4 4A524 52924 4A492 52494 49252 49294 M d d m m a M
03 49492 4A494 524A4 49292 49494 4A4A4 52524 M m m M M m d
04 492AA 49554 4AAA4 55524 55492 5524A 5492A 524AA M a m . M a . m
05 494AA 4A554 52AA4 4AA92 55494 55252 5494A 5252A M d m m M a . d
06 4952A 4A954 54AA4 52A92 4AA4A 55254 54952 5254A . d . m . a . d
07 4954A 4AA54 552A4 54A92 52A4A 4A92A 54954 52552 a . M . . d . d
08 49552 4AA94 554A4 55292 54A4A 5292A 4A4AA 52554 a m M M . d m d
09 4A52A 52954 4A552 52A94 4AA52 55294 54A52 5294A d d d m . M . d
10 4A54A 52A54 4A952 54A94 52A52 4A94A 54A54 52952 d . d . . d . d
11 4AAAA 55554 55552 5554A 5552A 554AA 552AA 54AAA 52AAA m a a a . M M . m
Из этих 11 семейств, лишь два содержат лады, на каждой ступени которых можно построить ровно одно трезвучие, и это уже известные семейства:
02 494A4 M d d m m a M (семейство мелодического мажора/минора)
03 49492 M m m M M m d (семейство натурального мажора (натуральных ладов))
Замечу, что в 12-TET лады семейства мелодического мажора/минора не обладают свойством «одна ступень - одно трезвучие».
Также, я бы обратил внимание на семейства:
05 494AA M d m m M a . d
08 49552 a m M M . d m d
(В них лишь одна ступень на которой нельзя построить трезвучие. Эта ступень не связана терцией ни с какой другой ступенью.)
Ещё интересны семейства:
01 4924A a a M . d . m
04 492AA M a m . M a . m
09 4A52A d d d m . M . d
11 4AAAA m a a a . M M . m
В них уже 2 ступени без трезвучий, и довольно любопытная и красивая внутренняя структура, но об этом отдельный разговор.
Попробуем расширить набор разрешённых интервалов и добавить в него интервал в 4 тона.
Получаем лады составленные из 2, 3 и 4 тонов (лады не содержащие интервала в 4 тона игнорируются, т.к. были только что рассмотрены). Методом перебора установлено, что существует 432 таких лада, принадлежащих 64 семействам. Лады содержат от 5 до 8 ступеней:
01 44444 44448 44488 44888 48888 . . . . .
02 4444A 444A8 44A88 4A888 54444 51112 . . . m . .
03 44452 44528 45288 52888 4A222 51114 . . M m . .
04 44454 44548 45488 54888 52222 4888A . . M . . .
05 4448A 448A8 48A88 45444 54448 51122 . . . a . .
06 44492 44928 49288 49444 4A224 51124 . . M a . .
07 44494 44948 49488 4A444 52224 48892 . . M . . .
08 444A2 44A28 4A288 51444 45112 51128 . . m a . .
09 444A4 44A48 4A488 52444 49112 48894 . . m . . .
10 44512 45128 51288 44A22 4A228 51144 . . M . . a
11 44514 45148 51488 45222 52228 488A2 . a M . . .
12 44522 45228 52288 48A22 45114 51148 . . m . . a
13 44524 45248 52488 49222 49114 488A4 . a m . . .
14 44544 45448 54488 51222 4488A 488A8 . a . . . .
15 44892 48928 44944 49448 4A244 51224 . . . a . .
16 44894 48948 44A44 4A448 52244 48912 . . . . . .
17 448A2 48A28 45144 51448 45122 51228 . . a a . .
18 448A4 48A48 45244 52448 49122 48914 . . a . . .
19 44912 49128 48944 44A24 4A248 51244 . . . . . a
20 44914 49148 48A44 45224 52248 48922 . a . . . .
21 44922 49228 49144 48A24 45124 51248 . . a . . a
22 44924 49248 49244 49224 49124 48924 . a a . . .
23 444AA 44AA8 4AA88 55444 55112 5444A 5112A . . m a . . .
24 4452A 452A8 52A88 4AA22 55114 54452 5114A . M m . . . a
25 4454A 454A8 54A88 52A22 4A88A 54454 51152 . M . . m . a
26 44552 45528 55288 54A22 5288A 4A22A 51154 . . M . m . a
27 44554 45548 55488 55222 5488A 5222A 488AA . a M . . . .
28 448AA 48AA8 45544 55448 55122 5448A 5122A . . a a . . .
29 4492A 492A8 49544 4AA24 55124 54492 5124A . M a . . . a
30 4494A 494A8 4A544 52A24 4A892 54494 51252 . M d . m . a
31 44952 49528 4A944 54A24 52892 4A24A 51254 . . d . m . a
32 44954 49548 4AA44 55224 54892 5224A 4892A . a . . . . .
33 44A2A 4A2A8 51544 45512 55128 544A2 5128A . m a . . . M
34 44A4A 4A4A8 52544 49512 4A894 544A4 51292 . m d . m . M
35 44A52 4A528 52944 4A512 52894 4A252 51294 . d d d m . M
36 44A54 4A548 52A44 4A912 54894 52252 4894A . d . d . . .
37 44A8A 4A8A8 54544 51512 4544A 544A8 512A2 . m . . a . M
38 44A92 4A928 54944 52512 4944A 4A254 512A4 . d . d a . M
39 44A94 4A948 54A44 52912 4A44A 52254 48952 . d . d . . .
40 44AA2 4AA28 55144 54512 5144A 4512A 512A8 . . a . a . M
41 44AA4 4AA48 55244 54912 5244A 4912A 48954 . . a . . . .
42 4514A 514A8 452A2 52A28 4A8A2 54514 51452 a M M . m . a
43 45152 51528 454A2 54A28 528A2 4A28A 51454 a . M . m m a
44 45154 51548 45522 55228 548A2 5228A 48A2A a a . . . m .
45 4522A 522A8 48AA2 45514 55148 54522 5148A . m . . a . M
46 4524A 524A8 492A2 49514 4A8A4 54524 51492 a m M . m . M
47 494A2 4A514 528A4 4A292 51494 45252 52528 M d m m M a d
48 45254 52548 49522 4A914 548A4 52292 48A4A a d . d . m .
49 4528A 528A8 4A2A2 51514 45452 54528 514A2 M m m . a . M
50 4A4A2 52514 49452 4A294 514A4 45292 52928 m d a m M M d
51 45294 52948 4A522 52914 4A452 52294 48A52 M d d d . m .
52 452A4 52A48 4A922 54914 52452 4914A 48A54 M . d . . a .
53 45454 54548 51522 4548A 548A8 522A2 48A8A a . . M . m .
54 45492 54928 524A2 4928A 49454 4A2A4 51524 M . m M a m .
55 45494 54948 52522 4948A 4A454 522A4 48A92 M . d M . m .
56 454A4 54A48 52922 4A48A 52454 49152 48A94 M . d m . a .
57 45524 55248 54922 5248A 4922A 49154 48AA4 . a . m . a .
58 44AAA 4AAA8 55544 55512 5544A 5512A 544AA 512AA . m a . a . . M
59 452AA 52AA8 4AAA2 55514 55452 5514A 5452A 514AA M m m . a a . M
60 454AA 54AA8 52AA2 4AA8A 55454 55152 5454A 5152A M . m m a a . .
61 4552A 552A8 54AA2 52A8A 4AA2A 55154 54552 5154A . M . m . a . a
62 4554A 554A8 552A2 54A8A 52A2A 4A8AA 54554 51552 a M M . . m . a
63 45552 55528 554A2 5528A 54A2A 528AA 4A2AA 51554 a . M M . m m a
64 45554 55548 55522 5548A 5522A 548AA 522AA 48AAA a a . M . . m .
Здесь также лишь два семейства содержат лады, на каждой ступени которых можно построить ровно одно трезвучие:
47 494A2 (семейство гармонического мажора)
50 4A4A2 (семейство гармонического минора)
Опять замечу, что в 12-TET лады семейств гармонического мажора и гармонического минора не обладают свойством «одна ступень - одно трезвучие».
Здесь я бы обратил внимание на семейства:
35 44A52 . d d d m . M
42 4514A a M M . m . a
43 45152 a . M . m m a
46 4524A a m M . m . M
49 4528A M m m . a . M
51 45294 M d d d . m .
54 45492 M . m M a m .
59 452AA M m m . a a . M
63 45552 a . M M . m m a
По причине всё той же красивой внутренней структуры, о которой расскажу позже.
То что из 75 (11+64) рассмотренных семейств лишь 4 обладают свойством «одна ступень - одно трезвучие», и все эти 4 семейства образованы важнейшими и давно известными ладами - вряд ли может быть простым совпадением. Другие важные (но пока неизученные) 19-TET лады тоже могут обладать этим свойством.
Найдём все лады, содержащие на каждой ступени ровно одно трезвучие.
Методом перебора несложно установить, что существует 424 таких лада в 48 семействах, лады содержат от 7 до 11 ступеней. Во всех семействах, кроме 4 уже найденных, присутствует одна или несколько последовательностей из двух или более микрохроматических ступеней.
Список семейств ладов, содержащих на каждой ступени одно трезвучие:
7 ступеней:
01 49462 4A314 518A4 46292 62928 45251 52518 a d M m d a d семейство гармонического мажора с увеличенной квинтой, далее - ГМУК
02 494A2 4A514 528A4 4A292 51494 45252 52528 M d m m M a d семейство гармонического мажора, далее - ГМ
03 4A4A2 52514 49452 4A294 514A4 45292 52928 m d a m M M d семейство гармонического минора, далее - Гм
04 494A4 4A524 52924 4A492 52494 49252 49294 M d d m m a M семейство мелодического мажора/минора, далее - ММ
05 49492 4A494 524A4 49292 49494 4A4A4 52524 M m m M M m d семейство натурального мажора (натуральных ладов), далее - НМ
8 ступеней:
06 69462 528C5 4A316 518B4 462D2 62D28 45A51 5A518 a m d M m d a d ГМУК+ув.прима
07 59462 6518A 4A315 518AC 462B2 62B28 45651 56518 a M d M m d a d ГМУК+м.секунда
08 49466 4A334 519A4 46692 66928 4D251 6928C 52519 a d M m d a M d ГМУК+м.септима
09 694A2 52945 4A516 528B4 4A2D2 51694 45A52 5A528 M d d m m M a d ГМ+ув.прима
10 594A2 6528A 4A515 528AC 4A2B2 51594 45652 56528 M M d m m M a d ГМ+м.секунда
11 49CA2 4E514 728A4 65149 4A293 5149C 45272 52728 M d m a m M a d ГМ+ум.кварта
12 5A4A2 6928A 52515 49456 4A2B4 515A4 45692 56928 m M d a m M M d Гм+м.секунда
13 4ACA2 56514 59452 6514A 4A295 514AC 452B2 52B28 m d a a m M M d Гм+ум.кварта
14 4A4E2 52714 49C52 4E294 714A4 62949 45293 52938 m d a m M d M d Гм+ув.квинта
15 694A4 52949 4A526 52934 4A4D2 52694 49A52 4D294 M d d d m m a M ММ+ув.прима
16 49CA4 4E524 72924 65249 4A493 5249C 49272 49394 M d d a m m a M ММ+ум.кварта
17 495A4 4AD24 56924 5A492 6924A 52495 49256 492B4 M d d m a m a M ММ+ум.квинта
18 59492 6524A 4A495 524AC 492B2 49594 4ACA4 56524 M a m m M M m d НМ+м.секунда
9 ступеней:
19 79462 728C5 6518B 4A317 518BC 462F2 62F28 45E51 5E518 a m M d M m d a d ГМУК+ув.прима+м.секунда
20 6946A 528D5 4A356 51AB4 46AD2 6AD28 55A51 56946 5A51A a m d M m d a d d ГМУК+ув.прима+пониж.на2тона7ступень
21 69466 528CD 4A336 519B4 466D2 66D28 4DA51 6D28C 5A519 a m d M m d a M d ГМУК+ув.прима+м.септима
22 5946A 651AA 4A355 51AAC 46AB2 6AB28 55651 55946 5651A a M d M m d a a d ГМУК+м.секунда+пониж.на2тона7ступень
23 49566 4AB34 559A4 56692 59A4A 6692A 4D255 692AC 52559 a d M m a d a M d ГМУК+ум.квинта+м.септима
24 794A2 72945 6528B 4A517 528BC 4A2F2 51794 45E52 5E528 M d M d m m M a d ГМ+ув.прима+м.секунда
25 694AA 52955 4A556 52AB4 4AAD2 55694 55A52 5694A 5A52A M d d m m M a d d ГМ+ув.прима+пониж.на2тона7ступень
26 594AA 652AA 4A555 52AAC 4AAB2 55594 55652 5594A 5652A M M d m m M a a d ГМ+м.секунда+пониж.на2тона7ступень
27 6ACA2 55945 56516 5945A 6516A 4A2D5 516AC 45AB2 5AB28 m a d a a m M M d Гм+ув.прима+ум.кварта
28 5A4E2 6938A 52715 49C56 4E2B4 715A4 62B49 45693 56938 m M d a m M d M d Гм+м.секунда+ув.квинта
29 5A4AA 692AA 52555 49556 4AAB4 555A4 55692 55A4A 5692A m M d a m M M a d Гм+м.секунда+пониж.на2тона7ступень
30 695A4 52B49 4AD26 56934 5A4D2 6934A 52695 49A56 4D2B4 M d d d m a m a M ММ+ув.прима+ум.квинта
31 694AC 52959 4A566 52B34 4ACD2 56694 59A52 6694A 4D295 M d d d m m a d M ММ+ув.прима+пониж.7ступень
32 4D5A4 6AD24 55A49 56926 5A49A 6926A 524D5 49356 49AB4 M d a d m a m a M ММ+повыш.2ступень+ум.квинта
33 49DA4 4ED24 76924 6D249 5A493 6924E 5249D 49276 493B4 M d d a m a m a M ММ+ум.кварта+ум.квинта
34 5949A 6526A 4A4D5 526AC 49AB2 4D594 6ACA4 55949 56526 M a m m M M m a d НМ+м.секунда+повыш.6ступень
10 ступеней:
35 6956A 52AD5 4AB56 55AB4 56AD2 5AB4A 6AD2A 55A55 56956 5A55A a m d M m d d a d d ГМУК+ув.прима+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
36 69566 52ACD 4AB36 559B4 566D2 59B4A 66D2A 4DA55 6D2AC 5A559 a m d M m a d a M d ГМУК+ув.прима+ум.квинта+м.септима
37 6946E 528DD 4A376 51BB4 46ED2 6ED28 5DA51 76946 6D28D 5A51B a m d M m d a d M d ГМУК+ув.прима+пониж.на2тона7ступень+м.септима
38 5956A 655AA 4AB55 55AAC 56AB2 5AACA 6AB2A 55655 55956 5655A a M d M m m d a a d ГМУК+м.секунда+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
39 695AA 52B55 4AD56 56AB4 5AAD2 6AB4A 55695 55A56 5695A 5A56A M d d m m d M a d d ГМ+ув.прима+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
40 595AA 656AA 4AD55 56AAC 5AAB2 6AACA 55595 55656 5595A 5656A M M d m m m M a a d ГМ+м.секунда+ум.квинта+пониж.на2тона7ступень
41 6ACAA 55955 56556 5955A 6556A 4AAD5 556AC 55AB2 56ACA 5AB2A m a d a a m M M m d Гм+ув.прима+ум.кварта+пониж.на2тона7ступень
42 5A4EA 693AA 52755 49D56 4EAB4 755A4 6AB49 55693 55A4E 5693A m M d a m M d M a d Гм+м.секунда+ув.квинта+пониж.на2тона7ступень
43 6D5A4 5AB49 6AD26 55A4D 56936 5A4DA 6936A 526D5 49B56 4DAB4 M d d a d m a m a M ММ+ув.прима+повыш.2ступень+ум.квинта
44 4DDA4 6ED24 5DA49 76926 6D24D 5A49B 6926E 524DD 49376 49BB4 M d a d a m a m a M ММ+повыш.2ступень+ум.кварта+ум.квинта
45 5959A 6566A 4ACD5 566AC 59AB2 66ACA 4D595 6ACAC 55959 56566 M a m m M m M m a d НМ+м.секунда+ум.квинта+повыш.6ступень
46 4D555 6AAAC 55559 55566 5559A 5566A 559AA 566AA 59AAA 66AAA a m a a M a M m M m Длинный терцовый цикл (ДТЦ)
47 55555 55556 5555A 5556A 555AA 556AA 55AAA 56AAA 5AAAA 6AAAA a a a a M M M m m m Длинный терцовый цикл - II
11 ступеней:
48 4DD55 6EAAC 5D559 75566 6AACD 5559B 5566E 559BA 566EA 59BAA 66EAA a m a a m M a M m M m ДТЦ с добавлением ум. кварты
Таким образом, найдено удивительное отличие 19-TET от 12-TET. Если в 12-TET ладов, обладающих свойством «одна ступень - одно трезвучие» довольно мало (если быть точным, таких ладов 33, из них на практике используются только 7 натуральных ладов и несколько ладов ограниченной транспозиции), то в 19-TET этим свойством кроме натуральных ладов обладают гармонический/мелодический мажор/минор и порождаемые ими лады соответствующих семейств. Более того, огромное количество таких ладов образуется повышением квинты в гармоническом мажоре и добавлением к перечисленным выше базовым ладам новых ступеней! Путём добавления в нужные места от одной до трёх ступеней образуется 40 семейств:
Из семейства натурального мажора образуются семейства номер: 18, 34, 45.
Из семейства гармонического мажора образуются семейства номер: 09, 10, 11, 24, 25, 26, 39, 40.
Из семейства гармонического минора образуются семейства номер: 12, 13, 14, 27, 28, 29, 41, 42.
Из семейства мелодического мажора/минора образуются семейства номер: 15, 16, 17, 30, 31, 32, 33, 43, 44.
Из семейства гармонического мажора с увеличенной квинтой образуются семейства номер: 06, 07, 08, 19, 20, 21, 22, 23, 35, 36, 37, 38.
Т.е. натуральные лады, и лады принадлежащие семействам гармонического/мелодического мажора/минора выдерживают добавление нескольких новых ступеней, сохраняя при этом свойство «одна ступень - одно трезвучие»! Всё от того что в 19-TET куда больше места чем в 12-TET. Думаю, этот факт достоин отдельного поста.
Продолжаем поиск. Уберём ограничение на количество трезвучий, которые можно построить на одной ступени, но введём ограничение на тип трезвучия.
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие уменьшенных трезвучий.
88 ладов в 8 семействах. От 10 до 12 ступеней:
01 4D555 6AAAC 55559 55566 5559A 5566A 559AA 566AA 59AAA 66AAA a m a a M a M m M m
02 55555 55556 5555A 5556A 555AA 556AA 55AAA 56AAA 5AAAA 6AAAA a a a a M M M m m m
03 4DD55 6EAAC 5D559 75566 6AACD 5559B 5566E 559BA 566EA 59BAA 66EAA a m a a m M a M m M m
04 55557 5555E 5557A 555EA 557AA 55EAA 57AAA 5EAAA 7AAAA 75555 6AAAB a a a Ma M M mM m m a m
05 5555B 5556E 555BA 556EA 55BAA 56EAA 5BAAA 6EAAA 5D555 75556 6AAAD a a M Ma M m mM m a a m
06 5555D 55576 555DA 5576A 55DAA 576AA 5DAAA 76AAA 6D555 5AAAB 6AAAE a a Ma a M mM M m a m m
07 5555F 5557E 555FA 557EA 55FAA 57EAA 5FAAA 7EAAA 7D555 7AAAB 75557 6AAAF a a Ma Ma M mM mM m a m a m
08 555DB 5576E 55DBA 576EA 5DBAA 76EAA 6DD55 5BAAB 6EAAE 5D55D 75576 6AAED Ma a M mMa M m a mM m a a m
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие минорных трезвучий.
Таких ладов не существует!
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие мажорных трезвучий.
Таких ладов не существует!
Лады, содержащие на каждой ступени не менее одного трезвучия, но не содержащие увеличенных трезвучий.
15 ладов в двух семействах:
01 49492 4A494 524A4 49292 49494 4A4A4 52524 M m m M M m d (семейство натурального мажора)
02 49496 4A4B4 525A4 49692 4B494 5A4A4 69292 52525 M m dm M mM m M d (семейство доминантного бибопа)
На этом пока всё. Поиск «интересных» 19-TET ладов при помощи паттернов квинтовой структуры - занятие увлекательное, но тяжёлое. Оставляю его на вас ))) Если что, новая версия (100) Микроладальницы 19-TET в помощь. Там проделана гигантская работа: добавлено ещё несколько сотен названий 19-TET ладов.
В следующий раз подробнее о добавлении ступеней в натуральные/гармонические/мелодические мажоры/миноры с сохранением свойства «одна ступень - одно трезвучие». Как, что, куда добавляется и какие трезвучия строятся на добавленных ступенях. Наглядные таблицы.
PS если что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать. Это и мне поможет не потерять мысль :)
Оглавление Словарь Словарь МТ