Крутим-вертим шар голубой
Hommage
Ведомый вышними силами, я забрёл в тёмный (для себя) лес теории представлений групп, одной из самых красивых и богатых теорий в математике. Если кому надо назвать имя тамошнего папы в тамошнем Авиньоне, то это, конечно, Гриша Маргулис, обладатель хет-трика (Филдсовка для молодых до 40, Вольфовка для всех, Абелевка для мэтров по итогам lifelong impact), йельский профессор маскофской закваски*. Меня интересовала одна "не слишком сложная" (по количеству необходимых предварительных пояснений) старинная задача.
Задача, восходящая к Стефану Банаху, формулируется "элементарно". Как устроена сферически симметричная конечно-аддитивная мера? Да не смутит вас слово "мера": это всего-навсего слово, обобщающее понятие "длина" в одномерном случае, "площадь" в двумерии, "объём" в трёхмерном случае и т.д. Способ присвоить неотрицательное число μ(A) почти любому подмножеству сферы (совсем дикие случаи исключаются) так, чтобы μ(объединения нескольких непересекающихся множеств) = сумме μ(отдельных множеств). Обычная "жорданова" мера (которую фактически не учат в школе, не рассказывая про длину, площадь и т.п.) удовлетворяет этой аксиоме для конечных объдинений, но "ломается", если мы рассматриваем бесконечные (не более чем счётные, не надо раскатывать губу) объединения. Но меры Жордана не хватает: скажем, интуитивно ясно, что рациональных чисел на числовой прямой гораздо меньше, чем иррациональных, но выразить это аккуратно не так-то просто. Анри Лебег в конце 19 века придумал, как сконструировать счётно-аддитивную меру, которая стала с тех пор золотым стандартом всех областей математики: если вы где-то увидите слово "мера", зуб даю, что имеется в виду счётно-аддитивная мера Лебега. Эта мера вынесла приговор рациональным числам: их множество есть счётное объединение отдельных точек, мера каждой из которых равна нулю. Поэтому и все рациональные числа - довольно жиденькое множество на прямой, как сегодня прекрасно понимают все математики и физики, хотя рациональные числа всюду плотны и постоянно путаются под ногами.
Но математики, сволочи, люди любопытные, и им интересен оказался вопрос, - насколько счётная аддитивность (безусловно, ограничительное свойство, как мы видим на примере меры Жордана) в самом деле ограничительно. Чтобы не мудохаться с неограниченностью бесконечной прямой (плоскости, пространства) давайте "компактифицируем" вопрос, заменив эти бесконечные пространства на конечные (компактные) сферы разных размерностей, - одномерную окружность, двумерную сферу и т.д. Конечно, выбор имеет оттенок вкусовщины, - можно было бы говорить про торы, но историю не переписать.
Что можно сказать про конечно-аддитивную меру на n-сфере (n = 1,2,3, ...)? Для большей убедительности, мы потребуем, чтобы мера сохранялась при движениях сферы (жёстких вращениях). Задача получила собственное имя, задача Банаха-Рузевича. Сам Банах решил её в 1921 году для одномерной сферы (окружности, n = 1) и обнаружил довольно много конечно-аддитивных, но не счётно-аддитивных (лебеговых) мер. А что в бо́льших размерностях?
Я вам не скажу за всю Одессу, но после этого результата Банаха ожидания были скромные: уж если удалось придумать контрпримеры в самой "простой" ситуации, на окружности, то в высших размерностях всё должно быть ещё "хуже" ("лучше"?).
Ан нет. Спустя 60 (!!!) лет, в 1980-1981 Гриша Маргулис и независимо Деннис Салливан, другой великий тополог/геометр, доказали, что в размерности n = 4 и выше такие контрпримеры невозможны. Иными словами, конечная аддитивность меры плюс её сферическая инвариантность влекут бесконечную аддитивность! Моей квалификации не хватает, чтобы как-то прокомментировать этот результат, но такая принудительная бесконечность не может не удивлять, особенно принимая во внимание, что в минимальной размерности это не работает.
Осталась самая малость: "закрыть" дырку и разобрать случаи n = 2,3. Это сделал спустя ещё 4 года, в 1984, другой великий человек, харьковчанин (с некоторых пор чикагер) Володя Дринфельд (которому для хет-трика Маргулиса не хватает только Абелевки - Филдсовка и Вольфовка у него уже давно болтаются за поясом). И, собственно, его работа и ввела меня в состояние экстаза.
Напомню хронологию. 40 лет прошло от постановки задачи и первого отрицательного результата (Банах) до неожиданного положительного результата (Маргулис-Салливан). Какого объёма может быть статья, закрывающая историю проблемы? Ответ под катом. Статья объёмом в полстраницы, содержащая библиографию из 7 наименований (три из которых - цитирования трёх предшественников).
Я оговорюсь сразу, - я ни бельмеса не смыслю в деталях. Володя вывел его из одного (очень нетривиального) примера и дюжины фактов теории представлений групп, держать которые в голове одновременно может только гений. Хочу только заметить, что по сравнению с весьма элементарной формулировкой проблемы (верно ли, что суммирование конечного числа слагаемых автоматически продолжается на суммирование бесконечного ряда) глубина теории, на которой основано доказательство Дринфельда, невообразима для постороннего (меня).
_______________________________
* Мой научный руководитель (НР), на три года старше Гриши, но уже студент, в какой-то момент сидел "наблюдателем" на Московской олимпиаде школьников, в которой Гриша участвовал (мальчик уже был известен в лицо всем заинтересованным лицам). НР рассказывает, что Гриша сидел с закрытыми глазами и едва ли не похрапывал тихонько первые пару часов из пяти, отведённых на решение задач. НР говорит, что даже задумывался, - не разбудить ли мальчика, чтоб тот успел написать решения. Но нет, Гриша "проснулся" сам, за короткое время написал решения всех задач и получил свою первую премию.