Пара вопрос про римановы поверхности.

[tagdghaca]

1. Можно решать задачу обращения Якоби в терминах тета-функции Римана: нули \theta(A(x)-e-K) - решения для e, если е+K не является сдвигом тета-дивизора, содержащим образ кривой при отображении Абеля. Я знаю только одно доказательство этого факта, и оно конкретно уродливое и не помогает в понимании факта нисколько: надо резать риманову поверхность

Comments

[xgrbml]

2. О, да.

Нули тэта-функции Римана --- это дивизор, задающий главную поляризацию (очевидно). $W_{g-1}$ --- это тоже дивизор, задающий главную поляризацию, причем $c_1$ у них один и тот же (чисто топологическое вычисление). Всякие два обиьных живизора на абелевом многообразии, которым соответствует один и тот же класс когомологий, получются один из другого сдвигом (см., напр., Гриффитс--Харрис, гл.2, параграф 6).

[tagdghaca]

Спасибо. Это очень прозрачное и хорошее доказетельство. Оно же дает ответ на первый вопрос: из теоремы Римана вывести решение задачи обращения Якоби для общей точки e \in Jac в терминах тета-функции \theta(A(x)-e-K) не составляет труда.

[1istik_figi]

> а когда размерность линейной системы положительна такое решение нулевое.
Это не верно. В этом случае \theta(A(x)-e-K) тождественный нуль. Решение задачи обращения дают нули производной \theta(A(x)-e-K) достаточно высокого порядка. Порядок производной определяется кратностью нуля \theta(u-K) в точке e\in Jac, (u - переменная на якобиане).

[tagdghaca]

Да, я и хотел этим сказать, что \theta(A(x)-e-K) тождественный нуль и интересовался чем их надо заменить. Где можно почитать про такое решение через производные тета-функции?

[1istik_figi]

Вы задали интересный вопрос. Ничего конкретного не помню. Неужели этого нет у Мамфорда? Другие авторы об этом пишут как-то вскользь или вообще не упоминают - это общее место

upd: О производных тэта.

[1istik_figi]

Посмотрите, если есть возможность, доклад Мартенса http://www.springerlink.com/content/y233815g815345l4/
особенно стр.87-89. Ничего более я не нашел. Складывается впечатление, что такой подход к обращению отображения Абеля нигде не описан в подробности.